Coálgebra

Espacio vectorial V equipado con una función lineal V → V ⊗ V

En matemáticas , las coalgebras o cogebras son estructuras que son duales (en el sentido de la teoría de categorías de flechas invertidas ) con respecto a las álgebras asociativas unitarias . Los axiomas de las álgebras asociativas unitarias se pueden formular en términos de diagramas conmutativos . Dando la vuelta a todas las flechas, se obtienen los axiomas de las coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad ( espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general a la inversa. En dimensiones finitas, esta dualidad va en ambas direcciones (véase más abajo).

Las coalgebras aparecen de forma natural en diversos contextos (por ejemplo, en la teoría de la representación , en las álgebras envolventes universales y en los esquemas de grupo ).

También existen las F-coálgebras , con importantes aplicaciones en la informática .

Discusión informal

Un ejemplo de coalgebras que se repite con frecuencia se da en la teoría de la representación y, en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea primaria, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y espín . Para este propósito, se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas con momentos angulares y , una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total dado el estado combinado . Esto lo proporciona el operador de momento angular total , que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Puede escribirse como un producto tensorial "externo". ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle j_{A}}$ ${\displaystyle j_{B}}$ ${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$ ${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

La palabra "externo" aparece aquí, en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también puede estar equipada con un segundo producto tensorial, el "externo", o el coproducto , que tiene la forma anterior. El hecho de que sean dos productos diferentes se enfatiza recordando que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es simplemente una multiplicación escalar simple. El producto externo los mantiene separados. En este contexto, el coproducto es la función

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

Eso lleva

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Para este ejemplo, se puede tomar como una de las representaciones de espín del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección del sentido común. Este coproducto se puede trasladar a todo el álgebra tensorial, mediante un lema simple que se aplica a objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre , por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto se puede extender a todo el álgebra. Al examinar el traslado en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto aleatorio , esencialmente porque los dos factores anteriores, el izquierdo y el derecho, deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$

La forma peculiar de que aparezcan solo una vez en el coproducto, en lugar de (por ejemplo) definir , es para mantener la linealidad: para este ejemplo (y para la teoría de la representación en general), el coproducto debe ser lineal. Como regla general, el coproducto en la teoría de la representación es reducible; los factores están dados por la regla de Littlewood-Richardson . (La regla de Littlewood-Richardson transmite la misma idea que los coeficientes de Clebsch-Gordan, pero en un contexto más general). ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

La definición formal de la coalgebra, que aparece a continuación, abstrae este caso especial particular y sus propiedades necesarias en un contexto general.

Definición formal

Formalmente, una coalgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial C sobre K junto con K -aplicaciones lineales Δ: C → C ⊗ C y ε: C → K tales que

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Aquí ⊗ se refiere al producto tensorial sobre K e id es la función identidad ).

De manera equivalente, los dos diagramas siguientes conmutan :

En el primer diagrama, C ⊗ ( C ⊗ C ) se identifica con ( C ⊗ C ) ⊗ C ; los dos son naturalmente isomorfos . ^[1] De manera similar, en el segundo diagrama se identifican los espacios naturalmente isomorfos C , C ⊗ K y K ⊗ C. ^[2]

El primer diagrama es el dual del que expresa la asociatividad de la multiplicación algebraica (llamada coasociatividad de la comultiplicación); el segundo diagrama es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa . En consecuencia, la función Δ se llama comultiplicación (o coproducto ) de C y ε es larecuento deC.

Ejemplos

Tome un conjunto arbitrario S y forme el espacio vectorial K C = K ^{( S )} con base S , como sigue. Los elementos de este espacio vectorial C son aquellas funciones de S a K que asignan todos los elementos de S, excepto un número finito, a cero; identifique el elemento s de S con la función que asigna s a 1 y todos los demás elementos de S a 0. Defina

Δ( s ) = s ⊗ s y ε( s ) = 1 para todos los s en S .

Por linealidad, tanto Δ como ε pueden entonces extenderse de forma única a todo C. El espacio vectorial C se convierte en una coalgebra con comultiplicación Δ y counit ε.

Como segundo ejemplo, considere el anillo polinomial K [ X ] en un indeterminado X . Este se convierte en una coalgebra (la coalgebra de potencia dividida ^{[3] [4]} ) si para todo n ≥ 0 se define:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Nuevamente, debido a la linealidad, esto es suficiente para definir Δ y ε de manera única en todos los K [ X ]. Ahora K [ X ] es tanto un álgebra asociativa unitaria como una coalgebra, y las dos estructuras son compatibles. Los objetos como este se denominan biálgebras y, de hecho, la mayoría de las coalgebras importantes consideradas en la práctica son biálgebras.

