Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna , los espacios euclidianos suelen definirse mediante espacios vectoriales . En este caso, el producto escalar se utiliza para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo entre dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).
El nombre "producto escalar" se deriva del operador punto " · " que se utiliza a menudo para designar esta operación; [1] el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar , en lugar de un vector (como ocurre con el producto vectorial en el espacio tridimensional).
Definición
El producto escalar se puede definir algebraica o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud) de los vectores. La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio euclidiano.
En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana , los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas , y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio de coordenadas real . En tal presentación, las nociones de longitud y ángulo se definen mediante el producto escalar. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo, y el coseno del ángulo (no orientado) entre dos vectores de longitud uno se define como su producto escalar. Entonces, la equivalencia de las dos definiciones del producto escalar es parte de la equivalencia de las formulaciones clásica y moderna de la geometría euclidiana.
Definición de coordenadas
El producto escalar de dos vectores y , especificado con respecto a una base ortonormal , se define como: [2]
Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 ( vector de fila ) se multiplica por una matriz de 3 × 1 ( vector de columna ) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:
Definición geométrica
Ilustración que muestra cómo encontrar el ángulo entre vectores usando el producto escalarCalcular los ángulos de enlace de una geometría molecular tetraédrica simétrica utilizando un producto escalar
En el espacio euclidiano , un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud como una dirección. Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector se denota por . El producto escalar de dos vectores euclidianos está definido por [3] [4] [1]
donde es el ángulo entre y .
En particular, si los vectores y son ortogonales (es decir, su ángulo es o ), entonces , lo que implica que
En el otro extremo, si son codireccionales , entonces el ángulo entre ellos es cero con y
Esto implica que el producto escalar de un vector consigo mismo es
el que da
la fórmula para la longitud euclidiana del vector.
Proyección escalar y primeras propiedades.
Proyección escalar
La proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano en la dirección de un vector euclidiano viene dada por
dónde está el ángulo entre y .
En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto se puede reescribir como ¿
dónde está el vector unitario en la dirección de ?
Ley distributiva del producto escalar
Por lo tanto, el producto escalar se caracteriza geométricamente por [5]
El producto escalar, definido de esta manera, es homogéneo bajo escala en cada variable, lo que significa que para cualquier escalar ,
también satisface la ley distributiva , lo que significa que
Estas propiedades se pueden resumir diciendo que el producto escalar es una forma bilineal . Además, esta forma bilineal es definida positiva , lo que significa que nunca es negativa, y es cero si y sólo si , el vector cero.
Equivalencia de las definiciones
Si los vectores de base estándar son , entonces podemos escribir
Los vectores son una base ortonormal , lo que significa que tienen una longitud unitaria y forman ángulos rectos entre sí. Dado que estos vectores tienen longitud unitaria
y forman ángulos rectos entre sí, si ,
por lo tanto, en general, podemos decir que:
¿dónde está el delta de Kronecker ?
Componentes del vector en forma ortonormal
Además, por la definición geométrica, para cualquier vector y un vector , observamos que
dónde está la componente del vector en la dirección de . El último paso en la igualdad se puede ver en la figura.
Ahora, aplicando la distributividad de la versión geométrica del producto escalar se obtiene
cuál es precisamente la definición algebraica del producto escalar. Entonces, el producto escalar geométrico es igual al producto escalar algebraico.
Propiedades
El producto escalar cumple las siguientes propiedades si , , y son vectores reales y , y son escalares . [2] [3]
porque el producto escalar entre un escalar y un vector no está definido, lo que significa que las expresiones involucradas en la propiedad asociativa, o ambas, están mal definidas. [7] Sin embargo, tenga en cuenta que la propiedad de multiplicación escalar mencionada anteriormente a veces se denomina "ley asociativa para el producto escalar y escalar" [8] o se puede decir que "el producto escalar es asociativo con respecto a la multiplicación escalar" porque . [9]
A diferencia de la multiplicación de números ordinarios, donde si , entonces siempre es igual a menos que sea cero, el producto escalar no obedece la ley de cancelación :Si y , entonces podemos escribir: por la ley distributiva ; el resultado anterior dice que esto simplemente significa que es perpendicular a , lo que aún permite y, por lo tanto, permite .
