Coeficientes de Clebsch-Gordan

Coeficientes en estados propios del momento angular de sistemas cuánticos

En física , los coeficientes Clebsch–Gordan ( CG ) son números que surgen en el acoplamiento del momento angular en la mecánica cuántica . Aparecen como los coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplado . En términos más matemáticos, los coeficientes CG se utilizan en la teoría de la representación , particularmente de los grupos de Lie compactos , para realizar la descomposición de suma directa explícita del producto tensorial de dos representaciones irreducibles (es decir, una representación reducible en representaciones irreducibles, en los casos en que los números y tipos de componentes irreducibles ya se conocen de forma abstracta). El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch y Paul Gordan , quienes encontraron un problema equivalente en la teoría de invariantes .

Desde una perspectiva de cálculo vectorial , los coeficientes CG asociados con el grupo SO(3) se pueden definir simplemente en términos de integrales de productos de armónicos esféricos y sus conjugados complejos. La adición de espines en términos mecánico-cuánticos se puede leer directamente desde este enfoque ya que los armónicos esféricos son funciones propias del momento angular total y su proyección sobre un eje, y las integrales corresponden al producto interno del espacio de Hilbert . ^[1] A partir de la definición formal del momento angular, se pueden encontrar relaciones de recursión para los coeficientes de Clebsch-Gordan. También existen fórmulas explícitas complicadas para su cálculo directo. ^[2]

Las fórmulas siguientes utilizan la notación bra-ket de Dirac y se adopta la convención de fases de Condon-Shortley ^{[3] .}

Revisión de los operadores de momento angular

Los operadores de momento angular son operadores autoadjuntos j _x , j _y y j _z que satisfacen las relaciones de conmutación donde ε _klm es el símbolo de Levi-Civita . Juntos, los tres operadores definen un operador vectorial , un operador tensorial cartesiano de rango uno , También se lo conoce como vector esférico , ya que también es un operador tensorial esférico. Es solo para el rango uno que los operadores tensoriales esféricos coinciden con los operadores tensoriales cartesianos. $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$

Desarrollando más este concepto, se puede definir otro operador j ² como el producto interno de j consigo mismo: Este es un ejemplo de un operador de Casimir . Es diagonal y su valor propio caracteriza la representación irreducible particular del álgebra del momento angular . Esto se interpreta físicamente como el cuadrado del momento angular total de los estados sobre los que actúa la representación. $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

También se pueden definir operadores de elevación ( j ₊ ) y de reducción ( j ₋ ), los llamados operadores de escalera , $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Base esférica para estados propios del momento angular

Se puede demostrar a partir de las definiciones anteriores que j ² conmuta con j _x , j _y y j _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Cuando dos operadores hermíticos conmutan, existe un conjunto común de estados propios. Convencionalmente, se eligen j ² y j _{z . A partir de las relaciones de conmutación, se pueden encontrar los posibles valores propios. Estos estados propios se denotan} | j m ⟩ donde j es el número cuántico del momento angular y m es la proyección del momento angular sobre el eje z.

Comprenden la base esférica , son completas y satisfacen las siguientes ecuaciones de valores propios, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

Los operadores de elevación y descenso se pueden utilizar para alterar el valor de m , donde el coeficiente de escalera viene dado por: $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$

En principio, también se puede introducir un factor de fase (posiblemente complejo) en la definición de . La elección realizada en este artículo está de acuerdo con la convención de fase de Condon-Shortley . Los estados de momento angular son ortogonales (porque sus valores propios con respecto a un operador hermítico son distintos) y se supone que están normalizados, ${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$ $${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Aquí, las letras j y m en cursiva denotan números cuánticos enteros o semienteros del momento angular de una partícula o de un sistema. Por otra parte, las letras romanas j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ y j ² denotan operadores. Los símbolos son deltas de Kronecker . ${\displaystyle \delta }$

Espacio de productos tensoriales

Ahora consideramos sistemas con dos momentos angulares físicamente diferentes j ₁ y j ₂ . Los ejemplos incluyen el espín y el momento angular orbital de un solo electrón, o los espines de dos electrones, o los momentos angulares orbitales de dos electrones. Matemáticamente, esto significa que los operadores de momento angular actúan sobre un espacio de dimensión y también sobre un espacio de dimensión . A continuación, vamos a definir una familia de operadores de "momento angular total" que actúan sobre el espacio del producto tensorial , que tiene dimensión . La acción del operador de momento angular total sobre este espacio constituye una representación del álgebra de Lie SU(2), pero reducible. La reducción de esta representación reducible en partes irreducibles es el objetivo de la teoría de Clebsch-Gordan. ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle 2j_{1}+1}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle 2j_{2}+1}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Sea V ₁ el espacio vectorial de dimensión (2 j ₁ + 1) abarcado por los estados y V ₂ el espacio vectorial de dimensión (2 j ₂ + 1) abarcado por los estados $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

El producto tensorial de estos espacios, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , tiene una base desacoplada (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -dimensional. Los operadores de momento angular se definen para actuar sobre estados en V ₃ de la siguiente manera: y donde 1 denota el operador identidad. $${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$ $${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$ $${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

Los operadores de momento angular total ^{[nb 1]} se definen por el coproducto (o producto tensorial ) de las dos representaciones que actúan sobre V ₁ ⊗ V ₂ ,

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.}$

Se puede demostrar que los operadores de momento angular total satisfacen las mismas relaciones de conmutación , donde k , l , m ∈ { x , y , z } . De hecho, la construcción precedente es el método estándar ^[4] para construir una acción de un álgebra de Lie sobre una representación de producto tensorial. $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

Por lo tanto, también existe un conjunto de estados propios acoplados para el operador de momento angular total, para M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . Nótese que es común omitir la parte [ j ₁ j ₂ ] . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

El número cuántico del momento angular total J debe satisfacer la condición triangular de modo que los tres valores enteros o semienteros no negativos puedan corresponder a los tres lados de un triángulo. ^[5] $${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

El número total de estados propios del momento angular total es necesariamente igual a la dimensión de V ₃ : Como sugiere este cálculo, la representación del producto tensorial se descompone como la suma directa de una copia de cada una de las representaciones irreducibles de dimensión , donde varía de a en incrementos de 1. ^[6] Como ejemplo, considere el producto tensorial de la representación tridimensional correspondiente a con la representación bidimensional con . Los valores posibles de son entonces y . Por lo tanto, la representación del producto tensorial de seis dimensiones se descompone como la suma directa de una representación bidimensional y una representación de cuatro dimensiones. $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$ ${\displaystyle 2J+1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}=1}$ ${\displaystyle j_{2}=1/2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=1/2}$ ${\displaystyle J=3/2}$

El objetivo ahora es describir explícitamente la descomposición anterior, es decir, describir explícitamente los elementos base en el espacio del producto tensorial para cada una de las representaciones de componentes que surgen.

Los estados de momento angular total forman una base ortonormal de V ₃ : $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Estas reglas se pueden iterar para, por ejemplo, combinar n dobletes ( s = 1/2) para obtener la serie de descomposición de Clebsch-Gordan, ( triángulo de Catalan ), donde es la función de piso entera ; y el número que precede a la etiqueta de dimensionalidad de representación irreducible en negrita ( 2 j +1 ) indica la multiplicidad de esa representación en la reducción de la representación. ^[7] Por ejemplo, a partir de esta fórmula, la adición de tres espines 1/2 produce un espín 3/2 y dos espines 1/2, . $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Definición formal de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los estados acoplados se pueden expandir a través de la relación de completitud (resolución de identidad) en la base desacoplada.

Los coeficientes de expansión

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan . Nótese que algunos autores los escriben en un orden diferente, como ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩ . Otra notación común es ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^JM
_{j 1 m 1 j 2 m 2}.

