La fórmula de rotación de Rodrigues

Fórmula vectorial para una rotación en el espacio, dado su eje

En la teoría de la rotación tridimensional , la fórmula de rotación de Rodrigues , llamada así por Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector en el espacio, dado un eje y un ángulo de rotación . Por extensión, esto se puede utilizar para transformar los tres vectores base para calcular una matriz de rotación en SO(3) , el grupo de todas las matrices de rotación, a partir de una representación eje-ángulo . En términos de la teoría de Lie, la fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular la función exponencial del álgebra de Lie so (3) a su grupo de Lie SO(3) .

Esta fórmula se atribuye a Leonhard Euler , Olinde Rodrigues o a una combinación de ambos. Un análisis histórico detallado de 1989 concluyó que la fórmula debería atribuirse a Euler y recomendó llamarla "fórmula de rotación finita de Euler". ^[1] Esta propuesta ha recibido un apoyo notable, ^[2] pero otros han visto la fórmula como una de las muchas variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues , por lo que se la atribuye a ambos. ^[3]

Declaración

Si v es un vector en ℝ ³ y k es un vector unitario que describe un eje de rotación alrededor del cual v gira un ángulo θ según la regla de la mano derecha , la fórmula de Rodrigues para el vector rotado v _rot es

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} ~(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta )\,.}$

La intuición de la fórmula anterior es que el primer término reduce la escala del vector, mientras que el segundo lo inclina (mediante la suma de vectores ) hacia la nueva posición de rotación. El tercer término vuelve a sumar la altura (relativa a ) que se perdió con el primer término. ${\displaystyle {\textbf {k}}}$

Una afirmación alternativa es escribir el vector del eje como un producto vectorial a × b de dos vectores distintos de cero a y b que definen el plano de rotación, y el sentido del ángulo θ se mide alejándose de a y acercándose a b . Si α denota el ángulo entre estos vectores, los dos ángulos θ y α no son necesariamente iguales, pero se miden en el mismo sentido. Entonces, el vector del eje unitario se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \alpha }}\,.}$

Esta forma puede ser más útil cuando intervienen dos vectores que definen un plano. Un ejemplo en física es la precesión de Thomas , que incluye la rotación dada por la fórmula de Rodrigues, en términos de dos velocidades de impulso no colineales, y el eje de rotación es perpendicular a su plano.

Derivación

La fórmula de rotación de Rodrigues gira v en un ángulo θ alrededor del vector k descomponiéndolo en sus componentes paralelos y perpendiculares a k , y girando solo el componente perpendicular.

Geometría vectorial de la fórmula de rotación de Rodrigues, así como su descomposición en componentes paralelas y perpendiculares.

Sea k un vector unitario que define un eje de rotación, y sea v cualquier vector que gire alrededor de k en un ángulo θ ( regla de la mano derecha , en sentido antihorario en la figura), produciendo el vector rotado . ${\displaystyle \mathbb {v} _{\text{rot}}}$

Utilizando los productos escalares y vectoriales , el vector v se puede descomponer en componentes paralelos y perpendiculares al eje k ,

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }\,,}$

donde el componente paralelo a k se llama proyección vectorial de v sobre k ,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} }$,

y el componente perpendicular a k se llama vector de rechazo de v desde k :

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} =-\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )}$,

donde la última igualdad se desprende de la fórmula del triple producto vectorial : . Finalmente, el vector es una copia de rotada 90° alrededor de . Por lo tanto, los tres vectores forman una base ortogonal dextrógira de , con los dos últimos vectores de igual longitud. ${\textstyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \mathbf {k} \,,\ \mathbf {v} _{\perp }\,,\,\mathbf {k} \times \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Bajo la rotación, el componente paralelo al eje no cambiará de magnitud ni de dirección: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }\,;}$

mientras que el componente perpendicular conservará su magnitud pero rotará su dirección en el plano perpendicular abarcado por y , de acuerdo con ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,,}$

en analogía con las coordenadas polares planas ( r , θ ) en la base cartesiana e _x , e _y :

${\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\theta )\mathbf {e} _{x}+r\sin(\theta )\mathbf {e} _{y}\,.}$

Ahora el vector rotado completo es:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }+\cos(\theta )\,\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .}$

