grupo de rotación 3D

Grupo de rotaciones en 3 dimensiones.

En mecánica y geometría , el grupo de rotación 3D , a menudo denominado SO (3) , es el grupo de todas las rotaciones alrededor del origen del espacio euclidiano tridimensional bajo la operación de composición . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por definición, una rotación alrededor del origen es una transformación que preserva el origen, la distancia euclidiana (por lo que es una isometría ) y la orientación (es decir, la lateralidad del espacio). Componer dos rotaciones da como resultado otra rotación, cada rotación tiene una rotación inversa única y el mapa de identidad satisface la definición de rotación. Debido a las propiedades anteriores (junto con la propiedad asociativa de las rotaciones compuestas ), el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo composición.

Cada rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, girar R 90° en el plano xy seguido de S 90° en el plano yz no es lo mismo que S seguido de R ), lo que convierte al grupo de rotación 3D en un grupo no abeliano . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como variedad para la cual las operaciones del grupo son suavemente diferenciables , por lo que en realidad es un grupo de Lie . Es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son transformaciones lineales de y, por lo tanto, pueden representarse mediante matrices una vez que se ha elegido una base . Específicamente, si elegimos una base ortonormal de , cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, cuando se multiplica por su transpuesta , da como resultado la matriz identidad ) con determinante 1. Por tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices en la multiplicación de matrices . Estas matrices se conocen como "matrices ortogonales especiales", lo que explica la notación SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El grupo SO(3) se utiliza para describir las posibles simetrías rotacionales de un objeto, así como las posibles orientaciones de un objeto en el espacio. Sus representaciones son importantes en física, donde dan origen a las partículas elementales de espín entero .

Longitud y ángulo

Además de preservar la longitud, las rotaciones también preservan los ángulos entre vectores. Esto se desprende del hecho de que el producto escalar estándar entre dos vectores u y v se puede escribir puramente en términos de longitud:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

De ello se deduce que cada transformación lineal que conserva la longitud conserva el producto escalar y, por tanto, el ángulo entre vectores. Las rotaciones a menudo se definen como transformaciones lineales que preservan el producto interno en , lo que equivale a exigirles que preserven la longitud. Véase el grupo clásico para un tratamiento de este enfoque más general, donde SO(3) aparece como un caso especial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Matrices ortogonales y de rotación.

Cada rotación asigna una base ortonormal a otra base ortonormal. Como cualquier transformación lineal de espacios vectoriales de dimensión finita , una rotación siempre puede representarse mediante una matriz . Sea R una rotación dada. Con respecto a la base estándar e ₁ , e ₂ , e ₃ de las columnas de R vienen dadas por ( R e ₁ , R e ₂ , R e ₃ ) . Dado que la base estándar es ortonormal y R conserva los ángulos y la longitud, las columnas de R forman otra base ortonormal. Esta condición de ortonormalidad se puede expresar en la forma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

donde R ^T denota la transpuesta de R e I es la matriz identidad de 3 × 3 . Las matrices para las que se cumple esta propiedad se denominan matrices ortogonales . El grupo de todas las matrices ortogonales de 3 × 3 se denota como O(3) y consta de todas las rotaciones propias e impropias.

Además de preservar la longitud, las rotaciones adecuadas también deben preservar la orientación. Una matriz conservará o invertirá la orientación según si el determinante de la matriz es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R , observe que det R ^T = det R implica (det R ) ² = 1 , de modo que det R = ±1 . El subgrupo de matrices ortogonales con determinante +1 se llama grupo ortogonal especial , denotado SO(3) .

Por tanto, cada rotación puede representarse de forma única mediante una matriz ortogonal con determinante unitario. Además, dado que la composición de las rotaciones corresponde a la multiplicación de matrices , el grupo de rotación es isomorfo al grupo ortogonal especial SO(3) .

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante −1 y no forman un grupo porque el producto de dos rotaciones impropias es una rotación propia.

Estructura de grupo

El grupo de rotación es un grupo bajo composición de funciones (o equivalentemente el producto de transformaciones lineales ). Es un subgrupo del grupo lineal general que consta de todas las transformaciones lineales invertibles del espacio tridimensional real . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Además, el grupo de rotación es nobeliano . Es decir, el orden en que se componen las rotaciones marca la diferencia. Por ejemplo, un cuarto de vuelta alrededor del eje x positivo seguido de un cuarto de vuelta alrededor del eje y positivo es una rotación diferente a la que se obtiene girando primero alrededor de y y luego x .