Aplicando los operadores

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

a ambos lados de la ecuación definitoria muestra que los coeficientes de Clebsch-Gordan solo pueden ser distintos de cero cuando

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

Relaciones de recursión

Las relaciones de recursión fueron descubiertas por el físico Giulio Racah de la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1941.

La aplicación de los operadores de aumento y disminución del momento angular total al lado izquierdo de la ecuación definitoria da como resultado La aplicación de los mismos operadores al lado derecho da como resultado $${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

La combinación de estos resultados proporciona relaciones de recursión para los coeficientes de Clebsch-Gordan, donde C _± se definió en 1 : $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Tomando el signo superior con la condición de que M = J da la relación de recursión inicial: En la convención de fase de Condon-Shortley, se agrega la restricción de que $${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(y por lo tanto también es real). Los coeficientes de Clebsch–Gordan ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ pueden entonces encontrarse a partir de estas relaciones de recursión. La normalización está fijada por el requisito de que la suma de los cuadrados, que es equivalente al requisito de que la norma del estado |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ debe ser uno.

El signo inferior en la relación de recursión se puede utilizar para encontrar todos los coeficientes de Clebsch–Gordan con M = J − 1 . El uso repetido de esa ecuación proporciona todos los coeficientes.

Este procedimiento para encontrar los coeficientes Clebsch-Gordan muestra que todos son reales en la convención de fase Condon-Shortley.

Expresión explícita

Relaciones de ortogonalidad

Estos se escriben más claramente introduciendo la notación alternativa. $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

La primera relación de ortogonalidad es (derivada del hecho de que ) y la segunda es $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$ ${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$ $${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

Casos especiales

Para J = 0 los coeficientes de Clebsch-Gordan se dan por $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Para J = j ₁ + j ₂ y M = J tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Para j ₁ = j ₂ = J / 2 y m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Para j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Para j ₂ = 1 , m ₂ = 0 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Para j ₂ = 1/2 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

Propiedades de simetría

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Una forma conveniente de derivar estas relaciones es convertir los coeficientes de Clebsch-Gordan en símbolos Wigner 3-j utilizando 3 . Las propiedades de simetría de los símbolos Wigner 3-j son mucho más simples.

Reglas para los factores de fase

Se debe tener cuidado al simplificar los factores de fase: un número cuántico puede ser un semientero en lugar de un entero, por lo tanto (−1) ^{2 k} no es necesariamente 1 para un número cuántico k dado a menos que se pueda demostrar que es un entero. En cambio, se reemplaza por la siguiente regla más débil: para cualquier número cuántico similar al momento angular k . $${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

Sin embargo, una combinación de j _i y m _i siempre es un número entero, por lo que se aplica la regla más fuerte para estas combinaciones: esta identidad también se cumple si se invierte el signo de j _i o m _i o ambos. $${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

Es útil observar que cualquier factor de fase para un par ( j _i , m _i ) dado se puede reducir a la forma canónica: donde a ∈ {0, 1, 2, 3} y b ∈ {0, 1} (también son posibles otras convenciones). La conversión de factores de fase a esta forma facilita determinar si dos factores de fase son equivalentes. (Tenga en cuenta que esta forma es solo localmente canónica: no tiene en cuenta las reglas que rigen las combinaciones de pares ( j _i , m _i ) como la que se describe en el siguiente párrafo). $${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

Una regla adicional se aplica a las combinaciones de j ₁ , j ₂ y j ₃ que están relacionadas por un coeficiente de Clebsch-Gordan o un símbolo de Wigner 3-j: esta identidad también se aplica si se invierte el signo de cualquier j _i , o si alguno de ellos se sustituye por un m _i en su lugar. $${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

Relación con los símbolos 3-j de Wigner

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están relacionados con los símbolos de Wigner 3-j que tienen relaciones de simetría más convenientes.

