símbolo 3-j

Coeficientes acoplados con el momento angular.

En mecánica cuántica , los símbolos Wigner 3-j , también llamados símbolos 3 -jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan con el fin de sumar momentos angulares. ^[1] Si bien los dos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica.

Relación matemática con los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los símbolos 3- j están dados en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Los componentes j y m son números cuánticos de momento angular, es decir, cada j (y cada m correspondiente ) es un número entero no negativo o un número medio impar . El exponente del factor de signo es siempre un número entero, por lo que permanece igual cuando se transpone a la izquierda, y la relación inversa se sigue al hacer la sustitución m ₃ → − m ₃ :

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

expresión explícita

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta (i,j)}$

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador no es negativo, es decir, los límites de la suma K y N se consideran iguales: el inferior es el superior. Los factoriales de números negativos se consideran convencionalmente iguales a cero. , de modo que los valores del símbolo 3 j en, por ejemplo, o se establezcan automáticamente en cero. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$ ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Relación de definición con los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes CG se definen de manera que expresen la suma de dos momentos angulares en términos de un tercero:

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

Los símbolos 3- j , por otro lado, son los coeficientes con los que se deben sumar tres momentos angulares para que la resultante sea cero:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Aquí está el estado de momento angular cero ( ). Es evidente que el símbolo 3- j trata los tres momentos angulares involucrados en el problema de suma en pie de igualdad y, por lo tanto, es más simétrico que el coeficiente CG. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ ${\displaystyle j=m=0}$

Dado que el estado no cambia con la rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados de rotación con un símbolo 3- j es invariante bajo las rotaciones. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$

Reglas de selección

El símbolo Wigner 3- j es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Propiedades de simetría

Un símbolo 3- j es invariante bajo una permutación par de sus columnas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Una permutación impar de las columnas da un factor de fase:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Al cambiar el signo de los números cuánticos ( inversión del tiempo ) también se obtiene una fase: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Los símbolos 3- j también tienen las llamadas simetrías Regge, que no se deben a permutaciones ni a inversión del tiempo. ^[2] Estas simetrías son:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Con las simetrías de Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estos se muestran mejor mediante la definición de un símbolo Regge, que es una correspondencia uno a uno entre este y un símbolo 3- j y asume las propiedades de un cuadrado semimágico: ^[3]

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

¡por lo que las 72 simetrías ahora corresponden a 3! fila y 3! intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos pueden utilizarse para diseñar un plan de almacenamiento eficaz. ^[3]

Relaciones de ortogonalidad

Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j ₁ y j ₂ se puede describir en términos de los estados básicos no acoplados (etiquetados por los números cuánticos m ₁ y m ₂ ), o los estados básicos acoplados (etiquetados por j ₃ y m ₃ ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitaridad implica las relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

El delta triangular { j ₁  j ₂  j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo y es cero en caso contrario. El delta triangular en sí a veces se llama confusamente ^[4] un " símbolo 3- j " (sin m ) en analogía con los símbolos 6- j y 9- j , todos los cuales son sumas irreducibles de símbolos 3- jm donde no hay m variables. permanecer.

Relación con armónicos esféricos; Coeficientes demacrados

Los símbolos 3- jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

con y números enteros. Estas integrales se denominan coeficientes de Gaunt. ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{3}}$

Relación con integrales de armónicos esféricos ponderados por espín

Existen relaciones similares para los armónicos esféricos ponderados por espín si : ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Relaciones de recursividad

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Expresiones asintóticas

Para un símbolo 3- j distinto de cero es ${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

donde , y es una función de Wigner . Generalmente una mejor aproximación que obedece a la simetría de Regge viene dada por ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$ ${\displaystyle d_{mn}^{l}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

dónde . ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$

tensor métrico

La siguiente cantidad actúa como tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como símbolo Wigner 1-jm : ^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

Se puede utilizar para realizar inversión de tiempo en momentos angulares.

Casos especiales y otras propiedades.

