función algebraica

función matemática

En matemáticas , una función algebraica es una función que puede definirse como la raíz de una ecuación polinómica irreducible . Las funciones algebraicas suelen ser expresiones algebraicas que utilizan un número finito de términos, e involucran únicamente las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia fraccionaria. Ejemplos de tales funciones son:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Algunas funciones algebraicas, sin embargo, no pueden expresarse mediante expresiones finitas (este es el teorema de Abel-Ruffini ). Este es el caso, por ejemplo, del radical Bring , que es la función implícitamente definida por

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

En términos más precisos, una función algebraica de grado n en una variable x es una función que es continua en su dominio y satisface una ecuación polinómica de grado positivo ${\displaystyle y=f(x),}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

donde los coeficientes a _i ( x ) son funciones polinómicas de x , con coeficientes enteros. Se puede demostrar que se obtiene la misma clase de funciones si se aceptan números algebraicos para los coeficientes de a _i ( x ) . Si aparecen números trascendentales en los coeficientes, la función, en general, no es algebraica, pero lo es sobre el campo generado por estos coeficientes.

El valor de una función algebraica en un número racional y, más generalmente, en un número algebraico es siempre un número algebraico. A veces se consideran coeficientes que son polinomiales sobre un anillo R , y entonces se habla de "funciones algebraicas sobre R ". ${\displaystyle a_{i}(x)}$

Una función que no es algebraica se llama función trascendental , como es por ejemplo el caso de . Una composición de funciones trascendentales puede dar una función algebraica: . ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$ ${\displaystyle f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Como una ecuación polinómica de grado n tiene hasta n raíces (y exactamente n raíces sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , como los números complejos ), una ecuación polinómica no define implícitamente una sola función, sino hasta n funciones, a veces también llamadas sucursales . Consideremos, por ejemplo, la ecuación del círculo unitario : esto determina y , excepto sólo hasta un signo general; en consecuencia, tiene dos ramas: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Una función algebraica en m variables se define de manera similar como una función que resuelve una ecuación polinómica en m  + 1 variables: ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

Normalmente se supone que p debería ser un polinomio irreducible . La existencia de una función algebraica está entonces garantizada por el teorema de la función implícita .

Formalmente, una función algebraica en m variables sobre el campo K es un elemento de la clausura algebraica del campo de funciones racionales K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Funciones algebraicas en una variable.

Intruducción y resumen general

La definición informal de una función algebraica proporciona varias pistas sobre sus propiedades. Para obtener una comprensión intuitiva, puede resultar útil considerar las funciones algebraicas como funciones que pueden formarse mediante las operaciones algebraicas habituales : suma , multiplicación , división y extracción de una raíz enésima . Esto es una especie de simplificación excesiva; Debido al teorema fundamental de la teoría de Galois , las funciones algebraicas no necesitan ser expresables mediante radicales.

Primero, tenga en cuenta que cualquier función polinómica es una función algebraica, ya que es simplemente la solución y de la ecuación ${\displaystyle y=p(x)}$

${\displaystyle y-p(x)=0.\,}$

De manera más general, cualquier función racional es algebraica, siendo la solución de ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0.}$

Además, la n- ésima raíz de cualquier polinomio es una función algebraica, resolviendo la ecuación ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Sorprendentemente, la función inversa de una función algebraica es una función algebraica. Para suponer que y es una solución a

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

para cada valor de x , entonces x también es una solución de esta ecuación para cada valor de y . De hecho, intercambiando los roles de x e y y reuniendo términos,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

Escribir x como función de y da la función inversa, también una función algebraica.

Sin embargo, no todas las funciones tienen una inversa. Por ejemplo, y  =  x ² no pasa la prueba de la línea horizontal : no logra ser uno a uno . Lo inverso es la "función" algebraica . Otra forma de entender esto es que el conjunto de ramas de la ecuación polinómica que define nuestra función algebraica es la gráfica de una curva algebraica . ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

El papel de los números complejos

Desde una perspectiva algebraica, los números complejos entran de forma bastante natural en el estudio de funciones algebraicas. En primer lugar, según el teorema fundamental del álgebra , los números complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado . Por lo tanto, se garantiza que cualquier relación polinómica p ( y ,  x ) = 0 tendrá al menos una solución (y en general un número de soluciones que no excedan el grado de p en y ) para y en cada punto x , siempre que permitamos que y suponga valores complejos y reales . Por tanto, los problemas relacionados con el dominio de una función algebraica se pueden minimizar con seguridad.

Una gráfica de tres ramas de la función algebraica y , donde y ³  −  xy  + 1 = 0, sobre el dominio 3/2 ^2/3 < x < 50.

Además, incluso si uno está interesado en última instancia en funciones algebraicas reales, puede que no haya forma de expresar la función en términos de suma, multiplicación, división y extracción de raíces enésimas sin recurrir a números complejos (ver casus irreducibilis ). Por ejemplo, considere la función algebraica determinada por la ecuación

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Usando la fórmula cúbica , obtenemos

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

Porque la raíz cuadrada es real y, por tanto, la raíz cúbica está bien definida, proporcionando la raíz real única. Por otro lado, para la raíz cuadrada no es real, y hay que elegir, para la raíz cuadrada, cualquiera de las dos raíces cuadradas no reales. Por tanto, la raíz cúbica debe elegirse entre tres números no reales. Si se realizan las mismas elecciones en los dos términos de la fórmula, las tres elecciones para la raíz cúbica proporcionan las tres ramas que se muestran en la imagen adjunta. ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$ ${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

Se puede demostrar que no hay manera de expresar esta función en términos de raíces enésimas usando números reales únicamente, aunque la función resultante tenga un valor real en el dominio del gráfico mostrado.

En un nivel teórico más significativo, el uso de números complejos permite utilizar poderosas técnicas de análisis complejo para analizar funciones algebraicas. En particular, el principio del argumento se puede utilizar para demostrar que cualquier función algebraica es de hecho una función analítica , al menos en el sentido de valores múltiples.

Formalmente, sea p ( x ,  y ) un polinomio complejo en las variables complejas x e y . Supongamos que x ₀  ∈  C es tal que el polinomio p ( x ₀ ,  y ) de y tiene n ceros distintos. Demostraremos que la función algebraica es analítica en una vecindad de x ₀ . Elija un sistema de n discos no superpuestos Δ _i que contengan cada uno de estos ceros. Entonces por el principio del argumento

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

Por continuidad, esto también es válido para todo x en una vecindad de x ₀ . En particular, p ( x ,  y ) tiene sólo una raíz en Δ _i , dada por el teorema del residuo :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

que es una función analítica.

Monodromía

Tenga en cuenta que la prueba de analiticidad anterior derivó una expresión para un sistema de n elementos funcionales diferentes f _i ( x ), siempre que x no sea un punto crítico de p ( x ,  y ). Un punto crítico es un punto donde el número de ceros distintos es menor que el grado de p , y esto ocurre sólo cuando el término de mayor grado de p o el discriminante desaparecen. _{Por lo tanto ,} sólo hay un número finito de puntos c ₁ , ...,  cm .

Se puede utilizar un análisis detallado de las propiedades de los elementos funcionales fi _cerca de los puntos críticos para mostrar que la cobertura de monodromía se ramifica sobre los puntos críticos (y posiblemente el punto en el infinito ). Así, la extensión holomorfa de fi tiene, en el peor de los casos, polos algebraicos y ramificaciones algebraicas ordinarias sobre los puntos críticos _.

Tenga en cuenta que, lejos de los puntos críticos, tenemos

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

ya que los f _i son por definición los ceros distintos de p . El grupo de monodromía actúa permutando los factores y así forma la representación de monodromía del grupo de Galois de p . (La acción de la monodromía sobre el espacio de cobertura universal está relacionada pero es una noción diferente en la teoría de las superficies de Riemann ).

Historia

Las ideas que rodean las funciones algebraicas se remontan al menos a René Descartes . La primera discusión sobre funciones algebraicas parece haber sido en Un ensayo sobre los principios del conocimiento humano de Edward Waring de 1794 , en el que escribe:

sea ​​una cantidad que denota la ordenada, una función algebraica de la abscisa x , por los métodos comunes de división y extracción de raíces, redúzcala a una serie infinita ascendente o descendente según las dimensiones de x , y luego encuentre la integral de cada una de los términos resultantes.

Ver también

• Expresión algebraica
• Función analítica
• Función compleja
• Función elemental
• Función (matemáticas)
• Función generalizada
• Lista de funciones especiales y epónimos.
• Lista de tipos de funciones.
• Polinomio
• Función racional
• Funciones especiales
• Función trascendental

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw-Hill.
• van der Waerden, BL (1931). Álgebra moderna, volumen II . Saltador.

enlaces externos

• Definición de "función algebraica" en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función algebraica". MundoMatemático .
• Función algebraica en PlanetMath .
• Definición de "función algebraica" Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine en la Enciclopedia de ciencia de Internet de David J. Darling.