Triángulo con aristas vectoriales a y b , separadas por el ángulo θ .
Dados dos vectores y separados por un ángulo (ver imagen superior), forman un triángulo con un tercer lado . Sean , y denotan las longitudes de , y , respectivamente. El producto escalar de esto consigo mismo es:
El triple producto escalar de tres vectores se define como
Su valor es el determinante de la matriz cuyas columnas son las coordenadas cartesianas de los tres vectores. Es el volumen con signo del paralelepípedo definido por los tres vectores, y es isomorfo al caso especial tridimensional del producto exterior de tres vectores.
El triple producto vectorial se define mediante [2] [3]
Esta identidad, también conocida como fórmula de Lagrange , puede recordarse como "ACB menos ABC", teniendo en cuenta qué vectores están punteados entre sí. Esta fórmula tiene aplicaciones para simplificar los cálculos vectoriales en física .
Física
En física , el producto escalar toma dos vectores y devuelve una cantidad escalar . También se le conoce como "producto escalar". El producto escalar de dos vectores se puede definir como el producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores. Por tanto, alternativamente, se define como el producto de la proyección del primer vector sobre el segundo vector y la magnitud del segundo vector.
Para vectores con entradas complejas , usar la definición dada del producto escalar conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto escalar de un vector consigo mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto sucedería con el vector ). Esto, a su vez, tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definida positiva se pueden salvar a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto escalar, mediante la definición alternativa [12] [2]
donde es el conjugado complejo de . Cuando los vectores se representan mediante vectores columna , el producto escalar se puede expresar como un producto matricial que involucra una transpuesta conjugada , denotada con el superíndice H:
En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto escalar de cualquier vector consigo mismo es un número real no negativo y es distinto de cero excepto en el caso del vector cero. Sin embargo, el producto escalar complejo es sesquilineal en lugar de bilineal, ya que es lineal conjugado y no lineal en . El producto escalar no es simétrico, ya que
el ángulo entre dos vectores complejos viene dado por
El producto escalar propio de un vector complejo , que implica la transpuesta conjugada de un vector fila, también se conoce como norma al cuadrado , en honor a la norma euclidiana ; es una generalización vectorial del cuadrado absoluto de un escalar complejo (ver también: distancia euclidiana al cuadrado ).
El producto interno de dos vectores sobre el cuerpo de números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio producto interno es un espacio vectorial normado , y el producto interno de un vector consigo mismo es real y definido positivamente.
Funciones
El producto escalar se define para vectores que tienen un número finito de entradas . Por lo tanto, estos vectores pueden considerarse funciones discretas : un vector de longitud es, entonces, una función con dominio y es una notación para la imagen de por la función/vector .
Esta noción se puede generalizar a funciones continuas : así como el producto interno de vectores usa una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno de funciones se define como una integral sobre algún intervalo [ a , b ] : [2]
Generalizado aún más a funciones complejas y , por analogía con el producto interno complejo anterior, se obtiene [2]
Función de peso
Los productos internos pueden tener una función de ponderación (es decir, una función que pondera cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interno de funciones y con respecto a la función de peso es
Diádicas y matrices
Un producto escalar doble para matrices es el producto interno de Frobenius , que es análogo al producto escalar de vectores. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices y del mismo tamaño:
^ Nykamp, Duane. "El producto escalar". Perspectiva matemática . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Producto escalar". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
^ T. Banchoff; J. Wermer (1983). Álgebra lineal a través de la geometría. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 12.ISBN978-1-4684-0161-5.
^ A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Mecánica de ingeniería: estática (5ª ed.). Prentice Hall. pag. 60.ISBN978-0-13-612915-8.
^ KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para física e ingeniería (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN978-0-521-86153-3.
^ M. Mansfield; C. O'Sullivan (2011). Comprensión de la física (4ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN978-0-47-0746370.