Coeficientes de Clebsch-Gordan

Coeficientes en estados propios del momento angular de sistemas cuánticos

En física , los coeficientes de Clebsch-Gordan ( CG ) son números que surgen en el acoplamiento de momento angular en la mecánica cuántica . Aparecen como coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplado . En términos más matemáticos, los coeficientes CG se utilizan en la teoría de la representación , particularmente de grupos compactos de Lie , para realizar la descomposición suma directa explícita del producto tensorial de dos representaciones irreducibles (es decir, una representación reducible en representaciones irreducibles, en los casos en que los números y los tipos de componentes irreducibles ya se conocen de forma abstracta). El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch y Paul Gordan , quienes encontraron un problema equivalente en la teoría invariante .

Desde una perspectiva de cálculo vectorial , los coeficientes CG asociados con el grupo SO(3) se pueden definir simplemente en términos de integrales de productos de armónicos esféricos y sus conjugados complejos. La suma de espines en términos de mecánica cuántica se puede leer directamente desde este enfoque, ya que los armónicos esféricos son funciones propias del momento angular total y su proyección sobre un eje, y las integrales corresponden al producto interno del espacio de Hilbert . ^[1] A partir de la definición formal de momento angular, se pueden encontrar relaciones de recursividad para los coeficientes de Clebsch-Gordan. También existen complicadas fórmulas explícitas para su cálculo directo. ^[2]

Las fórmulas siguientes utilizan la notación bra-ket de Dirac y se adopta la convención de fases de Condon-Shortley ^{[3] .}

Revisión de los operadores de momento angular.

Los operadores de momento angular son operadores autoadjuntos j _x , j _y y j _z que satisfacen las relaciones de conmutación

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$

ε _klmsímbolo de Levi-Civitaoperador vectorialoperador tensor

$${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$

vector esférico

Desarrollando más este concepto, se puede definir otro operador j ² como el producto interno de j consigo mismo:

$${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$

operador Casimirrepresentación irreducible ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

También se pueden definir operadores de elevación ( j ₊ ) y descenso ( j ₋ ), los llamados operadores de escalera ,

$${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Base esférica para estados propios de momento angular

A partir de las definiciones anteriores se puede demostrar que j ² conmuta con j _x , j _y y j _z :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Cuando dos operadores hermitianos conmutan, existe un conjunto común de estados propios. Convencionalmente, se eligen j ² y j _z . A partir de las relaciones de conmutación se pueden encontrar los posibles valores propios. Estos estados propios se denotan | j m ⟩ donde j es el número cuántico del momento angular y m es la proyección del momento angular sobre el eje z.

Comprenden la base esférica , son completos y satisfacen las siguientes ecuaciones de valores propios,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

Los operadores de subida y bajada se pueden utilizar para alterar el valor de m ,

$${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$

En principio, también se puede introducir un factor de fase (posiblemente complejo) en la definición de . La elección realizada en este artículo está de acuerdo con la convención de fase Condon-Shortley . Los estados del momento angular son ortogonales (porque sus valores propios con respecto a un operador hermitiano son distintos) y se supone que están normalizados. ${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$

$${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Aquí, las j y m en cursiva denotan números cuánticos de momento angular enteros o semienteros de una partícula o de un sistema. Por otro lado, los operadores romanos j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ y j ² . Los símbolos son deltas de Kronecker . ${\displaystyle \delta }$

Espacio de producto tensorial

Ahora consideramos sistemas con dos momentos angulares físicamente diferentes j ₁ y j ₂ . Los ejemplos incluyen el espín y el momento angular orbital de un solo electrón, o los espines de dos electrones, o los momentos angulares orbitales de dos electrones. Matemáticamente, esto significa que los operadores de momento angular actúan en un espacio de dimensión y también en un espacio de dimensión . Luego vamos a definir una familia de operadores de "momento angular total" que actúan sobre el espacio del producto tensorial , que tiene dimensión . La acción del operador del momento angular total en este espacio constituye una representación del álgebra de Lie SU(2), pero reducible. La reducción de esta representación reducible en piezas irreductibles es el objetivo de la teoría de Clebsch-Gordan. ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle 2j_{1}+1}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle 2j_{2}+1}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Sea V ₁ el espacio vectorial (2 j ₁ + 1) dimensional abarcado por los estados

$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$

V ₂(2 j ₂ + 1)

$${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

El producto tensorial de estos espacios, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , tiene una base desacoplada (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) dimensional

$${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$

V ₃

$${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$

$${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

1

Los operadores de momento angular total ^{[nb 1]} están definidos por el coproducto (o producto tensorial ) de las dos representaciones que actúan sobre V ₁ ⊗ V ₂ ,

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.}$

Se puede demostrar que los operadores de momento angular total satisfacen las mismas relaciones de conmutación ,

$${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

k , l , m ∈ { x , y , z }^[4]

Por lo tanto, también existe un conjunto de estados propios acoplados para el operador de momento angular total,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

METRO ∈ {− J , − J + 1, ..., J }[ j ₁ j ₂ ]

El número cuántico de momento angular total J debe satisfacer la condición triangular de que

$${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

^[5]

El número total de estados propios del momento angular total es necesariamente igual a la dimensión de V ₃ :

$${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$

^[6] ${\displaystyle 2J+1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}=1}$ ${\displaystyle j_{2}=1/2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=1/2}$ ${\displaystyle J=3/2}$

El objetivo ahora es describir explícitamente la descomposición anterior, es decir, describir explícitamente elementos básicos en el espacio del producto tensorial para cada una de las representaciones de componentes que surgen.

Los estados de momento angular total forman una base ortonormal de V ₃ :

$${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Estas reglas se pueden iterar para, por ejemplo, combinar n dobletes ( s = 1/2) para obtener la serie de descomposición de Clebsch-Gordan ( triángulo de Catalán ),

$${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$

función piso2 j +1^[7] ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Definición formal de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los estados acoplados se pueden expandir a través de la relación de completitud (resolución de identidad) en la base desacoplada.

Los coeficientes de expansión.

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

coeficientes de Clebsch-Gordan⟨ j ₁ j ₂ ; metro ₁ metro ₂ | JM ⟩​⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^JM
_{j 1 m 1 j 2 m 2}

Aplicando los operadores

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

Relaciones de recursividad

Las relaciones de recursión fueron descubiertas por el físico Giulio Racah de la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1941.

Aplicando el momento angular total a los operadores de subida y bajada

$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

La combinación de estos resultados da relaciones de recursividad para los coeficientes de Clebsch-Gordan, donde C _± se definió en 1 :

$${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Tomando el signo superior con la condición de que M = J da la relación de recursividad inicial:

$${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(y por tanto también es real). Los coeficientes de Clebsch-Gordan ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | Luego se puede encontrar J M ⟩ a partir de estas relaciones de recursividad. La normalización está fijada por el requisito de que la suma de los cuadrados, lo que equivale al requisito de que la norma del estado |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ debe ser uno.

El signo inferior en la relación de recursividad se puede utilizar para encontrar todos los coeficientes de Clebsch-Gordan con M = J − 1 . El uso repetido de esa ecuación da todos los coeficientes.

Este procedimiento para encontrar los coeficientes de Clebsch-Gordan muestra que todos son reales en la convención de fases de Condon-Shortley.

expresión explícita

Relaciones de ortogonalidad

Estos se escriben más claramente introduciendo la notación alternativa.

$${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

La primera relación de ortogonalidad es

$${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$

${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$

$${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

Casos especiales

Para J = 0 , los coeficientes de Clebsch-Gordan vienen dados por

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Para J = j ₁ + j ₂ y M = J tenemos

$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Para j ₁ = j ₂ = J / 2 y m ₁ = − m ₂ tenemos

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Para j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ tenemos

$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Para j ₂ = 1 , m ₂ = 0 tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Para j ₂ = 1/2 tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

Propiedades de simetría

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Una forma conveniente de derivar estas relaciones es convertir los coeficientes de Clebsch-Gordan a símbolos Wigner 3-j usando 3 . Las propiedades de simetría de los símbolos Wigner 3-j son mucho más simples.

