Función homogénea

Función con comportamiento de escala multiplicativo.

En matemáticas , una función homogénea es una función de varias variables tal que se cumple lo siguiente: si cada uno de los argumentos de la función se multiplica por el mismo escalar , entonces el valor de la función se multiplica por alguna potencia de este escalar; la potencia se llama grado de homogeneidad , o simplemente grado . Es decir, si k es un número entero, una función f de n variables es homogénea de grado k si

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

para todos y ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$

Por ejemplo, un polinomio homogéneo de grado k define una función homogénea de grado k .

La definición anterior se extiende a funciones cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales sobre un campo F : una función entre dos F -espacios vectoriales es homogénea de grado si ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle k}$

para todos los escalares distintos de cero y Esta definición a menudo se generaliza aún más a funciones cuyo dominio no es V , sino un cono en V , es decir, un subconjunto C de V tal que implica para todo escalar distinto de cero s . ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in C}$ ${\displaystyle s\mathbf {v} \in C}$

En el caso de funciones de varias variables reales y espacios vectoriales reales , a menudo se considera una forma ligeramente más general de homogeneidad llamada homogeneidad positiva , que exige únicamente que las identidades anteriores sean válidas y permite cualquier número real k como grado de homogeneidad. Toda función real homogénea es positivamente homogénea . Lo contrario no es cierto, pero lo es localmente en el sentido de que (para grados enteros) los dos tipos de homogeneidad no pueden distinguirse considerando el comportamiento de una función cerca de un punto dado. ${\displaystyle s>0,}$

Una norma sobre un espacio vectorial real es un ejemplo de una función positivamente homogénea que no es homogénea. Un caso especial es el valor absoluto de los números reales. El cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado da un ejemplo de función homogénea de grado cero. Este ejemplo es fundamental en la definición de esquemas proyectivos .

Definiciones

El concepto de función homogénea se introdujo originalmente para funciones de varias variables reales . Con la definición de espacios vectoriales a finales del siglo XIX, el concepto se ha extendido naturalmente a funciones entre espacios vectoriales, ya que una tupla de valores variables puede considerarse como un vector de coordenadas . Es este punto de vista más general el que se describe en este artículo.

Hay dos definiciones de uso común. El general funciona para espacios vectoriales sobre campos arbitrarios y está restringido a grados de homogeneidad que son números enteros .

El segundo supone trabajar sobre el campo de los números reales , o, más generalmente, sobre un campo ordenado . Esta definición restringe a valores positivos el factor de escala que se da en la definición, y por ello se denomina homogeneidad positiva , omitiéndose muchas veces el calificativo positivo cuando no hay riesgo de confusión. La homogeneidad positiva lleva a considerar más funciones como homogéneas. Por ejemplo, el valor absoluto y todas las normas son funciones positivamente homogéneas que no lo son.

La restricción del factor de escala a valores reales positivos permite considerar también funciones homogéneas cuyo grado de homogeneidad es cualquier número real.

Homogeneidad general

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Un cono lineal en V es un subconjunto C de V tal que para todos y todos distintos de cero ${\displaystyle sx\in C}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Una función homogénea f de V a W es una función parcial de V a W que tiene un cono lineal C como dominio y satisface

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

para algún número entero k , todos y cada uno de ellos distintos de cero. El número entero k se llama grado de homogeneidad , o simplemente grado de f . ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Un ejemplo típico de función homogénea de grado k es la función definida por un polinomio homogéneo de grado k . La función racional definida por el cociente de dos polinomios homogéneos es una función homogénea; su grado es la diferencia de los grados del numerador y del denominador; su cono de definición es el cono lineal de los puntos donde el valor del denominador no es cero.

Las funciones homogéneas juegan un papel fundamental en la geometría proyectiva ya que cualquier función homogénea f de V a W define una función bien definida entre las proyectivizaciones de V y W. Las funciones racionales homogéneas de grado cero (las definidas por el cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado) juegan un papel esencial en la construcción de esquemas proyectivos .

Homogeneidad positiva

Cuando se trabaja con números reales , o más generalmente con un campo ordenado , suele ser conveniente considerar la homogeneidad positiva , siendo la definición exactamente la misma que la de la sección anterior, con " s distintos de cero " reemplazados por " s > 0 " en las definiciones de cono lineal y función homogénea.

Este cambio permite considerar funciones (positivamente) homogéneas con cualquier número real como sus grados, ya que la exponenciación con base real positiva está bien definida.

Incluso en el caso de grados enteros, hay muchas funciones útiles que son positivamente homogéneas sin serlo. Este es, en particular, el caso de la función de valor absoluto y de las normas , que son todas positivamente homogéneas de grado 1 . No son homogéneos ya que esto sigue siendo cierto en el caso complejo , ya que el cuerpo de los números complejos y todo espacio vectorial complejo puede considerarse como espacios vectoriales reales. ${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El teorema de la función homogénea de Euler es una caracterización de funciones diferenciables positivamente homogéneas , que puede considerarse como el teorema fundamental sobre funciones homogéneas .

Ejemplos

Una función homogénea no es necesariamente continua , como lo muestra este ejemplo. Esta es la función definida por si y si Esta función es homogénea de grado 1, es decir, para cualquier número real Es discontinua en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\displaystyle xy>0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle xy\leq 0.}$ ${\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}$ ${\displaystyle s,x,y.}$ ${\displaystyle y=0,x\neq 0.}$

Ejemplo sencillo

La función es homogénea de grado 2: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

$${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

Valor absoluto y normas.

El valor absoluto de un número real es una función positivamente homogénea de grado 1 , que no es homogénea, ya que si y si ${\displaystyle |sx|=s|x|}$ ${\displaystyle s>0,}$ ${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ ${\displaystyle s<0.}$

El valor absoluto de un número complejo es una función de grado positivamente homogénea sobre los números reales (es decir, cuando se consideran los números complejos como un espacio vectorial sobre los números reales). No es homogéneo, ni en los números reales ni en los complejos. ${\displaystyle 1}$

De manera más general, toda norma y seminorma es una función positivamente homogénea de grado 1 , que no es una función homogénea. En cuanto al valor absoluto, si la norma o seminorma se define en un espacio vectorial sobre números complejos, este espacio vectorial debe considerarse como un espacio vectorial sobre el número real para aplicar la definición de una función positivamente homogénea.

Funciones lineales

Cualquier aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un campo F es homogénea de grado 1, según la definición de linealidad: ${\displaystyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$

${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v\in V.}$

De manera similar, cualquier función multilineal es homogénea de grado según la definición de multilinealidad: ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ ${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$

${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

Polinomios homogéneos

Los monomios en variables definen funciones homogéneas. Por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$

$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$

$${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$

${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Un polinomio homogéneo es un polinomio formado por una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

$${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

Dado un polinomio de grado homogéneo con coeficientes reales que toma solo valores positivos, se obtiene una función de grado positivamente homogénea elevándola a la potencia. Entonces, por ejemplo, la siguiente función es positivamente homogénea de grado 1 pero no homogénea: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/d}$ ${\displaystyle 1/d.}$

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Mínimo máximo

Para cada conjunto de pesos las siguientes funciones son positivamente homogéneas de grado 1, pero no homogéneas: ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Utilidades Leontief )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Funciones racionales

Las funciones racionales formadas como la razón de dos polinomios homogéneos son funciones homogéneas en su dominio , es decir, fuera del cono lineal formado por los ceros del denominador. Así, si es homogénea de grado y es homogénea de grado entonces es homogénea de grado lejos de los ceros de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle g.}$

No ejemplos

Las funciones reales homogéneas de una sola variable tienen la forma de alguna constante c . Entonces, la función afín , el logaritmo natural y la función exponencial, no son homogéneas. ${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

teorema de euler

En términos generales, el teorema de la función homogénea de Euler afirma que las funciones positivamente homogéneas de un grado dado son exactamente la solución de una ecuación diferencial parcial específica . Más precisamente:

Teorema de la función homogénea de Euler  :  si f es una función (parcial) de n variables reales que es positivamente homogénea de grado k y continuamente diferenciable en algún subconjunto abierto de entonces satisface en este conjunto abierto la ecuación diferencial parcial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

Por el contrario, cada solución máxima continuamente diferenciable de esta ecuación derivable parcial es una función positivamente homogénea de grado k , definida en un cono positivo (aquí, máximo significa que la solución no se puede prolongar a una función con un dominio mayor).

