función de Bessel

Familias de soluciones a ecuaciones diferenciales relacionadas.

Las funciones de Bessel describen la parte radial de las vibraciones de una membrana circular .

Las funciones de Bessel , definidas primero por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}$$

número complejoordenfunciones suaves ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Los casos más importantes son cuando es un número entero o medio entero . Las funciones de Bessel para números enteros también se conocen como funciones cilíndricas o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas . Las funciones esféricas de Bessel con semientero se obtienen al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Aplicaciones de las funciones de Bessel

La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y a la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( α = n ); en problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros ( α = n +1/2). Por ejemplo:

• Ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica.
• Amplitudes de presión de flujos rotacionales no viscosos.
• Conducción de calor en un objeto cilíndrico.
• Modos de vibración de una delgada membrana acústica circular o anular (como un parche de tambor u otro membranófono ) o placas más gruesas como una lámina de metal (ver teoría de placas de Kirchhoff-Love , teoría de placas de Mindlin-Reissner )
• Problemas de difusión en una red.
• Soluciones a la ecuación radial de Schrödinger (en coordenadas esféricas y cilíndricas) para una partícula libre
• Representación espacial de posiciones del propagador de Feynman en la teoría cuántica de campos.
• Resolviendo patrones de radiación acústica.
• Fricción dependiente de la frecuencia en tuberías circulares.
• Dinámica de cuerpos flotantes.
• resolución angular
• Difracción de objetos helicoidales, incluido el ADN.
• Función de densidad de probabilidad del producto de dos variables aleatorias distribuidas normalmente ^[1]
• Análisis de las ondas superficiales generadas por microtemblores, en geofísica y sismología .

Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, como el procesamiento de señales (p. ej., ver Síntesis de audio FM , Ventana de Kaiser o Filtro de Bessel ).

Definiciones

Como se trata de una ecuación diferencial lineal, las soluciones se pueden escalar a cualquier amplitud. Las amplitudes elegidas para las funciones se originan en los primeros trabajos en los que las funciones aparecían como soluciones a integrales definidas en lugar de soluciones a ecuaciones diferenciales. Como la ecuación diferencial es de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, son convenientes diversas formulaciones de estas soluciones. Las diferentes variaciones se resumen en la siguiente tabla y se describen en las siguientes secciones.

Las funciones de Bessel de segundo tipo y las funciones esféricas de Bessel de segundo tipo a veces se denotan por N _n y n _n , respectivamente, en lugar de Y _n e y _n . ^{[2] [3]}

Funciones de Bessel de primer tipo: J α

Gráfica de la función de Bessel de primer tipo J _n ( z ) con n = 0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Gráfica de la función de Bessel de primer tipo, J _α ( x ) , para órdenes de números enteros α = 0, 1, 2

Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas como J _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entera o positiva  , las funciones de Bessel del primer tipo son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero  , las funciones de Bessel del primer tipo divergen cuando x se aproxima a cero. Es posible definir la función por tiempos de una serie de Maclaurin (tenga en cuenta que α no necesita ser un número entero y no se permiten potencias no enteras en una serie de Taylor), que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: ^{[ 4]} ${\displaystyle x^{\alpha }}$

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$

Γ( z )función gammafactorialfunción enteraαfunción multivaluadax− J ₁ ( x )J ₀ ( x )−sin xcos xJ _n ( x )J _{n ± 1} ( x ) ${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

Para α no entero , las funciones J _α ( x ) y J _{− α} ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para orden de enteros n , la siguiente relación es válida (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los enteros no positivos): ^[5]

$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, se encuentra que la segunda solución linealmente independiente es la función de Bessel del segundo tipo, como se analiza a continuación.

Integrales de Bessel

Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible utilizando una representación integral: ^[6]

$${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau ,}$$

^[7]

Este fue el enfoque que utilizó Bessel, ^[8] y de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re( x ) > 0 : ^{[6] [9] [10] [11] [12]}

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

Relación con las series hipergeométricas

Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la serie hipergeométrica generalizada como ^[13]

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Esta expresión está relacionada con el desarrollo de las funciones de Bessel en términos de la función Bessel-Clifford .

