Representación eje-ángulo

Parametrización de una rotación en un vector unitario y un ángulo.

El ángulo θ y el vector unitario del eje e definen una rotación, representada de manera concisa por el vector de rotación θ e .

En matemáticas , la representación eje-ángulo parametriza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional mediante dos cantidades: un vector unitario e que indica la dirección (geometría) de un eje de rotación , y un ángulo de rotación θ que describe la magnitud y el sentido ( por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj ) de la rotación alrededor del eje . Sólo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e con raíz en el origen porque la magnitud de e está limitada. Por ejemplo, los ángulos de elevación y azimut de e son suficientes para ubicarlo en cualquier sistema de coordenadas cartesiano en particular.

Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el ángulo y el eje determinan una transformación que hace girar vectores tridimensionales. La rotación se produce en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha .

El eje de rotación a veces se denomina eje de Euler . La representación eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler , que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura alrededor de un único eje fijo.

Es uno de los muchos formalismos de rotación en tres dimensiones .

Vector de rotación

La representación eje-ángulo es equivalente al vector de rotación más conciso , también llamado vector de Euler . En este caso, tanto el eje de rotación como el ángulo están representados por un vector codireccional con el eje de rotación cuya longitud es el ángulo de rotación θ ,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.}$$

exponencialeslogarítmicos

Muchos vectores de rotación corresponden a la misma rotación. En particular, un vector de rotación de longitud θ + 2 πM , para cualquier número entero M , codifica exactamente la misma rotación que un vector de rotación de longitud θ . Por tanto, hay al menos una infinidad contable de vectores de rotación correspondientes a cualquier rotación. Además, todas las rotaciones de 2 πM son lo mismo que ninguna rotación, por lo que, para un entero dado M , todos los vectores de rotación de longitud 2 πM , en todas las direcciones, constituyen una infinidad incontable de dos parámetros de vectores de rotación que codifican la misma rotación. como el vector cero. Estos hechos deben tenerse en cuenta al invertir el mapa exponencial, es decir, al encontrar un vector de rotación que corresponda a una matriz de rotación determinada. El mapa exponencial es uno a uno , pero no uno a uno .

Ejemplo

Digamos que estás parado en el suelo y eliges que la dirección de la gravedad sea la dirección z negativa . Luego si giras a tu izquierda, rotarás-π/2radianes (o -90° ) alrededor del eje -z . Viendo la representación eje-ángulo como un par ordenado , esto sería

$${\displaystyle (\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).}$$

El ejemplo anterior se puede representar como un vector de rotación con una magnitud deπ/2apuntando en la dirección z ,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Usos

La representación eje-ángulo es conveniente cuando se trata de dinámica de cuerpos rígidos . Es útil tanto para caracterizar rotaciones como para convertir entre diferentes representaciones del movimiento de un cuerpo rígido , como transformaciones homogéneas ^{[ se necesita aclaración ]} y giros.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo , sus datos de eje-ángulo son un eje de rotación constante y el ángulo de rotación depende continuamente del tiempo .

Conectar los tres valores propios 1 y e ^{± iθ} y sus tres ejes ortogonales asociados en una representación cartesiana al teorema de Mercer es una construcción conveniente de la representación cartesiana de la matriz de rotación en tres dimensiones.

Rotar un vector

La fórmula de rotación de Rodrigues , llamada así en honor a Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector euclidiano, dado un eje de rotación y un ángulo de rotación. En otras palabras, la fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular el mapa exponencial desde SO (3) sin calcular la matriz exponencial completa. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Si v es un vector en R ³ y e es un vector unitario con raíz en el origen que describe un eje de rotación alrededor del cual v gira en un ángulo θ , la fórmula de rotación de Rodrigues para obtener el vector rotado es

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.}$$

Para la rotación de un solo vector, puede ser más eficiente que convertir e y θ en una matriz de rotación para rotar el vector.

Relación con otras representaciones

Hay varias formas de representar una rotación. Es útil comprender cómo se relacionan las diferentes representaciones entre sí y cómo realizar conversiones entre ellas. Aquí el vector unitario se denota por ω en lugar de e .

