Monomio

Polinomio con un solo término

En matemáticas , un monomio es, en términos generales, un polinomio que tiene un solo término . Se pueden encontrar dos definiciones de monomio:

1. Un monomio, también llamado producto de potencias , es un producto de potencias de variables con exponentes enteros no negativos o, en otras palabras, un producto de variables, posiblemente con repeticiones. Por ejemplo, es un monomio. La constante es un monomio, siendo igual al producto vacío y a para cualquier variable . Si solo se considera una única variable , esto significa que un monomio es o una potencia de , con un entero positivo. Si se consideran varias variables, por ejemplo, entonces a cada una se le puede dar un exponente, de modo que cualquier monomio es de la forma con números enteros no negativos (tomando nota de que cualquier exponente hace que el factor correspondiente sea igual a ). ${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
2. Un monomio es un monomio en el primer sentido multiplicado por una constante distinta de cero, llamada coeficiente del monomio. Un monomio en el primer sentido es un caso especial de un monomio en el segundo sentido, donde el coeficiente es . Por ejemplo, en esta interpretación y son monomios (en el segundo ejemplo, las variables son y el coeficiente es un número complejo ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -7x^{5}}$ ${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$ ${\displaystyle x,y,z,}$

En el contexto de los polinomios de Laurent y las series de Laurent , los exponentes de un monomio pueden ser negativos, y en el contexto de las series de Puiseux , los exponentes pueden ser números racionales .

Dado que la palabra "monomio", así como la palabra "polinomio", provienen del latín tardío "binomium" (binomio), al cambiar el prefijo "bi-" (dos en latín), un monomio debería teóricamente llamarse "mononomio". "Monomio" es una síncope por haplología de "mononomio". ^[1]

Comparación de las dos definiciones

Con cualquiera de las definiciones, el conjunto de monomios es un subconjunto de todos los polinomios que está cerrado bajo la multiplicación.

Ambos usos de esta noción se pueden encontrar, y en muchos casos la distinción simplemente se ignora, véanse, por ejemplo, los ejemplos para el primer ^[2] y el segundo ^[3] significado. En discusiones informales, la distinción rara vez es importante, y la tendencia es hacia el segundo significado más amplio. Sin embargo, al estudiar la estructura de los polinomios, a menudo se necesita definitivamente una noción con el primer significado. Este es, por ejemplo, el caso cuando se considera una base monomial de un anillo de polinomios , o un ordenamiento monomial de esa base. Un argumento a favor del primer significado es también que no hay otra noción obvia disponible para designar estos valores (el término producto de potencia está en uso, en particular cuando se usa monomio con el primer significado, pero tampoco deja clara la ausencia de constantes), mientras que el término de noción de un polinomio coincide inequívocamente con el segundo significado de monomio.

El resto de este artículo asume el primer significado de "monomio".

Base monomial

El hecho más obvio acerca de los monomios (primer significado) es que cualquier polinomio es una combinación lineal de ellos, por lo que forman una base del espacio vectorial de todos los polinomios, llamada base monomial , un hecho de uso implícito constante en matemáticas.

Número

El número de monomios de grado en las variables es el número de multicombinaciones de elementos elegidos entre las variables (una variable puede elegirse más de una vez, pero el orden no importa), que viene dado por el coeficiente del multiconjunto . Esta expresión también puede darse en forma de coeficiente binomial , como expresión polinómica en , o utilizando una potencia factorial ascendente de : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

Las últimas formas son particularmente útiles cuando se fija el número de variables y se permite que varíe el grado. A partir de estas expresiones se ve que para n fijo , el número de monomios de grado d es una expresión polinómica en de grado con coeficiente principal . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$

Por ejemplo, el número de monomios en tres variables ( ) de grado d es ; estos números forman la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, ... de números triangulares . ${\displaystyle n=3}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$

La serie de Hilbert es una forma compacta de expresar el número de monomios de un grado dado: el número de monomios de grado en variables es el coeficiente de grado de la expansión formal en serie de potencias de ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

El número de monomios de grado como máximo d en n variables es . Esto se deduce de la correspondencia biunívoca entre los monomios de grado en variables y los monomios de grado como máximo en variables, que consiste en sustituir por 1 la variable sobrante. ${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Notación de múltiples índices

La notación de múltiples índices suele ser útil para tener una notación compacta, especialmente cuando hay más de dos o tres variables. Si las variables que se utilizan forman una familia indexada, como se puede establecer ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

y

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

Entonces el monomio

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

Con esta notación, el producto de dos monomios se expresa simplemente utilizando la suma de vectores exponenciales:

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

Grado

El grado de un monomio se define como la suma de todos los exponentes de las variables, incluyendo los exponentes implícitos de 1 para las variables que aparecen sin exponente; p. ej., en el ejemplo de la sección anterior, el grado es . El grado de es 1+1+2=4. El grado de una constante distinta de cero es 0. Por ejemplo, el grado de −7 es 0. ${\displaystyle a+b+c}$ ${\displaystyle xyz^{2}}$

El grado de un monomio se denomina a veces orden, principalmente en el contexto de las series. También se denomina grado total cuando es necesario distinguirlo del grado de una de las variables.

El grado monomial es fundamental para la teoría de polinomios univariados y multivariados. Explícitamente, se utiliza para definir el grado de un polinomio y la noción de polinomio homogéneo , así como para los ordenamientos monomiales graduados utilizados en la formulación y el cálculo de bases de Gröbner . Implícitamente, se utiliza para agrupar los términos de una serie de Taylor en varias variables .

Geometría

En geometría algebraica, las variedades definidas por ecuaciones monomiales para un conjunto de α tienen propiedades especiales de homogeneidad. Esto se puede expresar en el lenguaje de los grupos algebraicos , en términos de la existencia de una acción de grupo de un toro algebraico (equivalentemente, por un grupo multiplicativo de matrices diagonales ). Esta área se estudia bajo el nombre de incrustaciones de toros . ${\displaystyle x^{\alpha }=0}$

Véase también

• Representación monomial
• Matriz monomial
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• Forma multilineal
• Gráfica logarítmica
• Ley de potencia
• Polinomio disperso

Referencias

1. Diccionario American Heritage de la lengua inglesa , 1969.
2. Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). Uso de la geometría algebraica. Springer Verlag. pp. 1. ISBN 0-387-98487-9.
3. "Monomial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]