El grupo ortogonal, que consta de todas las rotaciones propias e impropias, se genera mediante reflexiones. Toda rotación propia es la composición de dos reflexiones, un caso especial del teorema de Cartan-Dieudonné .

Clasificación completa de subgrupos finitos.

Los subgrupos finitos de están completamente clasificados . ^[3] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

Cada subgrupo finito es isomorfo a un elemento de una de dos familias contablemente infinitas de isometrías planas: los grupos cíclicos o los grupos diédricos , o a uno de otros tres grupos: el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico o el grupo icosaédrico . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong A_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{4}}$ ${\displaystyle \cong A_{5}}$

Eje de rotación

Cada rotación propia no trivial en 3 dimensiones fija un subespacio lineal unidimensional único que se llama eje de rotación (este es el teorema de rotación de Euler ). Cada una de estas rotaciones actúa como una rotación bidimensional ordinaria en el plano ortogonal a este eje. Dado que cada rotación bidimensional se puede representar mediante un ángulo φ , una rotación tridimensional arbitraria se puede especificar mediante un eje de rotación junto con un ángulo de rotación alrededor de este eje. (Técnicamente, es necesario especificar una orientación para el eje y si se considera que la rotación es en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a esta orientación). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Por ejemplo, la rotación en sentido antihorario alrededor del eje z positivo mediante el ángulo φ viene dada por

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Dado un vector unitario n en y un ángulo φ , sea R ( φ ,  n ) una rotación en sentido antihorario alrededor del eje que pasa por n (con orientación determinada por n ). Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n ) es la transformación de identidad para cualquier n
• R ( φ , norte ) = R ( − φ , − norte )
• R ( π  +  φ , norte ) = R ( π  −  φ , − norte ).

Usando estas propiedades se puede demostrar que cualquier rotación puede representarse mediante un ángulo único φ en el rango 0 ≤ φ ≤ π y un vector unitario n tal que

• n es arbitrario si φ = 0
• n es único si 0 < φ < π
• n es único hasta un signo si φ = π (es decir, las rotaciones R ( π , ± n ) son idénticas).

En la siguiente sección, esta representación de rotaciones se utiliza para identificar topológicamente SO(3) con el espacio proyectivo real tridimensional.

Topología

El grupo de Lie SO(3) es difeomorfo al espacio proyectivo real ^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

Considere la bola sólida de radio π (es decir, todos los puntos de una distancia π o menos del origen). Dado lo anterior, por cada punto de esta bola hay una rotación, con eje que pasa por el punto y el origen, y ángulo de rotación igual a la distancia del punto al origen. La rotación de identidad corresponde al punto en el centro de la pelota. Las rotaciones que forman un ángulo 𝜃 entre 0 y π (sin incluir a ninguno de los dos) están sobre el mismo eje a la misma distancia. La rotación a través de ángulos entre 0 y − π corresponde al punto en el mismo eje y distancia del origen pero en el lado opuesto del origen. El único problema pendiente es que las dos rotaciones a través de π y a través de − π son iguales. Entonces identificamos (o "pegamos") puntos antípodas en la superficie de la pelota. Después de esta identificación, llegamos a un espacio topológico homeomorfo al grupo de rotación. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

De hecho, la bola con puntos de superficie antípodas identificados es una variedad suave , y esta variedad es difeomorfa al grupo de rotación. También es difeomorfo al espacio proyectivo tridimensional real, por lo que este último también puede servir como modelo topológico para el grupo de rotación. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

Estas identificaciones ilustran que SO(3) está conexo pero no simplemente conexo . En cuanto a esto último, en la bola con puntos de superficie antípodas identificados, considere el camino que va desde el "polo norte" directamente a través del interior hasta el polo sur. Se trata de un circuito cerrado, ya que se identifican el polo norte y el polo sur. Este bucle no se puede reducir a un punto, ya que no importa cómo se deforme, el punto inicial y final deben permanecer antípodas, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones alrededor del eje z comenzando (por ejemplo) en la identidad (centro de la pelota), pasando por el polo sur, saltando al polo norte y terminando nuevamente en la rotación de identidad. (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde φ va de 0 a 2 π ).

Sorprendentemente, recorrer el camino dos veces, es decir, correr desde el polo norte hasta el polo sur, saltar de regreso al polo norte (usando el hecho de que los polos norte y sur están identificados), y luego correr nuevamente desde el polo norte hasta el polo sur, de modo que φ va de 0 a 4 π , da un circuito cerrado que se puede reducir a un solo punto: primero mueva los caminos continuamente hacia la superficie de la bola, aún conectando el polo norte con el polo sur dos veces. El segundo camino se puede entonces reflejar hacia el lado antípoda sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un circuito cerrado ordinario en la superficie de la pelota, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un círculo máximo. Este círculo se puede reducir hasta el polo norte sin problemas. El truco del plato y trucos similares lo demuestran de forma práctica.