Mapa exponencial de 𝔰𝔬(3) a SO(3)

El mapa exponencial efectúa una transformación de la representación eje-ángulo de rotaciones a matrices de rotación ,

$${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.}$$

Esencialmente, al utilizar una expansión de Taylor se deriva una relación de forma cerrada entre estas dos representaciones. Dado un vector unitario que representa el eje de rotación unitario y un ángulo, θ ∈ R , se proporciona una matriz de rotación equivalente R de la siguiente manera, donde K es la matriz del producto cruzado de ω , es decir, Kv = ω × v para todos los vectores v ∈ R ³ , ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots }$$

Debido a que K es asimétrico y la suma de los cuadrados de sus entradas diagonales superiores es 1, el polinomio característico P ( t ) de K es P ( t ) = det( K − t I ) = −( t ³ + t ) . Dado que, según el teorema de Cayley-Hamilton , P ( K ) = 0, esto implica que

$${\displaystyle \mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.}$$

K ⁴ = – K ²K ⁵ = KK ⁶ = K ²K ⁷ = – K

Este patrón cíclico continúa indefinidamente, por lo que todas las potencias superiores de K pueden expresarse en términos de K y K ² . Así, de la ecuación anterior se deduce que

$${\displaystyle R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

$${\displaystyle R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,}$$

por la fórmula de la serie de Taylor para funciones trigonométricas .

Se trata de una derivación algebraica de Lie, en contraste con la geométrica del artículo Fórmula de rotación de Rodrigues . ^[1]

Debido a la existencia del mapa exponencial mencionado anteriormente, el vector unitario ω que representa el eje de rotación y el ángulo θ a veces se denominan coordenadas exponenciales de la matriz de rotación R.

Mapa de registros de SO(3) a 𝔰𝔬(3)

Dejemos que K continúe denotando la matriz de 3 × 3 que efectúa el producto vectorial con el eje de rotación ω : K ( v ) = ω × v para todos los vectores v en lo que sigue.

Para recuperar la representación eje-ángulo de una matriz de rotación , calcule el ángulo de rotación a partir del trazo de la matriz de rotación :

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,}$$

donde está el componente de la matriz de rotación, en la -ésima fila y la -ésima columna. ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

La representación eje-ángulo no es única ya que una rotación de aproximadamente es lo mismo que una rotación de aproximadamente . ${\displaystyle -\theta }$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El cálculo anterior del vector del eje no funciona si R es simétrico. Para el caso general, se puede encontrar usando el espacio nulo de RI , consulte la matriz de rotación # Determinación del eje . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

El logaritmo de la matriz de rotación R es

$${\displaystyle \log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}}$$

Se produce una excepción cuando R tiene valores propios iguales a −1 . En este caso, el registro no es único. Sin embargo, incluso en el caso en que θ = π la norma de Frobenius del registro es

$${\displaystyle \|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.}$$

AB

$${\displaystyle d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }}$$

Para rotaciones pequeñas, el cálculo anterior de θ puede ser numéricamente impreciso ya que la derivada de arccos llega al infinito cuando θ → 0 . En ese caso, los términos fuera del eje en realidad proporcionarán mejor información sobre θ ya que, para ángulos pequeños, R ≈ I + θ K . (Esto se debe a que estos son los dos primeros términos de la serie de Taylor para exp( θ K ) .)

Esta formulación también tiene problemas numéricos en θ = π , donde los términos fuera del eje no brindan información sobre el eje de rotación (que todavía está definido hasta una ambigüedad de signo). En ese caso, debemos reconsiderar la fórmula anterior.

$${\displaystyle R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )}$$

θ = π

$${\displaystyle R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I}$$

$${\displaystyle B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,}$$

BωB

cuaterniones unitarios

La siguiente expresión transforma las coordenadas eje-ángulo en versores ( cuaterniones unitarios ):

$${\displaystyle \mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$$

Dado un versor q = r + v representado con su escalar r y vector v , las coordenadas eje-ángulo se pueden extraer usando lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Una expresión numéricamente más estable del ángulo de rotación utiliza la función atan2 :

$${\displaystyle \theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,}$$

| v |norma euclidiana del v

Ver también

• Coordenadas homogéneas
• Pseudovector
• Rotaciones sin matriz.
• Teoría de los tornillos , una representación de los movimientos y velocidades de los cuerpos rígidos utilizando los conceptos de giros, tornillos y llaves.

Referencias

1. Esto es válido para la representación triplete del grupo de rotación, es decir, giro 1. Para representaciones/giros de dimensiones superiores, consulte Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Una fórmula compacta para rotaciones como polinomios de matriz de espín". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Código Bib : 2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.