Prueba

Para tener fórmulas más simples, establecemos los resultados de la primera parte usando la regla de la cadena para diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a y tomando el límite del resultado cuando s tiende a 1 . ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle s,}$

Lo contrario se demuestra integrando una ecuación diferencial simple . Sea en el interior del dominio de f . Para s suficientemente cercano a 1 , la función está bien definida. La ecuación diferencial parcial implica que ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).}$$

Las soluciones de esta ecuación diferencial lineal tienen la forma Por lo tanto, ${\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.}$

$${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}$$

si s es suficientemente cercano a 1 . Si esta solución de la ecuación diferencial parcial no estuviera definida para todos los s positivos , entonces la ecuación funcional permitiría prolongar la solución, y la ecuación diferencial parcial implica que esta prolongación es única. Entonces, el dominio de una solución máxima de la ecuación diferencial parcial es un cono lineal y la solución es positivamente homogénea de grado k . ${\displaystyle \square }$

Como consecuencia, si es continuamente diferenciable y homogénea de grado, sus derivadas parciales de primer orden son homogéneas de grado. Esto resulta del teorema de Euler al diferenciar la ecuación diferencial parcial con respecto a una variable. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle k-1.}$

En el caso de una función de una sola variable real ( ), el teorema implica que una función continuamente diferenciable y positivamente homogénea de grado k tiene la forma for y for Las constantes y no son necesariamente iguales, como es el caso de la valor absoluto . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

Aplicación a ecuaciones diferenciales.

La sustitución convierte la ecuación diferencial ordinaria. ${\displaystyle v=y/x}$

$${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$

ecuación diferencial separable ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

Generalizaciones

Homogeneidad bajo una acción monoide.

Las definiciones dadas anteriormente son todos casos especializados de la siguiente noción más general de homogeneidad en la que puede ser cualquier conjunto (en lugar de un espacio vectorial) y los números reales pueden reemplazarse por la noción más general de monoide . ${\displaystyle X}$

Sea un monoide con elementos de identidad conjuntos let y be, y supongamos que en ambos y hay acciones monoides definidas de Sea un entero no negativo y sea un mapa. Entonces se dice que es homogéneo de grado sobre si para todos y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\in M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$

valor absolutoabsolutamente homogénea de grado si ${\displaystyle M\to M,}$ ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Una función es homogénea ${\displaystyle M}$ (resp. absolutamente homogénea ${\displaystyle M}$ ) si es homogénea de grado ( resp. absolutamente homogénea de grado ) . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

De manera más general, es posible que los símbolos se definan como algo distinto de un número entero (por ejemplo, si son números reales y son un número real distinto de cero, entonces se definen aunque no sean un número entero). Si este es el caso entonces se llamará homogénea de grado si se cumple la misma igualdad: ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

La noción de ser absolutamente homogéneo en grado se ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ generaliza de manera similar.