Entre los ejemplos de coalgebras se incluyen el álgebra tensorial , el álgebra exterior , las álgebras de Hopf y las biálgebras de Lie . A diferencia del caso polinomial anterior, ninguna de estas es conmutativa. Por lo tanto, el coproducto se convierte en el producto aleatorio , en lugar de la estructura de potencia dividida dada anteriormente. El producto aleatorio es apropiado, porque preserva el orden de los términos que aparecen en el producto, como lo necesitan las álgebras no conmutativas.

La homología singular de un espacio topológico forma una coalgebra graduada siempre que se cumpla el isomorfismo de Künneth , por ejemplo, si se toma que los coeficientes son un campo. ^[5]

Si C es el espacio vectorial K con base { s , c }, considere Δ: C → C ⊗ C está dado por

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s

y ε: C → K se da por

ε( s ) = 0

ε( c ) = 1

En esta situación, ( C , Δ, ε) es una coalgebra conocida como coalgebra trigonométrica . ^{[6] [7]}

Para un conjunto parcial localmente finito P con un conjunto de intervalos J , defina la coálgebra de incidencia C con J como base. La comultiplicación y la counit se definen como

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ for }}x\leq z\ .}$

${\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}$

Los intervalos de longitud cero corresponden a puntos de P y son elementos tipo grupo. ^[8]

Dimensiones finitas

En dimensiones finitas, la dualidad entre álgebras y coalgebras es más estrecha: el dual de un álgebra de dimensión finita (asociativa unitaria) es una coalgebra, mientras que el dual de una coalgebra de dimensión finita es un álgebra (asociativa unitaria). En general, el dual de un álgebra puede no ser una coalgebra.

El punto clave es que en dimensiones finitas, ( A ⊗ A ) ^∗ y A ^∗ ⊗ A ^∗ son isomorfos.

Para distinguirlos: en general, álgebra y coalgebra son nociones duales (lo que significa que sus axiomas son duales: invierta las flechas), mientras que para dimensiones finitas, también son objetos duales (lo que significa que una coalgebra es el objeto dual de un álgebra y viceversa).

Si A es una K -álgebra asociativa unitaria de dimensión finita , entonces su K -dual A ^∗ que consiste en todas las K -aplicaciones lineales de A a K es una coalgebra. La multiplicación de A puede verse como una aplicación lineal A ⊗ A → A , que cuando se dualiza produce una aplicación lineal A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . En el caso de dimensión finita, ( A ⊗ A ) ^∗ es naturalmente isomorfo a A ^∗ ⊗ A ^∗ , por lo que esto define una comultiplicación en A ^∗ . La counit de A ^∗ se da evaluando funcionales lineales en 1.

Notación de Sweedler

Cuando se trabaja con coalgebras, una determinada notación para la comultiplicación simplifica considerablemente las fórmulas y se ha vuelto bastante popular. Dado un elemento c de la coalgebra ( C , Δ, ε ), existen elementos c^{( yo  )}
₍₁₎y c^{( yo  )}
₍₂₎en C tal que

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

Obsérvese que ni el número de términos en esta suma, ni los valores exactos de cada uno o , están determinados de forma única por ; solo existe la promesa de que hay un número finito de términos y que la suma completa de todos estos términos tiene el valor correcto . ${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}$ ${\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$ ${\displaystyle \Delta (c)}$

En la notación de Sweedler , ^[9] (llamada así en honor a Moss Sweedler ), esto se abrevia como

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

El hecho de que ε sea un conteo se puede expresar entonces con la siguiente fórmula

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Aquí se entiende que las sumas tienen el mismo número de términos y las mismas listas de valores para y , que en la suma anterior para . ${\displaystyle c_{(1)}}$ ${\displaystyle c_{(2)}}$ ${\displaystyle \Delta (c)}$

La coasociatividad de Δ se puede expresar como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

En la notación de Sweedler, ambas expresiones se escriben como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Algunos autores también omiten los símbolos de suma; en esta notación de Sweedler sin suma, se escribe

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

y

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Siempre que se encuentra una variable con un índice reducido y entre paréntesis en una expresión de este tipo, se implica un símbolo de suma para esa variable.

Más conceptos y hechos

Una coalgebra ( C , Δ, ε ) se llama co-conmutativa si , donde σ: C ⊗ C → C ⊗ C es la función K -lineal definida por σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c para todo c , d en C . En la notación sin suma de Sweedler, C es co-conmutativa si y solo si ${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

para todo c en C . (Es importante entender que la suma implícita es significativa aquí: no se requiere que todos los sumandos sean iguales por pares, solo que las sumas sean iguales, un requisito mucho más débil).