Reglas para factores de fase.

Es necesario tener cuidado al simplificar los factores de fase: un número cuántico puede ser un semientero en lugar de un número entero, por lo tanto (−1) ^{2 k} no es necesariamente 1 para un número cuántico k dado , a menos que se pueda demostrar que es un número entero. En cambio, se reemplaza por la siguiente regla más débil:

$${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

para cualquier número cuántico k

No obstante, una combinación de j _i y m _i es siempre un número entero, por lo que se aplica la regla más estricta para estas combinaciones:

$${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

j _im _i

Es útil observar que cualquier factor de fase para un par ( ji _, m _i ) dado puede reducirse a la forma canónica :

$${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

a ∈ {0, 1, 2, 3}b ∈ {0, 1}enlocalmente( ji _, m _i )

Se aplica una regla adicional para combinaciones de j ₁ , j ₂ y j ₃ que están relacionadas por un coeficiente de Clebsch-Gordan o un símbolo Wigner 3-j:

$${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

j _i , o si cualquiera de ellos se sustituye por un m _i

Relación con los símbolos Wigner 3-j

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están relacionados con los símbolos Wigner 3-j que tienen relaciones de simetría más convenientes.

El factor (−1) ^{2 j ₂} se debe a la restricción de Condon-Shortley de que ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , mientras que (–1) ^{J − M} se debe a la naturaleza invertida en el tiempo de | JM⟩ .​

Relación con las matrices D de Wigner

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

Relación con los armónicos esféricos

En el caso de que se trate de números enteros, los coeficientes se pueden relacionar con integrales de armónicos esféricos :

$${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

De esto y de la ortonormalidad de los armónicos esféricos se deduce que los coeficientes CG son de hecho los coeficientes de expansión de un producto de dos armónicos esféricos en términos de un único armónico esférico:

$${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

Otras propiedades

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Coeficientes de Clebsch-Gordan para grupos específicos

Para grupos arbitrarios y sus representaciones, los coeficientes de Clebsch-Gordan no se conocen en general. Sin embargo, se conocen algoritmos para producir coeficientes de Clebsch-Gordan para el grupo unitario especial SU ( n ). ^{[8] [9]} En particular, los coeficientes SU(3) de Clebsch-Gordan se han calculado y tabulado debido a su utilidad para caracterizar las desintegraciones hadrónicas, donde existe una simetría de sabor -SU(3) que relaciona las fases arriba , abajo y extraña. quarks. ^{[10] [11] [12]} Está disponible una interfaz web para tabular los coeficientes SU(N) de Clebsch-Gordan.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan para grupos simétricos también se conocen como coeficientes de Kronecker .

Ver también

• símbolo 3-j
• símbolo 6-j
• símbolo 9-j
• Racah coeficiente W
• Armónicos esféricos
• base esférica
• Productos tensoriales de representaciones.
• Polinomios de Legendre asociados
• Momento angular
• Acoplamiento de momento angular
• Número cuántico del momento angular total
• Número cuántico azimutal
• Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
• Matriz D Wigner
• Teorema de Wigner-Eckart
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Coeficiente de Clebsch-Gordan para SU(3)
• Coeficiente de Littlewood-Richardson

Observaciones

1. La palabra "total" a menudo se sobrecarga para significar varias cosas diferentes. En este artículo, "momento angular total" se refiere a una suma genérica de dos operadores de momento angular j ₁ y j ₂ . No debe confundirse con el otro uso común del término "momento angular total" que se refiere específicamente a la suma del momento angular orbital y el espín .