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

De la ecuación (3.7.9) en ^[6]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

donde P son polinomios de Legendre .

Relación con RaçahV-coeficientes

Los símbolos Wigner 3- j están relacionados con los coeficientes Racah V ^[7] mediante una fase simple:

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Relación con la teoría de grupos

Esta sección esencialmente reformula la relación definitoria en el lenguaje de la teoría de grupos.

Una representación grupal de un grupo es un homomorfismo del grupo en un grupo de transformaciones lineales en algún espacio vectorial. Las transformaciones lineales pueden estar dadas por un grupo de matrices con respecto a alguna base del espacio vectorial.

El grupo de transformaciones que dejan invariantes los momentos angulares es el grupo de rotación tridimensional SO(3) . Cuando se incluyen los momentos angulares de "giro", el grupo es su doble grupo de cobertura , SU(2) .

Una representación reducible es aquella en la que se puede aplicar un cambio de base para llevar todas las matrices a una forma diagonal de bloque. Una representación es irreductible (irrep) si no existe tal transformación.

Para cada valor de j , los 2 j +1 kets forman una base para una representación irreducible (irrep) de SO(3)/SU(2) sobre los números complejos. Dados dos irreps, el producto directo del tensor se puede reducir a una suma de irreps, dando lugar a los coeficientes de Clebcsh-Gordon, o mediante la reducción del producto triple de tres irrep al trivial irrep 1 que da lugar a los símbolos 3j.

Símbolos 3j para otros grupos.

El símbolo ha sido estudiado más intensamente en el contexto del acoplamiento del momento angular. Para esto, está fuertemente relacionado con la teoría de representación de grupos de los grupos SU(2) y SO(3) como se discutió anteriormente. Sin embargo, muchos otros grupos son importantes en física y química , y se ha trabajado mucho sobre el símbolo de estos otros grupos. En esta sección se considera parte de ese trabajo. ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle 3j}$

Grupos simplemente reducibles

El artículo original de Wigner ^[1] no se limitó a SO(3)/SU(2), sino que se centró en grupos simplemente reducibles (SR). Son grupos en los que

• todas las clases son ambivalentes, es decir, si es miembro de una clase, también lo es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{-1}}$
• el producto de Kronecker de dos irreps está libre de multiplicidad, es decir, no contiene ningún irrep más de una vez.

Para los grupos SR, cada irrep es equivalente a su conjugado complejo, y bajo permutaciones de las columnas el valor absoluto del símbolo es invariante y la fase de cada uno se puede elegir de manera que como máximo cambien de signo bajo permutaciones impares y permanezcan sin cambios bajo pares. permutaciones.

Grupos compactos generales

Los grupos compactos forman una amplia clase de grupos con estructura topológica . Incluyen los grupos finitos con topología discreta agregada y muchos de los grupos de Lie .

Los grupos compactos generales no serán ambivalentes ni estarán libres de multiplicidad. Derome y Sharp ^[8] y Derome ^[9] examinaron el símbolo para el caso general utilizando la relación con los coeficientes de Clebsch-Gordon de ${\displaystyle 3j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .}$

donde es la dimensión del espacio de representación de y es la representación conjugada compleja de . ${\displaystyle [j]}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{3}}$

Al examinar las permutaciones de las columnas del símbolo, mostraron tres casos: ${\displaystyle 3j}$

• Si todos son no equivalentes, entonces se puede elegir que el símbolo sea invariante bajo cualquier permutación de sus columnas. ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$
• si exactamente dos son equivalentes, entonces se pueden elegir transposiciones de sus columnas de modo que algunos símbolos sean invariantes mientras que otros cambien de signo. Un enfoque utilizando una corona producto del grupo con ^[10] mostró que estos corresponden a las representaciones del grupo simétrico . Las permutaciones cíclicas dejan el símbolo invariante. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1^{2}]}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle 3j}$
• Si los tres son equivalentes, el comportamiento depende de las representaciones del grupo simétrico . Las representaciones del grupo de corona correspondientes a son invariantes bajo transposiciones de las columnas, correspondientes al cambio de signo bajo transposiciones, mientras que un par correspondiente a la representación bidimensional se transforma de acuerdo con eso. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [3]}$ ${\displaystyle [1^{3}]}$ ${\displaystyle [21]}$

Se han realizado más investigaciones sobre símbolos para grupos compactos basándose en estos principios. ^[11] ${\displaystyle 3j}$

Sol)

El grupo unitario especial SU(n) es el grupo de Lie de n × n matrices unitarias con determinante 1.

