Mapa semilineal

En álgebra lineal , particularmente en geometría proyectiva , una función semilineal entre espacios vectoriales V y W sobre un cuerpo K es una función que es una función lineal "hasta un giro", por lo tanto semilineal , donde "giro" significa " automorfismo de cuerpo de K ". Explícitamente, es una función T  : V → W que es:

• aditivo con respecto a la adición vectorial: ${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• existe un automorfismo de campo θ de K tal que . Si tal automorfismo existe y T es distinto de cero, es único y T se llama θ -semilineal. ${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$

Cuando el dominio y el codominio son el mismo espacio (es decir, T  : V → V ), se puede denominar transformación semilineal . Las transformaciones semilineales invertibles de un espacio vectorial dado V (para todas las opciones de automorfismo de cuerpo) forman un grupo, llamado grupo semilineal general y denotado por analogía con y extendiendo el grupo lineal general . El caso especial donde el cuerpo son los números complejos y el automorfismo es la conjugación compleja , una función semilineal se denomina función antilineal . ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Se utiliza una notación similar (reemplazando caracteres latinos por griegos) para análogos semilineales de transformadas lineales más restringidas; formalmente, el producto semidirecto de un grupo lineal con el grupo de Galois de automorfismo de campo. Por ejemplo, PΣU se utiliza para los análogos semilineales del grupo unitario especial proyectivo PSU. Sin embargo, hay que tener en cuenta que solo recientemente se ha observado que estos grupos semilineales generalizados no están bien definidos, como se señala en (Bray, Holt y Roney-Dougal 2009): los grupos clásicos isomorfos G y H (subgrupos de SL) pueden tener extensiones semilineales no isomorfas. A nivel de productos semidirectos, esto corresponde a diferentes acciones del grupo de Galois sobre un grupo abstracto dado, un producto semidirecto que depende de dos grupos y una acción. Si la extensión no es única, hay exactamente dos extensiones semilineales; por ejemplo, los grupos simplécticos tienen una extensión semilineal única, mientras que SU( n , q ) tiene dos extensiones si n es par y q es impar, y lo mismo para PSU.

Definición

Una función f  : V → W para espacios vectoriales V y W sobre los cuerpos K y L respectivamente es σ -semilineal, o simplemente semilineal , si existe un homomorfismo de cuerpo σ  : K → L tal que para todo x , y en V y λ en K se cumple que

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Una incrustación dada σ de un cuerpo K en L nos permite identificar K con un subcuerpo de L , haciendo que una función σ -semilineal sea una función K -lineal bajo esta identificación. Sin embargo, una función que es τ -semilineal para una incrustación distinta τ ≠ σ no será K -lineal con respecto a la identificación original σ , a menos que f sea idénticamente cero.

De manera más general, una función ψ  : M → N entre un módulo R derecho M y un módulo S izquierdo N es σ - semilineal si existe un antihomomorfismo de anillo σ  : R → S tal que para todo x , y en M y λ en R se cumple que

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

El término semilineal se aplica a cualquier combinación de módulos izquierdo y derecho con un ajuste adecuado de las expresiones anteriores, siendo σ un homomorfismo según sea necesario. ^{[1] [2]}

El par ( ψ , σ ) se denomina dimorfismo . ^[3]

Relacionado

Transponer

Sea un isomorfismo de anillo, un módulo derecho y un módulo derecho, y una función semilineal. Defina la transpuesta de como la función que satisface ^[4]. Esta es una función semilineal. ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}}$ $${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ for all }}y\in N^{*},{\text{ and all }}x\in M.}$$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$

Propiedades

Sea un isomorfismo de anillo, un módulo derecho y un módulo derecho , y una función semilineal. La función define una forma lineal. ^[5] ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

• Sea con base estándar . Defina el mapa por ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle f\colon V\to V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

f es semilineal (con respecto al automorfismo del campo de conjugación complejo) pero no lineal.

• Sea – el cuerpo de Galois de orden , p la característica. Sea . Por el sueño del estudiante de primer año se sabe que se trata de un automorfismo de cuerpo. Para toda función lineal entre espacios vectoriales V y W sobre K podemos establecer una función -semilineal ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$ ${\displaystyle q=p^{i}}$ ${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

De hecho, cualquier función lineal puede convertirse en una función semilineal de esta manera. Esto forma parte de una observación general recogida en el siguiente resultado.