Se puede realizar el mismo argumento en general y muestra que el grupo fundamental de SO(3) es el grupo cíclico de orden 2 (un grupo fundamental con dos elementos). En aplicaciones de física , la no trivialidad (más de un elemento) del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores y es una herramienta importante en el desarrollo del teorema de la estadística de espín .

La cobertura universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3) . El grupo Spin(3) es isomorfo al grupo unitario especial SU(2); también es difeomorfo a la unidad de 3 esferas S ³ y puede entenderse como el grupo de versores ( cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en Cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S ³ a SO (3) que identifica los puntos antípodas de S ³ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {±1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de cobertura de dos a uno . (Vea el truco del plato ).

Conexión entre SO(3) y SU(2)

En esta sección, damos dos construcciones diferentes de un homomorfismo sobreyectivo de dos a uno de SU(2) sobre SO(3).

Usando cuaterniones de norma unitaria

El grupo SU(2) es isomorfo a los cuaterniones de norma unitaria mediante un mapa dado por ^[5]

$${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U}$$

${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$ ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

Identifiquemos ahora con el lapso de . Entonces se puede verificar que si está en y es un cuaternión unitario, entonces ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

Además, el mapa es una rotación de Además, es lo mismo que . Esto significa que existe un homomorfismo 2:1 desde los cuaterniones de norma unitaria hasta el grupo de rotación 3D SO(3) . ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$ ${\displaystyle qvq^{-1}}$

Se puede resolver este homomorfismo explícitamente: el cuaternión unitario, q , con

$${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

Esta es una rotación alrededor del vector ( x , y , z ) en un ángulo 2 θ , donde cos θ = w y |sin θ | = ‖ ( x , y , z ) ‖ . El signo adecuado para sen θ está implícito, una vez que se fijan los signos de los componentes del eje. La naturaleza 2:1 es evidente ya que tanto q como − q se asignan al mismo Q.

Usando transformaciones de Möbius

Proyección estereográfica desde la esfera de radio.1/2desde el polo norte ( x , y , z ) = (0, 0,1/2) sobre el plano M dado por z = −1/2coordinado por ( ξ , η ) , aquí se muestra en sección transversal.

La referencia general para esta sección es Gelfand, Minlos & Shapiro (1963). Los puntos P en la esfera.

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}}$

puede, salvo el polo norte N , ponerse en biyección uno a uno con puntos S ( P ) = P' en el plano M definido por z = −1/2, ver figura. El mapa S se llama proyección estereográfica .

Sean las coordenadas de M ( ξ , η ) . La línea L que pasa por N y P se puede parametrizar como

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Exigiendo que la coordenada z de sea igual a − ${\displaystyle L(t_{0})}$1/2, uno encuentra

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

Tenemos de ahí el mapa. ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

donde, para mayor comodidad, el plano M se identifica con el plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Para lo inverso, escriba L como

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

y demanda x ² + y ² + z ² =1/4para encontrar s =1/1 + ξ ² + η ²y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Si g ∈ SO(3) es una rotación, entonces llevará puntos de S a puntos de S mediante su acción estándar Π _s ( g ) en el espacio de incrustación. Al componer esta acción con S se obtiene una transformación S ∘ Π _s ( gramo ) ∘ S ⁻¹ de METRO , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Así Π _u ( g ) es una transformación de asociada a la transformación Π _s ( g ) de . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Resulta que g ∈ SO(3) representado de esta manera por Π _u ( g ) se puede expresar como una matriz Π _u ( g ) ∈ SU(2) (donde la notación se recicla para usar el mismo nombre para la matriz en cuanto a la transformación que representa). Para identificar esta matriz, considere primero una rotación g _φ alrededor del eje z a través de un ángulo φ , ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Por eso

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

que, como era de esperar, es una rotación en el plano complejo. De manera análoga, si g _θ es una rotación alrededor del eje x a través de un ángulo θ , entonces

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

que, después de un poco de álgebra, se convierte en

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

Estas dos rotaciones corresponden, por tanto, a transformadas bilineales de R ² ≃ C ≃ M , es decir, son ejemplos de transformaciones de Möbius . ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

Una transformación general de Möbius viene dada por

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

Las rotaciones generan todo SO (3) y las reglas de composición de las transformaciones de Möbius muestran que cualquier composición se traduce en la composición correspondiente de las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Möbius se pueden representar mediante matrices. ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

ya que un factor común de α , β , γ , δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de forma única ya que la multiplicación por − I no tiene efecto ni sobre el determinante ni sobre la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g , − g ∈ SL(2, C ) .