Notas

1. Greiner y Muller 1994
2. Edmonds 1957
3. Condon y Shortley 1970
4. Salón 2015 Sección 4.3.2
5. Merzbacher 1998
6. Salón 2015 Apéndice C
7. Zachos, CK (1992). "Alteración de la simetría de las funciones de onda en álgebras cuánticas y supersimetría". Letras de Física Moderna A. A7 (18): 1595-1600. arXiv : hep-th/9203027 . Código bibliográfico : 1992MPLA....7.1595Z. doi :10.1142/S0217732392001270. S2CID  16360975.
8. Alex y otros. 2011
9. Kaplan y Resnikoff 1967
10. de Swart 1963
11. Kaeding 1995
12. Coleman, Sidney. "Diversión con SU (3)". INSPIREAyuda .

Referencias

• Álex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; Von Delft, J. (2011). "Un algoritmo numérico para el cálculo explícito de los coeficientes SU (N) y SL (N, C) de Clebsch-Gordan". J. Matemáticas. Física . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Código Bib : 2011JMP....52b3507A. doi : 10.1063/1.3521562. S2CID  55572438.
• Condón, Edward U.; Shortley, GH (1970). "Cap. 3". La teoría de los espectros atómicos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-09209-8.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Greiner, Walter ; Müller, Berndt (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-3540580805.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Kaplan, LM; Resnikoff, M. (1967). "Productos matriciales y coeficientes explícitos 3, 6, 9 y 12j de la representación regular de SU (n)". J. Matemáticas. Física . 8 (11): 2194. Código bibliográfico : 1967JMP.....8.2194K. doi :10.1063/1.1705141.
• Kaeding, Thomas (1995). "Tablas de factores isoescalares SU (3)". Tablas de datos atómicos y datos nucleares . 61 (2): 233–288. arXiv : nucl-th/9502037 . Código bibliográfico : 1995ADNDT..61..233K. doi :10.1006/adnd.1995.1011.
• Merzbacher, Eugen (1998). Mecánica cuántica (3ª ed.). Juan Wiley. págs. 428–9. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Alberto Mesías (1966). Mecánica cuántica (Vols. I y II), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda del Norte, John Wiley & Sons.
• de Swart, JJ (1963). "El modelo del Octeto y sus coeficientes de Clebsch-Gordan". Mod. Rev. Física. (Manuscrito enviado). 35 (4): 916. Código bibliográfico : 1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916.

enlaces externos

• Nakamura, Kenzo; et al. (2010). "Revisión de Física de Partículas: coeficientes de Clebsch-Gordan, armónicos esféricos y funciones d" (PDF) . Revista de Física G: Física Nuclear y de Partículas . 37 (75021): 368. Código bibliográfico : 2010JPhG...37g5021N. doi :10.1088/0954-3899/37/7A/075021. Actualización parcial para la edición 2012.
• Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j
• Calculadora de coeficiente Clebsch-Gordan descargable para Mac y Windows
• Interfaz web para tabular coeficientes SU(N) de Clebsch-Gordan

Otras lecturas

• Zaarur, E.; Peleg, Y.; Pnini, R. (2006). Mecánica cuántica . Curso intensivo Easy Oulines de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 978-007-145533-6.
• Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de Átomos y Moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• Woan, G. (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores VHC. ISBN 0-89573-752-3.
• Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). ISBN 0-07-051400-3.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13507-7.
• borde, DM; Satchler, GR (1993). "2. Representaciones del Grupo de Rotación". Momento angular (3ª ed.). Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-851759-7.
• Mesías, Albert (1981). "XIII. Momento angular en mecánica cuántica". Mecánica cuántica . vol. II. Holanda del Norte. págs. 507–. ISBN 978-0-7204-0045-8.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular: comprensión de los aspectos espaciales en química y física . Wiley. págs.43–. ISBN 978-0-471-85892-8.