Distribuciones (funciones generalizadas)

Una función continua on es homogénea de grado si y sólo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$

las funciones de prueba compatibles de forma compactacambio de variable ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$

las distribuciones ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$

${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t.}$

Glosario de variantes de nombres

Sea un mapa entre dos espacios vectoriales sobre un campo (generalmente los números reales o los números complejos ). Si es un conjunto de escalares, como o por ejemplo, entonces se dice que es ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$homogéneo sobre ${\displaystyle S}$ if para caday escalar. Por ejemplo, cadamapa aditivoentre espacios vectoriales es ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in S.}$homogéneo sobre los números racionales , aunquepuede que no lo sea. ${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$homogéneo sobre los números reales ${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

Los siguientes casos especiales y variaciones de esta definición que se encuentran comúnmente tienen su propia terminología:

1. (Estricto )Homogeneidad positiva :^[1] para todosy todoslos realespositivos ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Cuando la función se valora en un espacio o campo vectorial, entonces esta propiedad es lógicamente equivalente ^{[prueba 1]} a ${\displaystyle f}$homogeneidad no negativa , que por definición significa:^[2] para todosy todoslos realesno negativos. Es por esta razón que la homogeneidad positiva a menudo también se denomina homogeneidad no negativa. Sin embargo, para funciones valoradas ennúmeros reales extendidosque aparecen en campos comoel análisis convexo, la multiplicaciónno estará definida siemprey, por lo tanto, estas declaraciones no siempre son necesariamente intercambiables. ^{[nota 1]} ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de una función sublineal . ^{[1] [2]}
   • Los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones de valor real extendidas no negativas con esta propiedad.
2. Homogeneidad real :para todosy para todos reales ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de un funcional lineal real .
3. Homogeneidad :^[3] para todosy todos los escalares ${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Se enfatiza que esta definición depende del campo escalar subyacente al dominio. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de funcionales lineales y mapas lineales . ^[2]
4. Homogeneidad conjugada :^[4] para todosy todos los escalares ${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Si entonces normalmente denota el conjugado complejo de . Pero de manera más general, como ocurre con los mapas semilineales, por ejemplo, podría ser la imagen de bajo algún automorfismo distinguido de ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • Junto con la aditividad , esta propiedad se asume en la definición de aplicación antilineal . También se supone que una de las dos coordenadas de una forma sesquilineal tiene esta propiedad (como el producto interno de un espacio de Hilbert ).

Todas las definiciones anteriores se pueden generalizar reemplazando la condición por, en cuyo caso esa definición tiene el prefijo " absoluto " o " absolutamente ". Por ejemplo, ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

5. Homogeneidad absoluta :^[2] para todosy todos los escalares ${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de seminorma y norma .

Si es un número real fijo, entonces las definiciones anteriores se pueden generalizar aún más reemplazando la condición con (y de manera similar, reemplazando con condiciones que usan el valor absoluto, etc.), en cuyo caso se dice que la homogeneidad es " de grado " . (donde, en particular, todas las definiciones anteriores son " de grado " ). Por ejemplo, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$

6. Homogeneidad real de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy para todos reales ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
7. Homogeneidad de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy todos los escalares. ${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. Homogeneidad real absoluta de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy todos los reales ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
9. Homogeneidad absoluta de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy todos los escalares ${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

Una función continua distinta de cero que es homogénea de grado se extiende continuamente a si y sólo si ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k>0.}$

Ver también

• Espacio homogéneo
• Función de centro de triángulo  : punto en un triángulo que puede verse como su centro según algunos criterios.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Sin embargo, si tal satisface para todos y entonces necesariamente y siempre que ambos sean reales, entonces será válido para todos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}$ ${\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$

Pruebas

1. Supongamos que es estrictamente homogéneo y valorado en un espacio vectorial o un campo. Entonces , restar de ambos lados muestra que Escribir entonces para cualquier cosa que muestre que es homogénea no negativa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle r:=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}$ ${\displaystyle f}$

Referencias

1. Schechter 1996, págs. 313–314.
2. Kubrusly 2011, pag. 200.
3. Kubrusly 2011, pag. 55.
4. Kubrusly 2011, pag. 310.

Fuentes

• Blatter, cristiano (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1". Análisis II (en alemán) (2ª ed.). Springer Verlag. pag. 188.ISBN _ 3-540-09484-9.
• Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría del operador (Segunda ed.). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

enlaces externos

• "Función homogénea", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Teorema de la función homogénea de Euler". MundoMatemático .