El grupo SU(3) es importante en la teoría de partículas . Hay muchos artículos que tratan sobre el símbolo o equivalente ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle 3j}$

Se ha estudiado el símbolo del grupo SU(4) ^{[20] [21]} mientras que también se está trabajando en los grupos generales SU(n) ^{[22] [23]} ${\displaystyle 3j}$

Grupos de puntos cristalográficos

Hay muchos artículos que tratan sobre los símbolos o coeficientes de Clebsch-Gordon para los grupos de puntos cristalográficos finitos y los grupos de puntos dobles. El libro de Butler ^[24] hace referencia a estos y detalla la teoría junto con tablas. ${\displaystyle 3j}$

Grupos magnéticos

Los grupos magnéticos incluyen operadores antilineales y operadores lineales. Es necesario abordarlos utilizando la teoría de Wigner de las correpresentaciones de grupos unitarios y antiunitarios . Una desviación significativa de la teoría de la representación estándar es que la multiplicidad de la corepresentación irreducible en el producto directo de las corerepresentaciones irreducibles es generalmente menor que la multiplicidad de la corepresentación trivial en el producto triple , lo que lleva a diferencias significativas entre los coeficientes de Clebsch-Gordon y los símbolo. ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$

Los símbolos han sido examinados para los grupos grises ^{[25] [26]} y para los grupos de puntos magnéticos ^[27] ${\displaystyle 3j}$

Ver también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Armónicos esféricos
• símbolo 6-j
• símbolo 9-j