Usando esta correspondencia uno puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estas matrices son unitarias y, por tanto, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . En términos de ángulos de Euler ^{[nb 1]} se encuentra para una rotación general

uno tiene ^[6]

Por el contrario, considere una matriz general

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

hacer las sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

Con las sustituciones, Π( g _{α , β} ) asume la forma del lado derecho ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde bajo _Πu a una matriz en la forma del lado derecho de ( 1 ) con el mismo φ , θ , ψ . En términos de los parámetros complejos α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Para verificar esto, sustituya por α . β los elementos de la matriz en el lado derecho de ( 2 ). Después de alguna manipulación, la matriz asume la forma del RHS de ( 1 ).

De la forma explícita en términos de ángulos de Euler se desprende claramente que el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\Pi _{u}(\pm g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

que acabamos de describir es un homomorfismo de grupo suave, 2:1 y sobreyectivo . Por tanto, es una descripción explícita del espacio de cobertura universal de SO(3) del grupo de cobertura universal SU(2) .

álgebra de mentiras

Asociado con cada grupo de Lie está su álgebra de Lie , un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alterno bilineal llamado corchete de Lie . El álgebra de Lie de SO (3) se denota por y consta de todas las matrices 3 × 3 asimétricas . ^[7] Esto se puede ver diferenciando la condición de ortogonalidad , A ^T A = I , A ∈ SO(3) . ^{[nb 2]} El corchete de Lie de dos elementos de es, como para el álgebra de Lie de cada grupo de matrices, dado por el conmutador matricial , [ A ₁ , A ₂ ] = A ₁ A ₂ − A ₂ A ₁ , que es nuevamente una matriz sesgada y simétrica. El grupo de álgebra de Lie captura la esencia del producto del grupo de Lie en un sentido preciso mediante la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Los elementos de son los "generadores infinitesimales" de rotaciones, es decir, son los elementos del espacio tangente de la variedad SO(3) en el elemento identidad. Si denota una rotación en sentido antihorario con un ángulo φ alrededor del eje especificado por el vector unitario, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Esto se puede utilizar para demostrar que el álgebra de Lie (con conmutador) es isomorfa al álgebra de Lie (con producto cruzado ). Bajo este isomorfismo, un vector de Euler corresponde al mapa lineal definido por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Más detalladamente, la mayoría de las veces una base adecuada para un espacio vectorial tridimensional es ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Las relaciones de conmutación de estos elementos básicos son,

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

que concuerdan con las relaciones de los tres vectores unitarios estándar de bajo el producto cruzado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Como se anunció anteriormente, se puede identificar cualquier matriz en este álgebra de Lie con un vector de Euler ^[8] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

Esta identificación a veces se denomina mapa-sombrero . ^[9] Bajo esta identificación, el paréntesis corresponde al producto cruzado , ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

La matriz identificada con un vector tiene la propiedad de que ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

donde en el lado izquierdo tenemos la multiplicación de matrices ordinaria. Esto implica que está en el espacio nulo de la matriz simétrica sesgada con la que se identifica, porque ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Una nota sobre las álgebras de Lie

En representaciones de álgebra de Lie , el grupo SO(3) es compacto y simple de rango 1, por lo que tiene un único elemento de Casimir independiente , una función invariante cuadrática de los tres generadores que conmuta con todos ellos. La forma Killing para el grupo de rotación es simplemente el delta de Kronecker , por lo que este invariante de Casimir es simplemente la suma de los cuadrados de los generadores, del álgebra. ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

Es decir, el invariante de Casimir viene dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

Para representaciones unitarias irreducibles D ^j , los valores propios de este invariante son reales y discretos, y caracterizan cada representación, que es de dimensión finita, de dimensionalidad . Es decir, los valores propios de este operador Casimir son ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

donde j es un número entero o semientero, y se denomina espín o momento angular .

Entonces, los generadores L de 3 × 3 que se muestran arriba actúan sobre la representación triplete (espín 1), mientras que los generadores 2 × 2 a continuación, t , actúan sobre la representación doblete ( espín-1/2 ). Tomando los productos de Kronecker de D ^1/2 consigo mismo repetidamente, se pueden construir todas las representaciones irreducibles superiores D ^j . Es decir, los generadores resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grande , se pueden calcular utilizando estos operadores de espín y operadores de escalera .

Por cada representación unitaria irreducible D ^j existe una equivalente, D ^{− j −1} . Todas las representaciones irreducibles de dimensión infinita deben ser no unitarias, ya que el grupo es compacto.

En mecánica cuántica , el invariante de Casimir es el operador de "momento angular cuadrado"; Los valores enteros de spin j caracterizan las representaciones bosónicas , mientras que los valores semienteros son las representaciones fermiónicas . Las matrices antihermitianas utilizadas anteriormente se utilizan como operadores de espín , después de multiplicarlas por i , por lo que ahora son hermitianas (como las matrices de Pauli). Así, en este idioma,

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

Las expresiones explícitas para estos D ^j son,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

donde j es arbitrario y . ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

Por ejemplo, las matrices de espín resultantes para el espín 1 ( ) son ${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta, sin embargo, cómo estos están en una base equivalente, pero diferente, la base esférica , que la i L anterior en la base cartesiana. ^{[nota 3]}

Para giros más altos, como giro3/2( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

para girar5/2( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Isomorfismo con 𝖘𝖚(2)

Las álgebras de Lie y son isomorfas. Una base para está dada por ^[10] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

Estos están relacionados con las matrices de Pauli por

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

Las matrices de Pauli siguen la convención de los físicos para las álgebras de Lie. En esa convención, los elementos del álgebra de Lie se multiplican por i , el mapa exponencial (abajo) se define con un factor extra de i en el exponente y las constantes de estructura siguen siendo las mismas, pero la definición de las mismas adquiere un factor de i . Asimismo, las relaciones de conmutación adquieren un factor de i . Las relaciones de conmutación para el son ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

donde ε _ijk es el símbolo totalmente antisimétrico con ε ₁₂₃ = 1 . El isomorfismo entre y se puede establecer de varias maneras. Para mayor comodidad, y se identifican mediante mapeo ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

y extendiéndose por linealidad.

mapa exponencial

El mapa exponencial para SO(3) es, dado que SO(3) es un grupo matricial de Lie, definido utilizando la serie exponencial matricial estándar,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

Para cualquier matriz simétrica sesgada A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^A siempre está en SO(3) . La prueba utiliza las propiedades elementales de la matriz exponencial.

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

dado que las matrices A y AT ^conmutan , esto se puede probar fácilmente con la condición de matriz simétrica sesgada. Esto no es suficiente para demostrar que 𝖘𝖔(3) es el álgebra de Lie correspondiente para SO(3) y deberá demostrarse por separado.

El nivel de dificultad de la demostración depende de cómo se define el álgebra de Lie de un grupo de matrices. Hall (2003) define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

en cuyo caso es trivial. Rossmann (2002) utiliza para una definición derivadas de segmentos de curvas suaves en SO(3) a través de la identidad tomada en la identidad, en cuyo caso es más difícil. ^[11]

Para un fijo A ≠ 0 , e ^tA , −∞ < t < ∞ es un subgrupo de un parámetro a lo largo de una geodésica en SO(3) . El hecho de que esto dé un subgrupo de un parámetro se deriva directamente de las propiedades del mapa exponencial. ^[12]

El mapa exponencial proporciona un difeomorfismo entre una vecindad del origen en 𝖘𝖔(3) y una vecindad de la identidad en SO(3) . ^[13] Para una demostración, consulte el teorema del subgrupo cerrado .

El mapa exponencial es sobreyectivo . Esto se desprende del hecho de que cada R ∈ SO(3) , ya que cada rotación deja un eje fijo ( teorema de rotación de Euler ), y está conjugado a una matriz diagonal de bloques de la forma

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

tal que A = BDB ⁻¹ , y que

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

junto con el hecho de que 𝖘𝖔(3) está cerrado bajo la acción adjunta de SO(3) , lo que significa que BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Así, por ejemplo, es fácil comprobar la identidad popular

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔(3) está asociado con un vector ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria. Dado que u está en el espacio nulo de A , si ahora se gira hacia una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal O , con u como eje z , la columna y fila finales de la matriz de rotación en la nueva base serán cero.

Por lo tanto, sabemos de antemano por la fórmula de la exponencial que exp( OAO ^T ) debe dejar u fijo. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula sencilla para dicha base como función de u , porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda ; pero la exponenciación directa es posible y produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

dónde y . Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ : cf. Fórmula de rotación de Rodrigues . ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Mapa de logaritmos

Dado R ∈ SO(3) , denotemos la parte antisimétrica y luego, el logaritmo de R viene dado por ^[9] ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$ ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Esto se manifiesta al examinar la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

donde el primer y último término del lado derecho son simétricos.

