Teorema de monodromía

oración matemática

Ilustración de la continuación analítica a lo largo de una curva (solo se muestra un número finito de discos ). ${\displaystyle U_{t}}$

Continuación analítica a lo largo de una curva del logaritmo natural (sólo se muestra la parte imaginaria del logaritmo).

En análisis complejo , el teorema de la monodromía es un resultado importante sobre la continuación analítica de una función analítica compleja a un conjunto más grande. La idea es que se puede extender una función analítica compleja (de aquí en adelante llamada simplemente función analítica ) a lo largo de curvas que comienzan en el dominio original de la función y terminan en el conjunto más grande. Un problema potencial de esta continuación analítica a lo largo de una estrategia de curvas es que normalmente hay muchas curvas que terminan en el mismo punto en el conjunto más grande. El teorema de la monodromía proporciona condiciones suficientes para que la continuación analítica dé el mismo valor en un punto dado, independientemente de la curva utilizada para llegar allí, de modo que la función analítica extendida resultante esté bien definida y tenga un solo valor.

Antes de enunciar este teorema es necesario definir la continuación analítica a lo largo de una curva y estudiar sus propiedades.

Continuación analítica a lo largo de una curva.

La definición de continuación analítica a lo largo de una curva es un poco técnica, pero la idea básica es que se comienza con una función analítica definida alrededor de un punto y se extiende esa función a lo largo de una curva mediante funciones analíticas definidas en pequeños discos superpuestos que cubren esa curva.

Formalmente, considere una curva (una función continua ). Sea una función analítica definida en un disco abierto centrado en Una continuación analítica del par a lo largo es una colección de pares tal que ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \gamma (0).}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

• ${\displaystyle f_{0}=f}$y ${\displaystyle U_{0}=U.}$

• Cada uno es un disco abierto centrado en y es una función analítica. ${\displaystyle t\in [0,1],U_{t}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C} }$

• Para cada existe tal que para todos con uno tiene eso (lo que implica que y tiene una intersección no vacía ) y las funciones y coinciden en la intersección ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t'\in [0,1]}$ ${\displaystyle |t-t'|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \gamma (t')\in U_{t}}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle U_{t'}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle f_{t'}}$ ${\displaystyle U_{t}\cap U_{t'}.}$

Propiedades de la continuación analítica a lo largo de una curva.

La continuación analítica a lo largo de una curva es esencialmente única, en el sentido de que dadas dos continuaciones analíticas y de a lo largo de las funciones y coinciden en Informalmente, esto dice que dos continuaciones analíticas cualesquiera de a lo largo terminarán con los mismos valores en una vecindad de ${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$ ${\displaystyle (g_{t},V_{t})}$ ${\displaystyle (0\leq t\leq 1)}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap V_{1}.}$ ${\displaystyle (f,U)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (1).}$

Si la curva es cerrada (es decir, ), no es necesario que tenga igual en una vecindad de Por ejemplo, si se comienza en un punto con y el logaritmo complejo definido en una vecindad de este punto, y se deja ser el círculo de radio centrado en el origen (viajado en sentido antihorario desde ), luego, al hacer una continuación analítica a lo largo de esta curva, se terminará con un valor del logaritmo en el que es más el valor original (ver la segunda ilustración a la derecha). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \gamma (0).}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

Teorema de monodromía

La homotopía con puntos endógenos fijos es necesaria para que se cumpla el teorema de la monodromía.

Como se señaló anteriormente, dos continuaciones analíticas a lo largo de la misma curva producen el mismo resultado en el punto final de la curva. Sin embargo, dadas dos curvas diferentes que se ramifican desde el mismo punto alrededor del cual se define una función analítica, con las curvas reconectándose al final, no es cierto en general que las continuaciones analíticas de esa función a lo largo de las dos curvas producirán el mismo valor. en su punto final común.

En efecto, se puede considerar, como en el apartado anterior, el logaritmo complejo definido en la vecindad de un punto y el círculo centrado en el origen y el radio. Luego, es posible viajar desde a de dos maneras, en sentido contrario a las agujas del reloj, en la mitad superior. -Arco plano de este círculo, y en el sentido de las agujas del reloj, en el arco del semiplano inferior. Los valores del logaritmo a obtenidos por continuación analítica a lo largo de estos dos arcos diferirán por ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Sin embargo, si uno puede deformar continuamente una de las curvas en otra manteniendo fijos los puntos inicial y final, y es posible la continuación analítica en cada una de las curvas intermedias, entonces las continuaciones analíticas a lo largo de las dos curvas producirán los mismos resultados en su punto final común. Esto se llama teorema de la monodromía y su enunciado se detalla a continuación.

Sea un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto y sea una función analítica compleja. Sea otro punto en el plano complejo. Si existe una familia de curvas tales que y para todas la función es continua, y para cada una es posible hacer una continuación analítica de a lo largo , entonces las continuaciones analíticas de a lo largo y producirán los mismos valores en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma _{s}(0)=P}$ ${\displaystyle \gamma _{s}(1)=Q}$ ${\displaystyle s\in [0,1],}$ ${\displaystyle (s,t)\in [0,1]\times [0,1]\to \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{s},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle Q.}$

El teorema de la monodromía permite extender una función analítica a un conjunto más grande mediante curvas que conectan un punto en el dominio original de la función con puntos del conjunto más grande. El teorema a continuación establece que también se llama teorema de monodromía.

Sea un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto y sea una función analítica compleja. Si es un conjunto abierto simplemente conexo que contiene y es posible realizar una continuación analítica de en cualquier curva contenida que comience en entonces admite una continuación analítica directa, lo que significa que existe una función analítica compleja cuya restricción a es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle g:W\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f.}$

Ver también

• Continuación analítica
• Monodromía

Referencias

• Krantz, Steven G. (1999). Manual de variables complejas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
• Jones, Gareth A.; Cantante, David (1987). Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-31366-X.

• Triebel, Hans (1986). Análisis y física matemática, ed. inglesa . Pub D. Reidel. ISBN del condado 90-277-2077-0.

enlaces externos

• Teorema de monodromía en MathWorld
• Teorema de monodromía en PlanetMath .
• Teorema de monodromía en la Enciclopedia de Matemáticas