Referencias

1. Wigner, EP (1993). "Sobre las matrices que reducen los productos Kronecker de representaciones de grupos SR". En Wightman, Arthur S. (ed.). Las obras completas de Eugene Paul Wigner . vol. A/1. págs. 608–654. doi :10.1007/978-3-662-02781-3_42. ISBN 978-3-642-08154-5.
2. Regge, T. (1958). "Propiedades de simetría de los coeficientes de Clebsch-Gordan". Nuevo Cimento . 10 (3): 544. Código bibliográfico : 1958NCim...10..544R. doi :10.1007/BF02859841. S2CID  122299161.
3. Rasch, J.; Yu, ACH (2003). "Esquema de almacenamiento eficiente para coeficientes Wigner 3 j , 6 j y Gaunt precalculados ". SIAM J. Ciencias. Computación . 25 (4): 1416-1428. doi :10.1137/s1064827503422932.
4. Desparasitante PES; J. Paldus (2006). "Diagramas de momento angular". Avances en Química Cuántica . 51 . Elsevier: 59-124. Código Bib : 2006AdQC...51...59W. doi :10.1016/S0065-3276(06)51002-0. ISBN 9780120348510. ISSN  0065-3276.
5. Cruzán, Orval R. (1962). "Teoremas de suma traslacional para funciones de onda vectoriales esféricas". Trimestral de Matemática Aplicada . 20 (1): 33–40. doi : 10.1090/qam/132851 . ISSN  0033-569X.
6. Edmonds, Alan (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton.
7. Racah, G. (1942). "Teoría de los espectros complejos II". Revisión física . 62 (9–10): 438–462. Código bibliográfico : 1942PhRv...62..438R. doi : 10.1103/PhysRev.62.438.
8. Derome, JR; Afilado, WT (1965). "Álgebra de Racah para un grupo arbitrario". J. Matemáticas. Física . 6 (10): 1584-1590. Código bibliográfico : 1965JMP......6.1584D. doi :10.1063/1.1704698.
9. Derome, JR (1966). "Propiedades de simetría de los símbolos 3j para un grupo arbitrario". J. Matemáticas. Física . 7 (4): 612–615. Código bibliográfico : 1966JMP......7..612D. doi :10.1063/1.1704973.
10. Newmarch, JD (1983). "Sobre las simetrías 3j". J. Matemáticas. Física . 24 (4): 757–764. Código bibliográfico : 1983JMP....24..757N. doi : 10.1063/1.525771.
11. Mayordomo, PH; Wybourne, BG (1976). "Cálculo de símbolos j y jm para grupos compactos arbitrarios. I. Metodología". En t. J. Química cuántica . X (4): 581–598. doi :10.1002/qua.560100404.
12. Moshinsky, Marcos (1962). "Coeficientes de Wigner para el grupo SU ₃ y algunas aplicaciones". Mod. Rev. Física . 34 (4): 813. Código bibliográfico : 1962RvMP...34..813M. doi :10.1103/RevModPhys.34.813.
13. P. McNamee, SJ; Chilton, Frank (1964). "Tablas de coeficientes de Clebsch-Gordan de SU ₃ ". Mod. Rev. Física . 36 (4): 1005. Código bibliográfico : 1964RvMP...36.1005M. doi :10.1103/RevModPhys.36.1005.
14. Draayer, JP; Akiyama, Yoshimi (1973). "Coeficientes de Wigner y Racah para SU3" (PDF) . J. Matemáticas. Física . 14 (12): 1904. Código bibliográfico : 1973JMP....14.1904D. doi : 10.1063/1.1666267. hdl : 2027.42/70151 .