Relación con los polinomios de Laguerre

En términos de los polinomios de Laguerre L _k y el parámetro t elegido arbitrariamente , la función de Bessel se puede expresar como ^[14]

$${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Funciones de Bessel de segundo tipo: Y α

Gráfica de la función de Bessel de segundo tipo Y _n ( z ) con n = 0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Las funciones de Bessel del segundo tipo, denotadas por Y _α ( x ) , ocasionalmente denotadas en su lugar por N _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que tienen una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivaluadas . A veces se les llama funciones de Weber , ya que fueron introducidas por HM Weber  (1873), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann . ^[15]

Para α no entero , Y _α ( x ) está relacionado con J _α ( x ) por

$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

En el caso de orden entero n , la función se define tomando el límite como un número no entero α que tiende a n :

$${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Si n es un entero no negativo, tenemos la serie ^[16]

$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$

Gráfica de la función de Bessel de segundo tipo, Y _α ( x ) , para órdenes de números enteros α = 0, 1, 2

donde está la función digamma , la derivada logarítmica de la función gamma . ^[17] ${\displaystyle \psi (z)}$

También existe una fórmula integral correspondiente (para Re( x ) > 0 ): ^[18]

$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

En el caso donde n = 0 ,

$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(e+\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) es necesaria como segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un número entero. Pero Y _α ( x ) tiene más significado que eso. Puede considerarse como un socio "natural" de J _α ( x ) . Consulte también la subsección sobre funciones de Hankel a continuación.

Además, cuando α es un número entero, como ocurría igualmente con las funciones del primer tipo, es válida la siguiente relación:

$${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

Tanto J _α ( x ) como Y _α ( x ) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un número entero, las funciones de Bessel J son funciones completas de x . Si x se mantiene fijo en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones completas de α .

Las funciones de Bessel de segundo tipo cuando α es un número entero son un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .

Funciones de Hankel: H(1) α, h(2) α

Gráfica de la función de Hankel de primer tipo H⁽¹⁾
_norte( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Gráfico de la función de Hankel de segundo tipo H.⁽²⁾
_norte( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H⁽¹⁾
_α( x ) y H⁽²⁾
_α( x ) , definido como ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel de tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Llevan el nombre de Hermann Hankel .

Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa la aparición de un factor de la forma e ^{if ( x )} . Para reales donde , tienen valores reales, las funciones de Bessel de primer y segundo tipo son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( x ) , H⁽²⁾
_α( x ) para y , para , , como se muestra explícitamente en la expansión asintótica. ${\displaystyle e^{\pm ix}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$

Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).

Usando las relaciones anteriores, se pueden expresar como

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, sea α un número entero o no: ^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

En particular, si α = m +1/2siendo m un entero no negativo, las relaciones anteriores implican directamente que

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Estos son útiles para desarrollar las funciones esféricas de Bessel (ver más abajo).

Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re( x ) > 0 : ^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

contorno−∞± π i± π i+∞ ± π i^[18]

Funciones de Bessel modificadas: I α , K α

Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (u ocasionalmente funciones de Bessel hiperbólicas ) de primer y segundo tipo y se definen como ^[22]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

ααxI _α ( x )J _α ( x )(−1) ^{m .}

${\displaystyle K_{\alpha }}$se puede expresar en términos de funciones de Hankel:

$${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Usando estas dos fórmulas, el resultado de + , comúnmente conocido como integral de Nicholson o fórmula de Nicholson, se puede obtener para dar lo siguiente ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}$

$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

dado que se cumple la condición Re( x ) > 0 . También se puede demostrar que

$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$

sólo cuando | Re(α) | <1/2y Re(x) ≥ 0 pero no cuando x = 0 . ^[23]

Podemos expresar la primera y segunda funciones de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (éstas son válidas si − π < arg z ≤π/2): ^[24]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) y K _α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada : ^[25]

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I _α y K _α son funciones que crecen y decaen exponencialmente, respectivamente. Al igual que la función de Bessel ordinaria J _α , la función I _α tiende a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0 . De manera análoga, K _α diverge en x = 0 siendo la singularidad de tipo logarítmico para K ₀ , y1/2Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |} de lo contrario. ^[26]

Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re( x ) > 0 ): ^[27]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel se pueden describir como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo (para Re(ω) > 0 ):

$${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Se puede probar mostrando la igualdad con la definición integral anterior para K ₀ . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.