Muestreo aleatorio uniforme

${\displaystyle SO(3)}$está doblemente cubierto por el grupo de cuaterniones unitarios, que es isomorfo a las 3 esferas. Dado que la medida de Haar en los cuaterniones unitarios es solo la medida de 3 áreas en 4 dimensiones, la medida de Haar es solo el avance de la medida de 3 áreas. ${\displaystyle SO(3)}$

En consecuencia, generar una rotación uniformemente aleatoria es equivalente a generar un punto uniformemente aleatorio en las 3 esferas. Esto se puede lograr mediante lo siguiente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

donde son muestras uniformemente aleatorias de . ^[14] ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

Supongamos que se dan X e Y en el álgebra de Lie. Sus exponenciales, exp( X ) y exp( Y ) , son matrices de rotación que se pueden multiplicar. Dado que el mapa exponencial es una sobreyección, para alguna Z en el álgebra de Lie, exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , y tentativamente se puede escribir

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

para C alguna expresión en X e Y. Cuando exp( X ) y exp( Y ) conmutan, entonces Z = X + Y , imitando el comportamiento de la exponenciación compleja.

El caso general viene dado por la fórmula BCH más elaborada , una expansión en serie de corchetes de Lie anidados. ^[15] Para matrices, el corchete de Lie es la misma operación que el conmutador , que monitorea la falta de conmutatividad en la multiplicación. Esta expansión general se desarrolla de la siguiente manera, ^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

La expansión infinita en la fórmula BCH para SO (3) se reduce a una forma compacta,

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

para coeficientes de función trigonométrica adecuados ( α , β , γ ) .

Los coeficientes trigonométricos.

Los ( α , β , γ ) están dados por

${\displaystyle \alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}}$

para

${\displaystyle \theta =\|X\|,\quad \phi =\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.}$

El producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt y la norma es la norma asociada. Bajo el isomorfismo del sombrero,

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,}$

lo que explica los factores para θ y φ . Esto desaparece en la expresión del ángulo.

Vale la pena escribir este generador de rotación compuesto como

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

para enfatizar que se trata de una identidad de álgebra de Lie .

La identidad anterior es válida para todas las representaciones fieles de 𝖘𝖔(3) . El núcleo de un homomorfismo de álgebra de Lie es un ideal , pero 𝖘𝖔(3) , al ser simple , no tiene ideales no triviales y, por lo tanto, todas las representaciones no triviales son fieles. Esto es válido en particular en la representación doblete o espinor. La misma fórmula explícita se sigue así de forma más sencilla a través de las matrices de Pauli, cf. la derivación 2×2 para SU(2) .

El caso SU(2)

La versión del vector de Pauli de la misma fórmula BCH es la ley de composición de grupos algo más simple de SU(2),

${\displaystyle e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),}$

dónde

${\displaystyle \cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',}$

la ley esférica de los cosenos . (Tenga en cuenta que a', b', c' son ángulos, no los a , b , c anteriores).

Esto es manifiestamente del mismo formato que el anterior,

${\displaystyle Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],}$

con

${\displaystyle X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}}$

Para una normalización uniforme de los generadores en el álgebra de Lie involucrada, exprese las matrices de Pauli en términos de t -matrices, σ → 2 i t , de modo que

${\displaystyle a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.}$

Para verificar que estos son los mismos coeficientes que arriba, calcule las proporciones de los coeficientes,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}}$

Finalmente, γ = γ' dada la identidad d = sen 2 c' .

Para el caso general n × n , se podría utilizar la Ref. ^[dieciséis]

El caso del cuaternión

La formulación de cuaternión de la composición de dos rotaciones R _B y R _A también produce directamente el eje de rotación y el ángulo de la rotación compuesta R C ₌ R _B R _A.

Dejemos que el cuaternión asociado con una rotación espacial R se construya a partir de su eje de rotación S y el ángulo de rotación φ de este eje. El cuaternión asociado viene dado por,

${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$

Entonces la composición de la rotación R _R con R _A es la rotación R _C = R _B R _A con eje de rotación y ángulo definido por el producto de los cuaterniones

${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$

eso es

${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$

Ampliar este producto para obtener

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$

Divide ambos lados de esta ecuación por la identidad, que es la ley de los cosenos en una esfera ,

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$

y calcular

${\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.}$

Ésta es la fórmula de Rodrigues para el eje de una rotación compuesta definida en términos de los ejes de las dos rotaciones. Derivó esta fórmula en 1840 (ver página 408). ^[17]

Los tres ejes de rotación A , B y C forman un triángulo esférico y los ángulos diédricos entre los planos formados por los lados de este triángulo están definidos por los ángulos de rotación.