• Sea un anillo no conmutativo, un módulo izquierdo y un elemento invertible de . Definamos la función , de modo que , y es un automorfismo interno de . Por lo tanto, la homotecia no necesita ser una función lineal, sino que es -semilineal. ^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \sigma }$

Grupo semilineal general

Dado un espacio vectorial V , el conjunto de todas las transformaciones semilineales invertibles V → V (sobre todos los automorfismos de cuerpo) es el grupo ΓL( V ).

Dado un espacio vectorial V sobre K , ΓL( V ) se descompone como el producto semidirecto

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

donde Aut( K ) son los automorfismos de K . De manera similar, las transformadas semilineales de otros grupos lineales se pueden definir como el producto semidirecto con el grupo de automorfismos, o más intrínsecamente como el grupo de mapas semilineales de un espacio vectorial que preserva algunas propiedades.

Identificamos Aut( K ) con un subgrupo de ΓL( V ) fijando una base B para V y definiendo las aplicaciones semilineales:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

para cualquier . Denotaremos este subgrupo por Aut( K ) _B . También vemos que GL( V ) actúa regularmente sobre estos complementos de GL( V ) en ΓL( V ) ya que corresponden a un cambio de base . ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

Prueba

Toda función lineal es semilineal, por lo tanto . Fijemos una base B de V . Ahora, dada cualquier función semilineal f con respecto a un automorfismo de cuerpo σ ∈ Aut( K ) , definamos g  : V → V por ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

Como f ( B ) también es una base de V , se deduce que g es simplemente un intercambio de base de V y por lo tanto lineal e invertible: g ∈ GL( V ) .

Conjunto . Para cada uno en V , ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$ ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

Por lo tanto, h está en el subgrupo Aut( K ) en relación con la base fija B. Esta factorización es exclusiva de la base fija B. Además, GL( V ) se normaliza por la acción de Aut( K ) _B , por lo que ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K ) .

Aplicaciones

Geometría proyectiva

Los grupos extienden los grupos clásicos típicos en GL( V ). La importancia de considerar tales mapas se deriva de la consideración de la geometría proyectiva . La acción inducida de sobre el espacio proyectivo asociado P( V ) produce el ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$grupo semilineal proyectivo , denotado, que extiende elgrupo lineal proyectivo, PGL(V). ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

La geometría proyectiva de un espacio vectorial V , denotada PG( V ), es la red de todos los subespacios de V . Aunque la función semilineal típica no es una función lineal, se deduce que toda función semilineal induce una función que preserva el orden . Es decir, toda función semilineal induce una proyectividad . El recíproco de esta observación (excepto para la línea proyectiva) es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Por lo tanto, las funciones semilineales son útiles porque definen el grupo de automorfismos de la geometría proyectiva de un espacio vectorial. ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

Grupo Mathieu

El grupo PΓL(3,4) se puede utilizar para construir el grupo de Mathieu M ₂₄ , que es uno de los grupos simples esporádicos ; PΓL(3,4) es un subgrupo maximal de M ₂₄ , y hay muchas formas de extenderlo al grupo de Mathieu completo.

Véase también

• Mapa antilineal
• Espacio vectorial conjugado complejo

Referencias

1. Ian R. Porteous (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge University Press
2. Bourbaki (1989), Álgebra I (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
3. Bourbaki (1989), Álgebra I (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223
4. Bourbaki (1989), Álgebra I (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
5. Bourbaki (1989), Álgebra I (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 236
6. Bourbaki (1989), Álgebra I (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 223

• Assmus, EF; Key, JD (1994), Diseños y sus códigos , Cambridge University Press , pág. 93, ISBN 0-521-45839-0
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1970]. Álgebra I Capítulos 1-3 [ Álgebra: Capítulos 1 a 3 ] (PDF) . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5.OCLC 18588156  .
• Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Ciertos grupos clásicos no están bien definidos", Journal of Group Theory , 12 (2): 171–180, doi : 10.1515/jgt.2008.069 , ISSN  1433-5883, MR  2502211
• Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Geometría proyectiva moderna , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 49 (1.ª ed.), Springer-Verlag Nueva York
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

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