Sustituyendo o en la última expresión se obtiene respectivamente: ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{rot}}=\cos(\theta )\,\mathbf {v} +(1-\cos \theta )(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{rot}}=\mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .}$$

Notación matricial

La transformación lineal definida por el producto vectorial se da en coordenadas representando v y k × v como matrices columna : ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {k} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\,.}$

Es decir, la matriz de esta transformación lineal (con respecto a las coordenadas estándar) es la matriz de productos cruzados :

${\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]\,.}$

Es decir,

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} =\mathbf {K} \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )=\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}$

La última fórmula de la sección anterior se puede escribir así:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}$

La recopilación de términos permite la expresión compacta

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \mathbf {v} }$

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}}$

es la matriz de rotación a través de un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del eje k , e I la matriz identidad 3 × 3 . ^[4] Esta matriz R es un elemento del grupo de rotación SO(3) de ℝ ³ , y K es un elemento del álgebra de Lie que genera ese grupo de Lie (nótese que K es antisimétrico, lo que caracteriza a ). ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

En términos de la matriz exponencial,

${\displaystyle \mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K} )\,.}$

Para ver que la última identidad se cumple, se observa que

${\displaystyle \mathbf {R} (\theta )\mathbf {R} (\phi )=\mathbf {R} (\theta +\phi ),\quad \mathbf {R} (0)=\mathbf {I} \,,}$

característica de un subgrupo de un parámetro , es decir, exponencial, y que las fórmulas coinciden para θ infinitesimal .

Para una derivación alternativa basada en esta relación exponencial, véase el mapa exponencial de a SO(3) ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ . Para la aplicación inversa, véase el mapa logarítmico de SO(3) a ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ .

El dual de Hodge de la rotación es justo lo que permite la extracción tanto del eje de rotación como del seno del ángulo de rotación de la propia matriz de rotación, con la ambigüedad habitual, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-\sin(\theta )\mathbf {k} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\sigma \left|\mathbf {R} ^{*}\right|\\[3pt]\mathbf {k} &=-{\frac {\sigma \mathbf {R} ^{*}}{\left|\mathbf {R} ^{*}\right|}}\end{aligned}}}$

donde . La expresión simple anterior resulta del hecho de que los duales de Hodge de y son cero, y . ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}=-\mathbf {k} }$

Véase también

• Ángulo del eje
• Rotación (matemáticas)
• SO(3) y SO(4)
• Fórmula de Euler-Rodrigues

Referencias

1. Cheng, Hui; Gupta, KC (marzo de 1989). "Una nota histórica sobre rotaciones finitas". Journal of Applied Mechanics . 56 (1). Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos: 139–145. doi :10.1115/1.3176034 . Consultado el 11 de abril de 2022 .
2. Fraiture, Luc (2009). "Una historia de la descripción de la rotación finita tridimensional". Revista de Ciencias Astronáuticas . 57 (1–2). Springer: 207–232. doi :10.1007/BF03321502 . Consultado el 15 de abril de 2022 .
3. Dai, Jian S. (octubre de 2015). "Variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues, conjugación de cuaterniones y conexiones intrínsecas". Mecanismo y teoría de máquinas . 92 . Elsevier: 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 . Consultado el 14 de abril de 2022 .
4. Belongie, Serge. "Fórmula de rotación de Rodrigues". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de abril de 2021 .

• Leonhard Euler , "Problema algebraicum ob afectos prorsus singulares memorabile", Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Ciencia. Petropolitanae 15 (1770), 75-106.
• Olinde Rodrigues , "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendants des cause qui peuvent les produire", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1840 ), 380–440. en línea.
• Friedberg, Richard (2022). "Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme solide...", traducción y comentario". arXiv:2211.07787 .
• Don Koks, (2006) Explorations in Mathematical Physics , Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8 . Cap. 4, págs. 147 y siguientes. Una ruta indirecta hacia el álgebra geométrica 

Enlaces externos

• Johan E. Mebius, Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales a partir de la fórmula general para rotaciones tetradimensionales, arXiv General Mathematics 2007.
• Para ver otro ejemplo descriptivo, consulte: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, Chris Hecker, sección de física, parte 4. "La tercera dimensión" - en la página 3, sección "Eje y ángulo" , http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf