Vectores de fila y columna

Matriz que consta de una sola fila o columna

En álgebra lineal , un vector columna con elementos es una matriz ^[1] que consta de una sola columna de entradas, por ejemplo, ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

De manera similar, un vector de fila es una matriz para algunos , que consta de una sola fila de entradas, ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$

La transpuesta (indicada por T ) de cualquier vector fila es un vector columna, y la transpuesta de cualquier vector columna es un vector fila:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

El conjunto de todos los vectores fila con n entradas en un campo dado (como los números reales ) forma un espacio vectorial n -dimensional ; de manera similar, el conjunto de todos los vectores de columna con m entradas forma un espacio vectorial m -dimensional.

El espacio de vectores fila con n entradas puede considerarse como el espacio dual del espacio de vectores columna con n entradas, ya que cualquier funcional lineal en el espacio de vectores columna se puede representar como la multiplicación por la izquierda de un vector fila único.

Notación

Para simplificar la escritura de vectores de columna en línea con otro texto, a veces se escriben como vectores de fila con la operación de transposición aplicada.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

o

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

Algunos autores también utilizan la convención de escribir tanto los vectores de columna como los de fila como filas, pero separando los elementos del vector de fila con comas y los elementos del vector de columna con punto y coma (consulte la notación alternativa 2 en la siguiente tabla). ^{[ cita necesaria ]}

Operaciones

La multiplicación de matrices implica la acción de multiplicar cada vector fila de una matriz por cada vector columna de otra matriz.

El producto escalar de dos vectores columna a , b , considerados como elementos de un espacio de coordenadas, es igual al producto matricial de la transpuesta de a con b ,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

Por la simetría del producto escalar, el producto escalar de dos vectores columna a , b también es igual al producto matricial de la transpuesta de b con a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

El producto matricial de una columna y un vector de fila da el producto exterior de dos vectores a , b , un ejemplo del producto tensorial más general . El producto matricial de la representación del vector columna de a y la representación del vector fila de b da los componentes de su producto diádico,

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

que es la transpuesta del producto matricial de la representación del vector columna de by la representación del vector fila de a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Transformaciones matriciales

Una matriz M de n × n puede representar un mapa lineal y actuar sobre vectores de fila y columna como matriz de transformación del mapa lineal . Para un vector fila v , el producto v M es otro vector fila p :

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

Otra matriz Q de n × n puede actuar sobre p ,

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

Entonces se puede escribir t = p Q = v MQ , por lo que la transformación del producto matricial MQ asigna v directamente a t . Continuando con los vectores de fila, se pueden aplicar transformaciones matriciales que reconfiguran aún más el espacio n a la derecha de las salidas anteriores.

Cuando un vector de columna se transforma en otro vector de columna bajo una acción matricial n × n , la operación ocurre hacia la izquierda,

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

lo que lleva a la expresión algebraica QM v ^T para la salida compuesta de la entrada v ^T. Las transformaciones matriciales se acumulan hacia la izquierda en este uso de un vector de columna para la entrada a la transformación matricial.

Ver también

• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Notación de índice
• Vector de unos
• Vector de entrada única
• Vector unitario estándar
• Vector unitario

Notas

1. Artín, Michael (1991). Álgebra . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. pag. 2.ISBN​ 0-13-004763-5.

Referencias

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001.
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall