Ecuación diferencial lineal

Ecuaciones diferenciales que son lineales con respecto a la función desconocida y sus derivadas.

En matemáticas , una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, es decir, una ecuación de la forma

$${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$

a ₀ ( x ) , ..., a _n ( x )b ( x )funciones diferenciablesy ′, ..., y ^{( n )} yx

Tal ecuación es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (PDE), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales .

Tipos de solución

Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tengan coeficientes constantes pueden resolverse mediante cuadratura , lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales . Esto también es válido para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse mediante cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si existen soluciones en términos de integrales y calcularlas, si las hay.

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes polinomiales se denominan funciones holonómicas . Esta clase de funciones es estable bajo sumas, productos, derivación , integración y contiene muchas funciones habituales y funciones especiales como función exponencial , logaritmo , seno , coseno , funciones trigonométricas inversas , función de error , funciones de Bessel y funciones hipergeométricas . Su representación mediante la ecuación diferencial definitoria y las condiciones iniciales permite realizar algorítmicas (en estas funciones) la mayoría de las operaciones de cálculo , como el cálculo de antiderivadas , límites , expansión asintótica y evaluación numérica con cualquier precisión, con un límite de error certificado.

Terminología básica

El orden más alto de derivación que aparece en una ecuación diferencial (lineal) es el orden de la ecuación. El término b ( x ) , que no depende de la función desconocida y sus derivadas, a veces se denomina término constante de la ecuación (por analogía con las ecuaciones algebraicas ), incluso cuando este término es una función no constante. Si el término constante es la función cero , entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea , al ser un polinomio homogéneo en la función desconocida y sus derivadas. La ecuación que se obtiene reemplazando, en una ecuación diferencial lineal, el término constante por la función cero es laecuación homogénea asociada . Una ecuación diferencial tienecoeficientes constantessi solofunciones constantescomo coeficientes en la ecuación homogénea asociada.

ALa solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación. Las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea forman unespacio vectorial. En el caso ordinario, este espacio vectorial tiene una dimensión finita, igual al orden de la ecuación. Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal se encuentran agregando a una solución particular cualquier solución de la ecuación homogénea asociada.

Operador diferencial lineal

Un operador diferencial básico de orden i es una aplicación que asigna cualquier función diferenciable a su i -ésima derivada o, en el caso de varias variables, a una de sus derivadas parciales de orden i . Se denota comúnmente

$${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$$

univariadas

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$$

n

Un operador diferencial lineal (abreviado, en este artículo, como operador lineal o, simplemente, operador ) es una combinación lineal de operadores diferenciales básicos, con funciones diferenciables como coeficientes. En el caso univariante, un operador lineal tiene la forma ^[1]

$${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$

a ₀ ( x ), ..., a _n ( x )nordena _n ( x )función cero

Sea L un operador diferencial lineal. La aplicación de L a una función f generalmente se denota como Lf o Lf ( X ) , si es necesario especificar la variable (esto no debe confundirse con una multiplicación). Un operador diferencial lineal es un operador lineal , ya que asigna sumas a sumas y el producto por un escalar al producto por el mismo escalar.

Como la suma de dos operadores lineales es un operador lineal, así como el producto (a la izquierda) de un operador lineal por una función diferenciable, los operadores diferenciales lineales forman un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos (dependiendo de la naturaleza de las funciones que se consideran). También forman un módulo libre sobre el anillo de funciones diferenciables.

El lenguaje de operadores permite una escritura compacta para ecuaciones diferenciables: si

$${\displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$

$${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$

$${\displaystyle Ly=b(x).}$$

Puede haber varias variantes de esta notación; en particular la variable de diferenciación puede aparecer explícitamente o no en y y en el lado derecho y de la ecuación, como Ly ( x ) = b ( x ) o Ly = b .

El núcleo de un operador diferencial lineal es su núcleo como mapeo lineal, es decir, el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación diferencial (homogénea) Ly = 0 .

En el caso de un operador diferencial ordinario de orden n , el teorema de existencia de Carathéodory implica que, en condiciones muy suaves, el núcleo de L es un espacio vectorial de dimensión n , y que las soluciones de la ecuación Ly ( x ) = b ( x ) tiene la forma

$${\displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),}$$

c ₁ , ..., c _nIb , a ₀ , ..., an _sonIk| un _norte ( x ) | > kxI

Ecuación homogénea con coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene coeficientes constantes si tiene la forma

$${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$

a ₁ , ..., an _son

El estudio de estas ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se remonta a Leonhard Euler , quien introdujo la función exponencial e ^x , que es la solución única de la ecuación f ′ = f tal que f (0) = 1 . De ello se deduce que la enésima derivada de e ^cx es c ⁿ e ^cx , y esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con bastante facilidad.

Dejar

$${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$

a ₀ , ..., a _n

Buscar soluciones de esta ecuación que tengan la forma e ^αx es equivalente a buscar las constantes α tales que

$${\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.}$$

e ^αxαpolinomio característico

$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$$

ecuación característica

$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}$$

Cuando todas estas raíces son distintas , se tienen n soluciones distintas que no son necesariamente reales, incluso si los coeficientes de la ecuación son reales. Se puede demostrar que estas soluciones son linealmente independientes , considerando el determinante de Vandermonde de los valores de estas soluciones en x = 0, ..., n – 1 . Juntos forman la base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación diferencial (es decir, el núcleo del operador diferencial).

En el caso de que el polinomio característico tenga sólo raíces simples , lo anterior proporciona una base completa del espacio vectorial de soluciones. En el caso de raíces múltiples , se necesitan soluciones más linealmente independientes para tener una base. Estos tienen la forma

$${\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},}$$

kαmk < mαmP ( t )( t − α ) ^mm,Pteorema del desplazamiento exponencial ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}$$

y por lo tanto se obtiene cero después de k + 1 aplicación de . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$

Como, según el teorema fundamental del álgebra , la suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio, el número de soluciones anteriores es igual al orden de la ecuación diferencial, y estas soluciones forman una base del espacio vectorial de las soluciones.

En el caso común en el que los coeficientes de la ecuación son reales, generalmente es más conveniente tener una base de soluciones que consista en funciones con valores reales . Tal base se puede obtener a partir de la base anterior observando que, si a + ib es una raíz del polinomio característico, entonces a – ib también es una raíz de la misma multiplicidad. Así, se obtiene una base real utilizando la fórmula de Euler y reemplazando y por y . ${\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$ ${\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$ ${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)}$ ${\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}$

Caso de segundo orden

Se puede escribir una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$${\displaystyle y''+ay'+by=0,}$$

$${\displaystyle r^{2}+ar+b.}$$

Si a y b son reales , existen tres casos para las soluciones, dependiendo del discriminante D = a ² − 4 b . En los tres casos, la solución general depende de dos constantes arbitrarias c ₁ y c ₂ .

• Si D > 0 , el polinomio característico tiene dos raíces reales distintas α y β . En este caso, la solución general es
  $${\displaystyle c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.}$$
• Si D = 0 , el polinomio característico tiene doble raíz − a /2 y la solución general es
  $${\displaystyle (c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.}$$
• Si D < 0 , el polinomio característico tiene dos raíces conjugadas complejas α ± βi , y la solución general es
  $${\displaystyle c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},}$$
  que puede reescribirse en términos reales, utilizando la fórmula de Euler como
  $${\displaystyle e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).}$$

Al encontrar la solución y ( x ) que satisface y (0) = d ₁ e y ′(0) = d ₂ , se equiparan los valores de la solución general anterior en 0 y su derivada allí con d ₁ y d ₂ , respectivamente. Esto da como resultado un sistema lineal de dos ecuaciones lineales con las dos incógnitas c ₁ y c ₂ . La resolución de este sistema da la solución al llamado problema de Cauchy , en el que se especifican los valores en 0 para la solución del DEQ y su derivada.

Ecuación no homogénea con coeficientes constantes.

Se puede escribir una ecuación no homogénea de orden n con coeficientes constantes.

$${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$$

a ₁ , ..., an _sonfxy( x )

Existen varios métodos para resolver dicha ecuación. El mejor método depende de la naturaleza de la función f que hace que la ecuación no sea homogénea. Si f es una combinación lineal de funciones exponenciales y sinusoidales, entonces se puede utilizar la fórmula de respuesta exponencial . Si, de manera más general, f es una combinación lineal de funciones de la forma x ⁿ e ^ax , x ⁿ cos( ax ) y x ⁿ sin( ax ) , donde n es un entero no negativo y a es una constante (que no necesita ser el mismo en cada término), entonces se podrá utilizar el método de coeficientes indeterminados . Aún más general, el método del aniquilador se aplica cuando f satisface una ecuación diferencial lineal homogénea, típicamente, una función holonómica .

El método más general es la variación de constantes , que se presenta aquí.

La solución general de la ecuación homogénea asociada.

$${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$$

$${\displaystyle y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},}$$

( y ₁ , ..., y _n )u ₁ , ..., u _nu ₁ , ..., u _ny

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}}$$

regla del productoinducción

$${\displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}$$

i = 1, ..., n – 1

$${\displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

Reemplazando en la ecuación original y y sus derivadas por estas expresiones, y usando el hecho de que y ₁ , ..., y _n son soluciones de la ecuación homogénea original, se obtiene

$${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

Esta ecuación y las anteriores con 0 como lado izquierdo forman un sistema de n ecuaciones lineales en u ′ ₁ , ..., u ′ _n cuyos coeficientes son funciones conocidas ( f , y _i , y sus derivadas). Este sistema se puede resolver mediante cualquier método de álgebra lineal . El cálculo de antiderivadas da u ₁ , ..., u _n , y luego y = u ₁ y ₁ + ⋯ + u _n y _n .

Como las primitivas se definen hasta la suma de una constante, se encuentra nuevamente que la solución general de la ecuación no homogénea es la suma de una solución arbitraria y la solución general de la ecuación homogénea asociada.

Ecuación de primer orden con coeficientes variables.

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden 1, después de dividir el coeficiente de y ′( x ) , es:

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$

Si la ecuación es homogénea, es decir, g ( x ) = 0 , se puede reescribir e integrar:

$${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,}$$

kde integraciónantiderivadaf ${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$

$${\displaystyle y=ce^{F},}$$

c = e ^k

Para la ecuación general no homogénea, es útil multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco e ^{− F} de una solución de la ecuación homogénea. ^[2] Esto da

$${\displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}$$

regla del producto ${\displaystyle -fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.}$$

$${\displaystyle y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,}$$

cFf

Ejemplo

Resolviendo la ecuación

$${\displaystyle y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.}$$

${\displaystyle y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0}$

$${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},}$$

$${\displaystyle y={\frac {c}{x}}.}$$

Dividiendo la ecuación original por una de estas soluciones se obtiene

$${\displaystyle xy'+y=3x^{2}.}$$

$${\displaystyle (xy)'=3x^{2},}$$

$${\displaystyle xy=x^{3}+c,}$$

$${\displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.}$$

$${\displaystyle y(1)=\alpha ,}$$

$${\displaystyle y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.}$$

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales consta de varias ecuaciones diferenciales lineales que involucran varias funciones desconocidas. En general, se restringe el estudio a sistemas tales que el número de funciones desconocidas es igual al número de ecuaciones.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal arbitraria y un sistema de tales ecuaciones se pueden convertir en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden agregando variables para todas las derivadas excepto las de orden más alto. Es decir, si aparecen en una ecuación, se pueden reemplazar por nuevas funciones desconocidas que deben satisfacer las ecuaciones y para i = 1, ..., k – 1 . ${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(k)}}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ ${\displaystyle y'=y_{1}}$ ${\displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$

Un sistema lineal de primer orden, que tiene n funciones desconocidas yn ecuaciones diferenciales, normalmente puede resolverse para las derivadas de las funciones desconocidas. Si no es así, este es un sistema algebraico diferencial y esta es una teoría diferente. Por lo tanto, los sistemas que aquí se consideran tienen la forma

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$$

x( x ) ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{i,j}}$

$${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .}$$

El método de resolución es similar al de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, pero con complicaciones derivadas de la no conmutatividad de la multiplicación de matrices.

Dejar

$${\displaystyle \mathbf {u} '=A\mathbf {u} .}$$

espacio vectorialnmatriz cuadradadeterminanten = 1AAantiderivadaigualexponencialB. ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \textstyle B=\int Adx}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).}$$

método numéricola expansión de Magnus

Conociendo la matriz U , la solución general de la ecuación no homogénea es

$${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,}$$

constante arbitraria de integración ${\displaystyle \mathbf {y_{0}} }$

Si las condiciones iniciales se dan como

$${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.}$$

Orden superior con coeficientes variables.

Una ecuación lineal ordinaria de orden uno con coeficientes variables se puede resolver mediante cuadratura , lo que significa que las soluciones se pueden expresar en términos de integrales . Este no es el caso para el pedido de al menos dos. Este es el principal resultado de la teoría de Picard-Vessiot que fue iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot , y cuyos desarrollos recientes se denominan teoría diferencial de Galois .

La imposibilidad de resolver por cuadratura se puede comparar con el teorema de Abel-Ruffini , que establece que una ecuación algebraica de grado al menos cinco no puede, en general, resolverse mediante radicales. Esta analogía se extiende a los métodos de prueba y motiva la denominación de teoría diferencial de Galois .

De manera similar al caso algebraico, la teoría permite decidir qué ecuaciones se pueden resolver mediante cuadratura y, si es posible, resolverlas. Sin embargo, para ambas teorías, los cálculos necesarios son extremadamente difíciles, incluso con las computadoras más potentes.

Sin embargo, el caso de orden dos con coeficientes racionales ha sido completamente resuelto por el algoritmo de Kovacic .

Ecuación de Cauchy-Euler

Las ecuaciones de Cauchy-Euler son ejemplos de ecuaciones de cualquier orden, con coeficientes variables, que pueden resolverse explícitamente. Estas son las ecuaciones de la forma

$${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,}$$

${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n-1}}$

Funciones holonómicas

Una función holonómica , también llamada función D-finita , es una función que es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinomiales.

La mayoría de las funciones que se consideran comúnmente en matemáticas son holonómicas o cocientes de funciones holonómicas. De hecho, las funciones holonómicas incluyen polinomios , funciones algebraicas , logaritmo , función exponencial , seno , coseno , seno hiperbólico , coseno hiperbólico , funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas , y muchas funciones especiales como las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas .

Las funciones holonómicas tienen varias propiedades de cierre ; en particular, las sumas, productos, derivadas e integrales de funciones holonómicas son holonómicas. Además, estas propiedades de cierre son efectivas, en el sentido de que existen algoritmos para calcular la ecuación diferencial del resultado de cualquiera de estas operaciones, conociendo las ecuaciones diferenciales de la entrada. ^[3]

La utilidad del concepto de funciones holonómicas resulta del teorema de Zeilberger que sigue. ^[3]

Una secuencia holonómica es una secuencia de números que puede generarse mediante una relación de recurrencia con coeficientes polinomiales. Los coeficientes de la serie de Taylor en un punto de una función holonómica forman una secuencia holonómica. Por el contrario, si la secuencia de los coeficientes de una serie de potencias es holonómica, entonces la serie define una función holonómica (incluso si el radio de convergencia es cero). Existen algoritmos eficientes para ambas conversiones, es decir, para calcular la relación de recurrencia a partir de la ecuación diferencial, y viceversa . ^[3]

De ello se deduce que, si uno representa (en una computadora) funciones holonómicas mediante sus ecuaciones diferenciales definitorias y condiciones iniciales, la mayoría de las operaciones de cálculo se pueden realizar automáticamente en estas funciones, como la derivada , la integral indefinida y definida , el cálculo rápido de la serie de Taylor (gracias de la relación de recurrencia en sus coeficientes), evaluación con alta precisión con límite certificado del error de aproximación, límites , localización de singularidades , comportamiento asintótico en singularidades infinitas y cercanas, prueba de identidades, etc. ^[4]

Ver también

• Hipoteca de amortización continua
• Transformada de Fourier
• transformada de Laplace
• Ecuación en diferencias lineales
• Variación de parámetros

Referencias

1. Gershenfeld 1999, pág.9
2. Motivación: En analogía con la técnica del cuadrado , escribimos la ecuación como y ′ − fy = g e intentamos modificar el lado izquierdo para que se convierta en una derivada. Específicamente, buscamos un "factor integrador" h = h ( x ) tal que al multiplicarlo haga que el lado izquierdo sea igual a la derivada de hy , es decir, hy ′ − hfy = ( hy )′ . Esto significa h ′ = − f , de modo que h = e ^{−∫ f dx} = e ^{− F} , como en el texto.
3. , Doron. "Un enfoque de sistemas holonómicos para identidades de funciones especiales ". Revista de matemáticas computacionales y aplicadas. 32.3 (1990): 321-368
4. Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M. y Salvy, B. (septiembre de 2010). El diccionario dinámico de funciones matemáticas (DDMF) . En Congreso Internacional sobre Software Matemático (págs. 35-41). Springer, Berlín, Heidelberg.

• Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Gershenfeld, Neil (1999), La naturaleza del modelado matemático , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Robinson, James C. (2004), Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

enlaces externos

• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• Diccionario dinámico de funciones matemáticas. Estudio automático e interactivo de muchas funciones holonómicas.