Rotaciones infinitesimales

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitamente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonal que representa un elemento de (el grupo ortogonal especial ), el diferencial de una rotación es una matriz simétrica sesgada en el espacio tangente (el álgebra de Lie ortogonal especial ), que no es en sí misma una matriz de rotación. ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

donde está la matriz identidad, es extremadamente pequeña y ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n).}$

Por ejemplo, si se representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ${\displaystyle A=L_{x},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimales son las habituales, excepto que los infinitesimales de segundo orden se eliminan habitualmente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[18] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Realizaciones de rotaciones

Hemos visto que existen diversas formas de representar rotaciones:

• como matrices ortogonales con determinante 1,
• por eje y ángulo de rotación
• en álgebra de cuaterniones con versores y el mapa de 3 esferas S ³ → SO(3) (ver cuaterniones y rotaciones espaciales )
• en álgebra geométrica como rotor
• como una secuencia de tres rotaciones alrededor de tres ejes fijos; ver ángulos de Euler .

Armónicos esféricos

El grupo SO (3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert.

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},}$

¿Dónde están los armónicos esféricos ? Sus elementos son funciones cuadradas integrables de valores complejos ^{[nb 5]} en la esfera. El producto interior en este espacio está dado por ${\displaystyle Y_{m}^{\ell }}$

Si f es una función cuadrada integrable arbitraria definida en la esfera unitaria S ² , entonces se puede expresar como ^[19]

donde los coeficientes de expansión están dados por

La acción del grupo Lorentz se limita a la de SO(3) y se expresa como

Esta acción es unitaria, lo que significa que

La D ^{( ℓ )} se puede obtener a partir de la D ^{( m ,  n )} de arriba usando la descomposición de Clebsch-Gordan , pero se expresan más fácilmente y directamente como un exponencial de una representación su (2) de dimensión impar (la representación tridimensional). uno es exactamente 𝖘𝖔(3) ). ^{[20] [21]} En este caso, el espacio L ² ( S ² ) se descompone claramente en una suma directa infinita de representaciones impares irreducibles de dimensión finita V _{2 i + 1} , i = 0, 1, ... según ^{[22 ]}

Esto es característico de las representaciones unitarias de dimensión infinita de SO(3) . Si Π es una representación unitaria de dimensión infinita en un espacio de Hilbert separable ^{[nb 6]} , entonces se descompone como una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita. ^[19] Por lo tanto, tal representación nunca es irreductible. Todas las representaciones irreducibles de dimensión finita (Π, V ) pueden hacerse unitarias mediante una elección adecuada del producto interno, ^[19]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

donde la integral es la integral invariante única sobre SO(3) normalizada a 1 , aquí expresada usando la parametrización de los ángulos de Euler . El producto interno dentro de la integral es cualquier producto interno en V.

Generalizaciones

El grupo de rotación se generaliza de forma bastante natural al espacio euclidiano de n dimensiones , con su estructura euclidiana estándar. El grupo de todas las rotaciones propias e impropias en n dimensiones se llama grupo ortogonal O( n ), y el subgrupo de rotaciones propias se llama grupo ortogonal especial SO( n ), que es un grupo de Lie de dimensión n ( n − 1 )/2 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En la relatividad especial , se trabaja en un espacio vectorial de 4 dimensiones, conocido como espacio de Minkowski en lugar de espacio euclidiano de 3 dimensiones. A diferencia del espacio euclidiano, el espacio de Minkowski tiene un producto interno con una firma indefinida . Sin embargo, todavía se pueden definir rotaciones generalizadas que preserven este producto interno. Estas rotaciones generalizadas se conocen como transformaciones de Lorentz y el grupo de todas esas transformaciones se denomina grupo de Lorentz .

El grupo de rotación SO(3) puede describirse como un subgrupo de E ⁺ (3) , el grupo euclidiano de isometrías directas de Euclidiana. Este grupo más grande es el grupo de todos los movimientos de un cuerpo rígido : cada uno de ellos es una combinación de un rotación alrededor de un eje arbitrario y una traslación, o dicho de otra manera, una combinación de un elemento de SO (3) y una traslación arbitraria. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

En general, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro del grupo de isometrías directas; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría total y el grupo de isometrías directas. Para objetos quirales es lo mismo que el grupo de simetría completo.