Las funciones de Bessel modificadas K _1/3 y K _2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes ^[28]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

La función de Bessel modificada es útil para representar la distribución de Laplace como una mezcla de distribuciones normales en escala exponencial. ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

La función de Bessel modificada del segundo tipo también ha recibido los siguientes nombres (ahora raros):

• Función Basset después de Alfred Barnard Basset
• Función de Bessel modificada de tercer tipo
• Función de Hankel modificada ^[29]
• Función de Macdonald después de Héctor Munro Macdonald

Funciones esféricas de Bessel: j n , y n

Gráfica de la función esférica de Bessel de primer tipo j _n ( z ) con n = 0.5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Gráfica de la función esférica de Bessel de segundo tipo y _n ( z ) con n = 0.5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Funciones esféricas de Bessel de primer tipo, j _n ( x ) , para n = 0, 1, 2

Funciones esféricas de Bessel de segundo tipo, y _n ( x ) , para n = 0, 1, 2

Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel j _n e y _n , y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias J _n e Y _n por ^[30]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n también se denota n _n o η _n ; algunos autores llaman a estas funciones funciones esféricas de Neumann .

De las relaciones con las funciones ordinarias de Bessel se ve directamente que:

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$

Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como (Fórmulas de Rayleigh )^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

La función esférica cero de Bessel j ₀ ( x ) también se conoce como función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones esféricas de Bessel son: ^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$

^[33]

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

función generadora

Las funciones esféricas de Bessel tienen las funciones generadoras ^[34]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

Relaciones diferenciales

A continuación, f _n es cualquiera de j _n , y _n , h⁽¹⁾
_norte, h⁽²⁾
_nortepara n = 0, ±1, ±2, ... ^[35]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Funciones esféricas de Hankel: h(1) norte, h(2) norte

Gráfico de la función esférica de Hankel de primer tipo h⁽¹⁾
_norte( x ) con n = -0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Gráfico de la función esférica de Hankel de segundo tipo h⁽²⁾
_norte( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

También existen análogos esféricos de las funciones de Hankel:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

De hecho, existen expresiones simples en forma cerrada para las funciones de Bessel de orden semientero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones esféricas de Bessel. En particular, para números enteros no negativos n :

$${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$

yh​⁽²⁾
_nortees el conjugado complejo de this (para x real ). Se deduce, por ejemplo, que j ₀ ( x ) =pecado x/Xy y ₀ ( x ) = −porque x/X, etcétera.

Las funciones esféricas de Hankel aparecen en problemas que involucran la propagación de ondas esféricas , por ejemplo en la expansión multipolar del campo electromagnético .

Funciones de Riccati-Bessel: S norte , C norte , ξ norte , ζ norte

Las funciones de Riccati -Bessel difieren sólo ligeramente de las funciones esféricas de Bessel:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Funciones de Riccati-Bessel Gráfica compleja de Sn desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Satisfacen la ecuación diferencial

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en la mecánica cuántica al resolver la componente radial de la ecuación de Schrödinger con una hipotética barrera de potencial infinita cilíndrica. ^[36] Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surgen en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) ^[37] para desarrollos y referencias recientes.

Siguiendo a Debye (1909), a veces se utiliza la notación ψ _n , χ _n en lugar de S _n , C _n .

