Automorfismo

En matemáticas , un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto y una forma de mapear el objeto a sí mismo mientras se preserva toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo , llamado grupo de automorfismos . Es, en términos generales, el grupo de simetría del objeto.

Definición

En una estructura algebraica como un grupo , un anillo o un espacio vectorial , un automorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo de un objeto en sí mismo. (La definición de un homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupo , homomorfismo de anillo y operador lineal ).

De manera más general, para un objeto en alguna categoría , un automorfismo es un morfismo del objeto hacia sí mismo que tiene un morfismo inverso; es decir, un morfismo es un automorfismo si existe un morfismo tal que donde es el morfismo identidad de $X$ . Para las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes; en este caso, el morfismo identidad es simplemente la función identidad , y a menudo se denomina automorfismo trivial $f:X\to X$ $g:X\to X$ $g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},$ $\operatorname {id} _{X}$

Grupo de automorfismos

Los automorfismos de un objeto $X$ forman un grupo bajo composición de morfismos , que se llama grupo de automorfismos de $X.$ Esto resulta directamente de la definición de una categoría.

El grupo de automorfismos de un objeto $X$ en una categoría $C$ a menudo se denota $Aut C (X)$ , o simplemente Aut( X ) si la categoría queda clara en el contexto.

Ejemplos

En teoría de conjuntos , una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismos de X también se denomina grupo simétrico de X.
En aritmética elemental , el conjunto de los números enteros , Z , considerado como un grupo bajo adición, tiene un único automorfismo no trivial: la negación. Sin embargo, considerado como un anillo, solo tiene el automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano , pero no de un anillo o cuerpo.
Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo tal que la estructura permanece inalterada. Para cada grupo G existe un homomorfismo de grupo natural G → Aut( G ) cuya imagen es el grupo Inn( G ) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G . Por lo tanto, si G tiene centro trivial puede ser incluido en su propio grupo de automorfismos. ^[1]
En álgebra lineal , un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V . Un automorfismo es un operador lineal invertible sobre V . Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismos de V es el mismo que el grupo lineal general , GL( V ). (La estructura algebraica de todos los endomorfismos de V es en sí misma un álgebra sobre el mismo cuerpo base que V , cuyos elementos invertibles consisten precisamente en GL( V ).)
Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un campo hacia sí mismo.
- El cuerpo de los números racionales no tiene otro automorfismo que la identidad, pues un automorfismo debe fijar la identidad aditiva $0$ y la identidad multiplicativa $1$ ; la suma de un número finito de $1$ debe ser fija, así como los inversos aditivos de estas sumas (es decir, el automorfismo fija todos los números enteros ); finalmente, como todo número racional es cociente de dos enteros, todos los números racionales deben ser fijados por cualquier automorfismo. $\mathbb {Q}$
- El cuerpo de los números reales no tiene otros automorfismos que la identidad. En efecto, los números racionales deben ser fijos por cada automorfismo, como se ha indicado anteriormente; un automorfismo debe preservar las desigualdades, ya que es equivalente a y esta última propiedad la preserva cada automorfismo; finalmente, cada número real debe ser fijo, ya que es el límite superior mínimo de una secuencia de números racionales. $\mathbb {R}$ $x<y$ $\exists z\mid y-x=z^{2},$
- El cuerpo de los números complejos tiene un único automorfismo no trivial que fija los números reales. Es la conjugación compleja , que se aplica a El axioma de elección implica la existencia de una cantidad incontable de automorfismos que no fijan los números reales. ^[2]^[3] $\mathbb {C}$ $i$ $-i.$
- El estudio de los automorfismos de las extensiones de campos algebraicos es el punto de partida y el objeto principal de la teoría de Galois .
El grupo de automorfismos de los cuaterniones ( H ) como un anillo son los automorfismos internos, por el teorema de Skolem-Noether : mapas de la forma a ↦ bab ⁻¹ . ^[4] Este grupo es isomorfo a SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional.
El grupo de automorfismo de los octoniones ( O ) es el excepcional grupo de Lie G 2 .
En teoría de grafos, un automorfismo de un grafo es una permutación de los nodos que conserva las aristas y los no aristas. En particular, si dos nodos están unidos por una arista, también lo están sus imágenes bajo la permutación.
En geometría , un automorfismo puede denominarse movimiento del espacio. También se utiliza una terminología especializada:
- En geometría métrica, un automorfismo es una autoisometría . El grupo de automorfismos también se denomina grupo de isometría .
- En la categoría de superficies de Riemann , un automorfismo es una función biholomorfa (también llamada función conforme ), de una superficie hacia sí misma. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones de Möbius .
- Un automorfismo de una variedad diferenciable M es un difeomorfismo de M hacia sí mismo. El grupo de automorfismos a veces se denota como Diff( M ).
- En topología , los morfismos entre espacios topológicos se denominan aplicaciones continuas , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio consigo mismo, o autohomeomorfismo (véase grupo de homeomorfismos ). En este ejemplo, no es suficiente que un morfismo sea biyectivo para ser un isomorfismo.

Historia

Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , donde descubrió un automorfismo de orden dos, ^[5] escribiendo:

De modo que ésta es una nueva quinta raíz de unidad, conectada con la quinta raíz anterior por relaciones de perfecta reciprocidad. $\mu$ $\lambda$

Automorfismos internos y externos

En algunas categorías (especialmente grupos , anillos y álgebras de Lie ) es posible separar los automorfismos en dos tipos, llamados automorfismos "internos" y "externos".

En el caso de los grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones de los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G , la conjugación por a es la operación φ _a : G → G dada por φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (o a ⁻¹ga ; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn( G ); esto se llama lema de Goursat .

Los demás automorfismos se denominan automorfismos externos . El grupo cociente Aut( G ) / Inn( G ) se suele denotar por Out( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.

La misma definición se aplica a cualquier anillo unitario o álgebra donde a es cualquier elemento invertible . Para las álgebras de Lie, la definición es ligeramente diferente.

Véase también

Referencias

^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismos". Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional (traducción de Felix Pahl, ed.). Springer. pág. 376. ISBN 3-540-67995-2.
^ Yale, Paul B. (mayo de 1966). "Automorfismos de los números complejos" (PDF) . Revista de matemáticas . 39 (3): 135–141. doi :10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
^ Lounesto, Pertti (2001), Álgebras y espinores de Clifford (2.ª ed.), Cambridge University Press, págs. 22-23, ISBN 0-521-00551-5
^ Manual de álgebra , vol. 3, Elsevier , 2003, pág. 453
^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorando sobre un nuevo sistema de raíces de unidad" (PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09.

Enlaces externos

Automorfismo en la Enciclopedia de Matemáticas
Weisstein, Eric W. "Automorfismo". MundoMatemático .