Ver también

• grupo ortogonal
• Momento angular
• Rotaciones de coordenadas
• Gráficos sobre SO(3)
• Representaciones de SO(3)
• ángulos de euler
• La fórmula de rotación de Rodrigues
• Rotación infinitesimal
• Grupo de pines
• Cuaterniones y rotaciones espaciales.
• Cuerpo rígido
• Armónicos esféricos
• Plano de rotación
• grupo de mentiras
• matriz de pauli
• truco del plato
• Operador de rotación tridimensional

Notas a pie de página

1. Esto se logra aplicando primero una rotación a través ${\displaystyle g_{\theta }}$φ sobre eleje z para tomar eleje x a la rectaL , la intersección entre los planos.xy yx'y , siendo este último el plano xy girado . Luego gire con θ alrededor de L para obtener el nuevo eje z del anterior, y finalmente gire un ángulo ψ alrededor del nuevo eje z , donde ψ es el ángulo entre L y el nuevo eje x . En la ecuación, y se expresan en una base rotada temporalmente en cada paso, lo que se ve desde su forma simple. Para transformarlos nuevamente a la base original, observe que aquí en negrita significa que la rotación se expresa en la base original . Asimismo, ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle g_{\theta }}$ ${\displaystyle g_{\psi }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{\theta }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}.}$

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}.}$

   De este modo

   ${\displaystyle \mathbf {g} _{\psi }\mathbf {g} _{\theta }\mathbf {g} _{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }g_{\psi }\left[g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}g_{\phi }\right]^{-1}*g_{\phi }g_{\theta }g_{\phi }^{-1}*g_{\phi }=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }.}$

2. Para obtener una derivación alternativa de , consulte Grupo clásico . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$
3. Específicamente, para ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {J}}_{\alpha }{\boldsymbol {U}}^{\dagger }=i{\boldsymbol {L}}_{\alpha }}$

   ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&i&0\\\end{array}}\right).}$

4. Para obtener una prueba completa, consulte Derivada del mapa exponencial . Las cuestiones de convergencia de esta serie al elemento correcto del álgebra de Lie se esconden aquí debajo de la alfombra. La convergencia está garantizada cuando y La serie aún puede converger incluso si no se cumplen estas condiciones. Siempre existe una solución ya que exp está activado en los casos bajo consideración. ${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<\log 2}$ ${\displaystyle \|Z\|<\log 2.}$
5. Los elementos de L ² ( S ² ) son en realidad clases de funciones de equivalencia. dos funciones se declaran equivalentes si difieren simplemente en un conjunto de medida cero . La integral es la integral de Lebesgue para obtener un espacio de producto interior completo .
6. Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si tiene una base contable. Todos los espacios de Hilbert separables son isomorfos.

Referencias

1. Jacobson (2009), pág. 34, ej. 14.
2. n  ×  n son idénticas a las transformaciones lineales de expresadas en su base estándar . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (Tercera ed.). Nueva York. pag. 53.ISBN​ 0-486-61480-8.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Propuesta 1.17 del Salón 2015
5. Rossmann 2002 p. 95.
6. Estas expresiones fueron, de hecho, fundamentales en el desarrollo de la mecánica cuántica en la década de 1930, cf. Capítulo III, § 16, BL van der Waerden, 1932/1932
7. Propuesta 3.24 del Salón 2015
8. Rossmann 2002
9. Engø 2001
10. Salón 2015 Ejemplo 3.27
11. Véase Rossmann 2002, teorema 3, sección 2.2.
12. Rossmann 2002 Sección 1.1.
13. Teorema 2.27 de Hall 2003.
14. Shoemake, Ken (1 de enero de 1992), Kirk, DAVID (ed.), "III.6 - Rotaciones aleatorias uniformes", Graphics Gems III (versión IBM) , San Francisco: Morgan Kaufmann, págs. ISBN 978-0-12-409673-8, recuperado el 29 de julio de 2022
15. Salón 2003, cap. 3; Varadarajan 1984, §2.15
16. Curtright, Fairlie y Zachos 2014 Los elementos del grupo de SU (2) se expresan en forma cerrada como polinomios finitos de los generadores de álgebra de Lie, para todas las representaciones de espín definidas del grupo de rotación.
17. Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et la variación des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des cause qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
18. (Goldstein, Poole y Safko 2002, §4.8)
19. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
20. En Mecánica cuántica: teoría no relativista de Landau y Lifshitz, el orden más bajo D se calcula analíticamente.
21. Curtright, Fairlie & Zachos 2014 Se proporciona una fórmula para D ^{( ℓ )} válida para todos los ℓ .
22. Salón 2003 Sección 4.3.5.

Bibliografía

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