Formas asintóticas

Las funciones de Bessel tienen las siguientes formas asintóticas . Para argumentos pequeños , se obtiene, cuando no es un número entero negativo: ^[4] ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Cuando α es un entero negativo, tenemos

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Para la función de Bessel de segundo tipo tenemos tres casos:

$${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

γconstante de Euler-Mascheroni

Para argumentos reales grandes z ≫ | α ² −1/4| , no se puede escribir una forma asintótica verdadera para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (a menos que α sea un medio entero ) porque tienen ceros hasta el infinito, lo que tendría que coincidir exactamente con cualquier expansión asintótica. Sin embargo, para un valor dado de arg z se puede escribir una ecuación que contenga un término de orden | z | ⁻¹ : ^[38]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Para α =1/2los últimos términos de estas fórmulas desaparecen por completo; vea las funciones esféricas de Bessel arriba).

Las formas asintóticas de las funciones de Hankel son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Estos se pueden extender a otros valores de arg z usando ecuaciones que relacionan H⁽¹⁾
_α( ze ^{im π} ) y H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) a H⁽¹⁾
_α( z ) y H⁽²⁾
_α( z ) . ^[39]

Es interesante que aunque la función de Bessel del primer tipo es el promedio de las dos funciones de Hankel, J _α ( z ) no es asintótica al promedio de estas dos formas asintóticas cuando z es negativo (porque una u otra no será correcto allí, dependiendo del arg z utilizado). Pero las formas asintóticas de las funciones de Hankel nos permiten escribir formas asintóticas de las funciones de Bessel de primer y segundo tipo para z compleja (no real) siempre que | z | va al infinito en un ángulo de fase constante arg z (usando la raíz cuadrada que tiene parte real positiva):

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Para las funciones de Bessel modificadas, Hankel también desarrolló expansiones asintóticas (argumentos grandes) : ^{[40] [41]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

También existe la forma asintótica (para reales grandes ) ^[42] ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Cuando α =1/2, todos los términos excepto el primero desaparecen, y tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Para argumentos pequeños , tenemos ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Propiedades

Para orden de números enteros α = n , J _n a menudo se define mediante una serie de Laurent para una función generadora:

$${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

PA Hansenintegración de contornos

Serie infinita de funciones de Bessel en la forma en que surgen en muchos sistemas físicos y definidas en forma cerrada por la serie Sung. ^[43] Por ejemplo, cuando N = 3: . De manera más general, la serie Sung y la serie Sung alterna se escriben como: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$ $\nu ,p,q\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$ ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$

$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$

$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

Una expansión en serie que utiliza funciones de Bessel ( serie de Kapteyn ) es

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$

Otra relación importante para el orden de los números enteros es la expansión de Jacobi-Anger :

$${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$

$${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

onda planasuma de ondas cilíndricasserie de Fourier de una señal FM

En términos más generales, una serie

$${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$

fν = 0

$${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

O _kel polinomio de Neumann^[44]

Las funciones seleccionadas admiten la representación especial

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$

$${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$

De manera más general, si f tiene un punto de bifurcación cerca del origen de tal naturaleza que

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$$

$${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$$

transformada de Laplacef^[45] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

Otra forma de definir las funciones de Bessel es la fórmula de representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$$

ν > −1/2z ∈ C^[46]transformadas de Fourier

Debido a que la ecuación de Bessel se vuelve hermitiana (autoadjunta) si se divide por x , las soluciones deben satisfacer una relación de ortogonalidad para condiciones de contorno apropiadas. En particular, se deduce que:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

α > −1δ _{m , n}delta de Kroneckeru _{α , m}mceroJ _α ( x )serie de Fourier-BesselJ _α ( x u _{α , m} )αm

Inmediatamente se sigue una relación análoga para las funciones esféricas de Bessel:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Si se define una función de vagón de x que depende de un pequeño parámetro ε como:

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)=\varepsilon \operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$$

rectfunción rectángulotransformadaα > −1/2g _ε ( k )J _α ( k )εkg _ε ( k )f _ε ( x )

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$$

εδ ( x − 1)δfunción delta de Diracdistributivo

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$$

Un cambio de variables produce entonces la ecuación de cierre : ^[47]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$$

α > −1/2^{[ se necesita aclaración ]}

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)}$$

α > −1

Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel , implica el Wronskiano de las soluciones:

$${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$$

A _αB _αC _αx

$${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$$

$${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$$

α > −1

Para α > −1 , la función par completa del género 1, x ^{− α} J _α ( x ) , tiene solo ceros reales. Dejar

$${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$$

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$$

(Existe una gran cantidad de otras integrales e identidades conocidas que no se reproducen aquí, pero que se pueden encontrar en las referencias).