15. Akiyama, Yoshimi; Draayer, JP (1973). "Una guía del usuario de programas fortran para los coeficientes de Wigner y Racah de SU ₃ ". Computadora. Física. Comunitario . 5 (6): 405. Código bibliográfico : 1973CoPhC...5..405A. doi :10.1016/0010-4655(73)90077-5. hdl : 2027.42/24983 .
16. Bickerstaff, RP; Mayordomo, PH; Colillas, MB; Haase, RW; Reid, MF (1982). "Mesas 3jm y 6j para algunas bases de SU ₆ y SU ₃ ". J. Física. A . 15 (4): 1087. Código bibliográfico : 1982JPhA...15.1087B. doi :10.1088/0305-4470/15/4/014.
17. Swart de, JJ (1963). "El modelo del octeto y sus coeficientes de Glebsch-Gordan". Mod. Rev. Física . 35 (4): 916. Código bibliográfico : 1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916.
18. Derome, JR (1967). "Propiedades de simetría de los símbolos 3j para SU (3)". J. Matemáticas. Física . 8 (4): 714–716. Código bibliográfico : 1967JMP......8..714D. doi :10.1063/1.1705269.
19. Hecht, KT (1965). "Reacoplamiento SU ₃ y parentesco fraccionado en el caparazón 2s-1d". Núcleo. Física . 62 (1): 1. Bibcode : 1965NucPh..62....1H. doi :10.1016/0029-5582(65)90068-4. hdl : 2027.42/32049 .
20. Hecht, KT; Pang, Sing Ching (1969). "Sobre el esquema del supermultiplete de Wigner" (PDF) . J. Matemáticas. Física . 10 (9): 1571. Código bibliográfico : 1969JMP....10.1571H. doi :10.1063/1.1665007. hdl : 2027.42/70485 .
21. Haacke, EM; Moffat, JW; Savaria, P. (1976). "Un cálculo de los coeficientes SU (4) de Glebsch-Gordan". J. Matemáticas. Física . 17 (11): 2041. Código bibliográfico : 1976JMP....17.2041H. doi : 10.1063/1.522843.
22. Baird, GE; Biedenharn, LC (1963). "Sobre la representación de los Grupos de Lie semisimples. II". J. Matemáticas. Física . 4 (12): 1449. Código bibliográfico : 1963JMP.....4.1449B. doi :10.1063/1.1703926.
23. Baird, GE; Biedenharn, LC (1964). "Sobre las representaciones de los Grupos de Lie semisimples. III. La Operación de conjugación explícita para SU _n ". J. Matemáticas. Física . 5 (12): 1723. Código bibliográfico : 1964JMP.....5.1723B. doi :10.1063/1.1704095.
24. Mayordomo, PH (1981). Aplicaciones de simetría de grupos de puntos: métodos y tablas . Plenum Press, Nueva York.
25. Newmarch, JD (1981). El álgebra de Racah para grupos con simetría de inversión temporal (Tesis). Universidad de Nueva Gales del Sur.
26. Newmarch, JD; Golding, RM (1981). "El álgebra de Racah para grupos con simetría de inversión de tiempo". J. Matemáticas. Física . 22 (2): 233–244. Código bibliográfico : 1981JMP....22..233N. doi : 10.1063/1.524894. hdl : 1959.4/69692 .
27. Kotsev, JN; Aroyo, MI; Angelova, MN (1984). "Tablas de coeficientes espectroscópicos para simetría de grupos de puntos magnéticos". J. Mol. Estructura . 115 : 123-128. doi :10.1016/0022-2860(84)80030-7.

• LC Biedenharn y JD Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , volumen 8 de la Enciclopedia de Matemáticas, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• DM Brink y GR Satchler, Angular Momentum , 3.ª edición, Clarendon, Oxford, 1993.
• AR Edmonds, Momento angular en mecánica cuántica , 2.ª edición, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Maximon, Leonard C. (2010), "Símbolos 3j,6j,9j", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Varshalovich, DA; Moskalev, AN; Khersonskii, VK (1988). Teoría cuántica del momento angular . World Scientific Publishing Co.
• Regge, T. (1958). "Propiedades de simetría de los coeficientes de Clebsch-Gordon". Nuevo Cimento . 10 (3): 544–545. Código bibliográfico : 1958NCim...10..544R. doi :10.1007/BF02859841. S2CID  122299161.

• Horie, Hisashi (1964). "Representaciones del grupo simétrico y los coeficientes de parentesco fraccionarios". J. Física. Soc. Japón . 19 (10): 1783. Código bibliográfico : 1964JPSJ...19.1783H. doi :10.1143/JPSJ.19.1783.
• Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). "Grupos unitarios: representaciones y descomposiciones". Mod. Rev. Física . 38 (1): 95. Código bibliográfico : 1966RvMP...38...95I. doi :10.1103/RevModPhys.38.95. OSTI  1444219.
• Kramer, P. (1967). "Coeficientes de parentesco fraccional orbital para el modelo de capa de oscilador armónico". Z. Física . 205 (2): 181. Código bibliográfico : 1967ZPhy..205..181K. doi :10.1007/BF01333370. S2CID  122879812.
• Kramer, P. (1968). "Coeficientes de reacoplamiento del grupo simétrico para configuraciones de modelo de concha y clúster". Z. Física . 216 (1): 68. Código bibliográfico : 1968ZPhy..216...68K. doi :10.1007/BF01380094. S2CID  121508850.
• Lezuo, KJ ​​(1972). "El grupo simétrico y la base Gel'fand de U (3). Generalizaciones de la identidad de Dirac". J. Matemáticas. Física . 13 (9): 1389. Código bibliográfico : 1972JMP....13.1389L. doi :10.1063/1.1666151.
• Paldus, Josef (1974). "Aproximación teórica de grupo a los cálculos de la teoría de perturbaciones e interacción de configuración para sistemas atómicos y moleculares". J. química. Física . 61 (12): 5321. Código bibliográfico : 1974JChPh..61.5321P. doi : 10.1063/1.1681883.
• Schulten, Klaus; Gordon, Roy G. (1975). "Evaluación recursiva exacta de los coeficientes 3j y 6j para el acoplamiento mecánico cuántico de momentos angulares". J. Matemáticas. Física . 16 (10): 1961-1970. Código bibliográfico : 1975JMP....16.1961S. doi : 10.1063/1.522426.
• Paldus, Josef (1976). "Enfoque de grupo unitario para el problema de correlación de muchos electrones: relación de formulaciones de cuadros de Gelfand y Weyl". Física. Rev. A. 14 (5): 1620. Código bibliográfico : 1976PhRvA..14.1620P. doi :10.1103/PhysRevA.14.1620.
• Raynal, Jacques (1978). "Sobre la definición y propiedades de los símbolos 3-j generalizados". J. Matemáticas. Física . 19 (2): 467. doi : 10.1063/1.523668.
• Sarma, CR; Sahasrabudhe, GG (1980). "Simetría permutacional de muchos estados de partículas". J. Matemáticas. Física . 21 (4): 638. Código bibliográfico : 1980JMP....21..638S. doi : 10.1063/1.524509.
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). "Un nuevo enfoque para la representación de grupos de permutación". J. Matemáticas. Física . 23 (6): 928. Código bibliográfico : 1982JMP....23..928C. doi : 10.1063/1.525460.
• Sarma, CR (1982). "Determinación de la base para las representaciones irreductibles del grupo unitario para U(p+q)↓U(p)×U(q)". J. Matemáticas. Física . 23 (7): 1235. Código bibliográfico : 1982JMP....23.1235S. doi : 10.1063/1.525507.
• Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). "La base de Gel'fand y los elementos de la matriz del grupo unitario graduado U (m/n)". J. Física. A . 16 (15): 3435. Código bibliográfico : 1983JPhA...16.3435C. doi :10.1088/0305-4470/16/15/010.
• Nikam, RS; Dinesha, KV; Sarma, CR (1983). "Reducción de representaciones de productos internos de grupos unitarios". J. Matemáticas. Física . 24 (2): 233. Código bibliográfico : 1983JMP....24..233N. doi : 10.1063/1.525698.
• Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). "Coeficientes de transformación de grupos de permutación". J. Matemáticas. Física . 24 (12): 2695. Código bibliográfico : 1983JMP....24.2695C. doi : 10.1063/1.525668.
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). "El coeficiente de Clebsch-Gordan para la base SU (m / n) Gel'fand". J. Física. A . 17 (3): 481. Código bibliográfico : 1984JPhA...17..727K. doi :10.1088/0305-4470/17/3/011.
• Srinivasa Rao, K. (1985). "Temas especiales de la teoría cuántica del momento angular". Pramana . 24 (1): 15-26. Código Bib : 1985Prama..24...15R. doi :10.1007/BF02894812. S2CID  120663002.
• Wei, Liqiang (1999). "Enfoque unificado para el cálculo exacto de los coeficientes de acoplamiento y reacoplamiento del momento angular". Computadora. Física. Comunitario . 120 (2–3): 222–230. Código Bib : 1999CoPhC.120..222W. doi :10.1016/S0010-4655(99)00232-5.
• Rasch, J.; Yu, ACH (2003). "Esquema de almacenamiento eficiente para coeficientes Wigner 3j, 6j y Gaunt precalculados". SIAM J. Ciencias. Computación . 25 (4): 1416-1428. doi :10.1137/s1064827503422932.

enlaces externos

• Piedra, Antonio. "Calculadora del coeficiente de Wigner".
• Volya, A. "Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j". Archivado desde el original el 29 de septiembre de 2007.(Numérico)
• Stevenson, Paul (2002). "Clebsch-O-Matic". Comunicaciones de Física Informática . 147 (3): 853–858. Código Bib : 2002CoPhC.147..853S. doi :10.1016/S0010-4655(02)00462-9.
• Calculadora de símbolos 369j en el Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann (numérica)
• Frederik J Simons: archivo de software Matlab, el código THREEJ.M
• Sage (software de matemáticas) Da la respuesta exacta para cualquier valor de j, m
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)".(preciso; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)".(búsqueda rápida, precisa; C, fortran)