Un elemento de tipo grupo (o elemento de tipo conjunto ) es un elemento x tal que Δ( x ) = x ⊗ x y ε ( x ) = 1 . Contrariamente a lo que sugiere esta convención de nombres, los elementos de tipo grupo no siempre forman un grupo y, en general, solo forman un conjunto. Los elementos de tipo grupo de un álgebra de Hopf sí forman un grupo. Un elemento primitivo es un elemento x que satisface Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Los elementos primitivos de un álgebra de Hopf forman un álgebra de Lie . ^{[10] [11]}

Si ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) y ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) son dos coalgebras sobre el mismo cuerpo K , entonces un morfismo de coalgebra de C ₁ a C ₂ es una función K -lineal f  : C ₁ → C ₂ tal que y . En la notación sin suma de Sweedler, la primera de estas propiedades puede escribirse como: ${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

La composición de dos morfismos de coalgebra es nuevamente un morfismo de coalgebra, y las coalgebras sobre K junto con esta noción de morfismo forman una categoría .

Un subespacio lineal I en C se llama coideal si I ⊆ ker( ε ) y Δ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . En ese caso, el espacio cociente C / I se convierte en una coalgebra de manera natural.

Un subespacio D de C se llama subcoálgebra si Δ( D ) ⊆ D ⊗ D ; en ese caso, D es en sí mismo una coalgebra, con la restricción de ε a D como counit.

El núcleo de cada morfismo de coalgebra f  : C ₁ → C ₂ es un coideal en C ₁ , y la imagen es una subcoálgebra de C ₂ . Los teoremas de isomorfismo comunes son válidos para coalgebras, así que por ejemplo C ₁ /ker( f ) es isomorfo a im( f ).

Si A es una K -álgebra asociativa unitaria de dimensión finita , entonces A ^∗ es una coalgebra de dimensión finita y, de hecho, toda coalgebra de dimensión finita surge de esta manera a partir de alguna álgebra de dimensión finita (es decir, del K -dual de la coalgebra). Según esta correspondencia, las álgebras conmutativas de dimensión finita corresponden a las coalgebras co-conmutativas de dimensión finita. Por lo tanto, en el caso de dimensión finita, las teorías de las álgebras y de las coalgebras son duales; estudiar una es equivalente a estudiar la otra. Sin embargo, las relaciones divergen en el caso de dimensión infinita: mientras que el K -dual de toda coalgebra es un álgebra, el K -dual de un álgebra de dimensión infinita no necesita ser una coalgebra.

Cada coálgebra es la suma de sus subálgebras de dimensión finita, algo que no es cierto para las álgebras. En abstracto, las coálgebras son generalizaciones, o duales, de álgebras asociativas unitarias de dimensión finita.

Correspondiente al concepto de representación para las álgebras está la correpresentación o comodula .

Véase también

• Coalgebra cofree
• Medición de la coalgebra
• Dialgebra

Referencias

1. Yokonuma (1992). "Prop. 1.7". Espacios tensoriales y álgebra exterior. pág. 12.
2. Yokonuma (1992). "Prop. 1.4". Espacios tensoriales y álgebra exterior. pág. 10.
3. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 3.
4. Véase también Raianu, Serban. Coálgebras a partir de fórmulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en Wayback Machine , pág. 2.
5. "Apuntes de clase para referencia" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012. Consultado el 31 de octubre de 2008 .
6. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 4.y Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción. pag. 55., Ej. 1.1.5.
7. Raianu, Serban. Coálgebras a partir de fórmulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en Wayback Machine , pág. 1.
8. Montgomery (1993) pág.61
9. Underwood (2011) pág. 35
10. Mikhalev, Aleksandr Vasil'evich; Pilz, Günter, eds. (2002). El manual conciso de álgebra . Springer-Verlag . pag. 307, C.42. ISBN 0792370724.
11. Abe, Eiichi (2004). Álgebras de Hopf . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 74. Cambridge University Press . pág. 59. ISBN. 0-521-60489-3.

Lectura adicional

• Block, Richard E.; Leroux, Pierre (1985), "Coalgebras duales generalizadas de álgebras, con aplicaciones a las coalgebras libres", Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN  0022-4049, MR  0782637, Zbl  0556.16005
• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Álgebras de Hopf: una introducción , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 235 (1ª ed.), Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl0962.16026 ​.
• Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comodules sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Coalgebras libres de cobalto y recursividad multivariable", Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN  0022-4049, MR  1992043, Zbl  1048.16022
• Montgomery, Susan (1993), Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos , Regional Conference Series in Mathematics, vol. 82, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0738-2, Zbl  0793.16029
• Underwood, Robert G. (2011), Introducción a las álgebras de Hopf , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl1234.16022 ​
• Yokonuma, Takeo (1992), Espacios tensoriales y álgebra exterior , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 108, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4564-0, Zbl0754.15028 ​
• Capítulo III, sección 11 en Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.

Enlaces externos

• William Chin: Una breve introducción a la teoría de la representación de la coalgebra