El factor (−1) ^{2 j ₂} se debe a la restricción de Condon-Shortley de que ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , mientras que (–1) ^{J − M} se debe a la naturaleza invertida en el tiempo de | JM ⟩ .

Esto permite llegar a la expresión general:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador no es negativo, es decir, los límites de la suma K y N se toman iguales: el inferior al superior . Los factoriales de números negativos se toman convencionalmente iguales a cero, de modo que los valores del símbolo 3 j en, por ejemplo, o se establecen automáticamente en cero. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$ ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Relación con las matrices D de Wigner

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

Relación con los armónicos esféricos

En el caso en que intervienen números enteros, los coeficientes se pueden relacionar con integrales de armónicos esféricos : $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

De esto y de la ortonormalidad de los armónicos esféricos se deduce que los coeficientes CG son de hecho los coeficientes de expansión de un producto de dos armónicos esféricos en términos de un único armónico esférico: $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

Otras propiedades

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Coeficientes de Clebsch-Gordan para grupos específicos

En general, no se conocen los coeficientes Clebsch–Gordan para grupos arbitrarios y sus representaciones. Sin embargo, se conocen algoritmos para producir coeficientes Clebsch–Gordan para el grupo unitario especial SU( n ). ^{[8] [9]} En particular, se han calculado y tabulado los coeficientes Clebsch–Gordan SU(3) debido a su utilidad para caracterizar las desintegraciones hadrónicas, donde existe una simetría de tipo -SU(3) que relaciona los quarks up , down y strange . ^{[10] [11] [12]} Hay disponible una interfaz web para tabular los coeficientes Clebsch–Gordan SU(N).

Véase también

• Símbolo 3-j
• Símbolo 6-j
• Símbolo 9-j
• Coeficiente W de Racah
• Armónicos esféricos
• Base esférica
• Productos tensoriales de representaciones
• Polinomios de Legendre asociados
• Momento angular
• Acoplamiento del momento angular
• Número cuántico del momento angular total
• Número cuántico azimutal
• Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
• Matriz D de Wigner
• Teorema de Wigner-Eckart
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Coeficiente de Clebsch-Gordan para SU(3)
• Coeficiente de Littlewood-Richardson

Observaciones

1. La palabra "total" suele utilizarse con demasiada frecuencia para referirse a varias cosas diferentes. En este artículo, "momento angular total" se refiere a una suma genérica de dos operadores de momento angular j ₁ y j ₂ . No debe confundirse con el otro uso común del término "momento angular total" que se refiere específicamente a la suma del momento angular orbital y el espín .

Notas

1. Greiner y Müller 1994
2. Edmonds 1957
3. Condon y Shortley 1970
4. Hall 2015 Sección 4.3.2
5. Merzbacher 1998
6. Hall 2015 Apéndice C
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Referencias

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Enlaces externos

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• Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j
• Calculadora del coeficiente Clebsch-Gordan descargable para Mac y Windows
• Interfaz web para tabular los coeficientes Clebsch–Gordan SU(N)

Lectura adicional

• Zaarur, E.; Peleg, Y.; Pnini, R. (2006). Mecánica cuántica . Curso intensivo de esquemas sencillos de Schaum. McGraw Hill. ISBN 978-007-145533-6.
• Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• Woan, G. (2010). Manual de fórmulas de física de Cambridge . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). Editorial VHC. ISBN 0-89573-752-3.
• Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). ISBN 0-07-051400-3.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13507-7.
• Brink, DM; Satchler, GR (1993). "2. Representaciones del grupo de rotación". Momento angular (3.ª ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851759-7.
• Messiah, Albert (1981). "XIII. Momento angular en mecánica cuántica". Mecánica cuántica . Vol. II. Holanda Septentrional. págs. 507–. ISBN 978-0-7204-0045-8.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular: comprensión de los aspectos espaciales en química y física . Wiley. págs. 43–. ISBN 978-0-471-85892-8.