El sueño del estudiante de primer año.

Falacia matemática

Una ilustración del sueño del estudiante de primer año en dos dimensiones. Cada lado del cuadrado tiene una longitud X+Y. El área del cuadrado es la suma del área de la región amarilla (=X ² ), el área de la región verde (=Y ² ) y el área de las dos regiones blancas (=2×X×Y).

El sueño del estudiante de primer año es un nombre que se le da a la ecuación errónea , donde es un número real (normalmente un entero positivo mayor que 1) y son números reales distintos de cero. Los estudiantes principiantes suelen cometer este error al calcular la potencia de una suma de números reales, asumiendo erróneamente que las potencias se distribuyen entre las sumas. ^{[1] [2]} Cuando n = 2, es fácil ver por qué esto es incorrecto: ( x  +  y ) ² se puede calcular correctamente como x ²  + 2 xy  +  y ² usando la distributividad (comúnmente conocida por los estudiantes en los Estados Unidos). Estados como el método FOIL ). Para valores enteros positivos mayores de n , el resultado correcto viene dado por el teorema del binomio . ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y}$

El nombre "sueño del estudiante de primer año" también se refiere a veces al teorema que dice que para un número primo p , si x e y son miembros de un anillo conmutativo de característica p , entonces ( x  +  y ) ^p  =  x ^p  +  y ^p . En este tipo de aritmética más exótico, el "error" en realidad da el resultado correcto, ya que p divide todos los coeficientes binomiales excepto el primero y el último, haciendo que todos los términos intermedios sean iguales a cero.

La identidad también es cierta en el contexto de la geometría tropical , donde la multiplicación se reemplaza por la suma y la suma se reemplaza por el mínimo . ^[3]

Ejemplos

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$, pero . ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$no es igual . Por ejemplo, que no es igual a 3 + 4 = 7 . En este ejemplo, el error se está cometiendo con el exponente n = ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$ ${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$1/2.

característica principal

Cuando es un número primo y y son miembros de un anillo conmutativo de característica , entonces . Esto se puede ver examinando los factores primos de los coeficientes binomiales: el n- ésimo coeficiente binomial es ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}.}$

El numerador es p factorial (!), que es divisible por p . Sin embargo, cuando 0 < n < p , ambos n ! y ( p − n )! son coprimos con p ya que todos los factores son menores que p y p es primo. Dado que un coeficiente binomial es siempre un número entero, el n -ésimo coeficiente binomial es divisible por p y, por tanto, igual a 0 en el anillo. Nos quedan los coeficientes cero y pésimo , que son iguales a 1, lo que produce la ecuación deseada.

Así, en la característica p, el sueño del estudiante de primer año es una identidad válida. Este resultado demuestra que la exponenciación por p produce un endomorfismo , conocido como endomorfismo de Frobenius del anillo.

La exigencia de que la característica p sea un número primo es fundamental para la verdad del sueño del estudiante de primer año. Un teorema relacionado establece que si p es primo entonces ( x + 1) ^p ≡ x ^p + 1 en el anillo polinómico . Este teorema es un hecho clave en las pruebas de primalidad modernas. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$

Historia y nombres alternativos

La historia del término "sueño del estudiante de primer año" es algo confusa. En un artículo de 1940 sobre campos modulares , Saunders Mac Lane cita la observación de Stephen Kleene de que un conocimiento de ( a + b ) ² = a ² + b ² en un campo de característica 2 corrompería a los estudiantes de primer año de álgebra . Esta puede ser la primera conexión entre el "estudiante de primer año" y la expansión binomial en campos de características positivas. ^[5] Desde entonces, los autores de textos de álgebra de pregrado tomaron nota del error común. La primera constatación real de la frase "el sueño del estudiante de primer año" parece encontrarse en el libro de texto de álgebra para graduados de Hungerford (1974), donde cita a McBrien. ^[6] Los términos alternativos incluyen " exponenciación de primer año ", utilizado en Fraleigh (1998). ^[7] El término "sueño del estudiante de primer año", en contextos no matemáticos, está registrado desde el siglo XIX. ^[8]

Dado que la expansión de ( x + y ) ⁿ está dada correctamente por el teorema del binomio , el sueño del estudiante de primer año también se conoce como " teorema del binomio del niño " ^[4] o " teorema del binomio del colegial ".

Ver también

• Pons asinorum
• prueba de primalidad
• El sueño del estudiante de segundo año.
• Endomorfismo de Frobenius

Referencias

1. Julio R. Bastida, Extensiones de campo y teoría de Galois , Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
2. Fraleigh, John B., Un primer curso de álgebra abstracta , Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN  0-201-53467-3 .
3. Difusión DM (23 de febrero de 2018), Introducción a la geometría algebraica tropical (1 de 5) , consultado el 11 de junio de 2019
4. A. Granville, Es fácil determinar si un número entero dado es primo , Bull. de la AMS, volumen 42, número 1 (septiembre de 2004), páginas 3 a 38.
5. Colin R. Fletcher, Revisión de artículos seleccionados sobre álgebra, editado por Susan Montgomery , Elizabeth W. Ralston y otros. Pp xv, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Asociación Matemática de América)  , The Mathematical Gazette , vol. 62, No. 421 (octubre de 1978), The Mathematical Association. pag. 221.
6. Thomas W. Hungerford, Álgebra, Springer, 1974, pág. 121; también en Álgebra abstracta: una introducción , 2ª edición. Brooks Cole, 12 de julio de 1996, pág. 366.
7. John B. Fraleigh, Un primer curso de álgebra abstracta , sexta edición, Addison-Wesley, 1998, págs. 262 y 438.
8. Búsqueda de libros en Google 1800-1900 para "el sueño del estudiante de primer año": miscelánea de Bentley, volumen 26, p. 176, 1849