Relaciones de recurrencia

Las funciones J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_αy H⁽²⁾
_αtodos satisfacen las relaciones de recurrencia ^[48]

$${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$$

$${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$$

ZJYH ⁽¹⁾H ^(2)[49]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel modificadas siguen relaciones similares:

$${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$$

$${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$$

La relación de recurrencia dice

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

C _αI _αe ^{αi π} K _α

Trascendencia

En 1929, Carl Ludwig Siegel demostró que J _ν ( x ) , J ' _ν ( x ) y la derivada logarítmica J' _ν ( x )/J _ν ( x )son números trascendentales cuando ν es racional y x es algebraico y distinto de cero. ^[50] La misma prueba también implica que K _ν ( x ) es trascendental bajo los mismos supuestos. ^[51]

Teorema de multiplicación

Las funciones de Bessel obedecen a un teorema de la multiplicación.

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$$

λν^{[52] [53]}| λ ² − 1 | < 1^52]JY. | λ ² − 1 | < 1

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}$$

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}$$

Ceros de la función de Bessel

La hipótesis de Bourget

El propio Bessel demostró originalmente que para números enteros no negativos n , la ecuación J _n ( x ) = 0 tiene un número infinito de soluciones en x . ^[54] Sin embargo , cuando las funciones J _n ( x ) se trazan en el mismo gráfico, ninguno de los ceros parece coincidir para diferentes valores de n , excepto el cero en x = 0 . Este fenómeno se conoce como hipótesis de Bourget en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. Específicamente establece que para cualquier número entero n ≥ 0 y m ≥ 1 , las funciones J _n ( x ) y J _{n + m} ( x ) no tienen ceros comunes distintos del de x = 0 . La hipótesis fue probada por Carl Ludwig Siegel en 1929. ^[55]

Trascendencia

Siegel demostró en 1929 que cuando ν es racional, todas las raíces distintas de cero de J _ν (x) y J ' _ν (x) son trascendentales , ^[56] al igual que todas las raíces de K _ν (x) . ^[51] También se sabe que todas las raíces de las derivadas superiores para n ≤ 18 son trascendentales, excepto los valores especiales y . ^[56] ${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$

Enfoques numéricos

Para estudios numéricos sobre los ceros de la función de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) y Moler (2004).

Valores numéricos

El primer cero en J ₀ (es decir, j _0,1 , j _0,2 y j _0,3 ) ocurre en argumentos de aproximadamente 2,40483, 5,52008 y 8,65373, respectivamente. ^[57]

Ver también

• función de ira
• Polinomios de Bessel
• Función de Bessel-Clifford
• Función Bessel-Maitland
• Serie de Fourier-Bessel
• Función Hahn-Exton q -Bessel
• Transformada de Hankel
• Funciones de Bessel incompletas
• Función Jackson q -Bessel
• funciones Kelvin
• Transformación de Kontorovich-Lebedev
• algoritmo de lentz
• Regla de la suma de Lerche-Newberger
• Función lommel
• polinomio de lommel
• polinomio de Neumann
• La serie de Schlömilch
• fórmula sonina
• función de struve
• Vibraciones de una membrana circular.
• Función Weber (definida en la función Anger )

Notas

1. Wilensky, Michael; Brown, Jordania; Hazelton, Bryna (junio de 2023). "Por qué y cuándo esperar distribuciones de error gaussiano en la época de reionización en mediciones del espectro de potencia de 21 cm". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi :10.1093/mnras/stad863.
2. Weisstein, Eric W. "Función de Bessel esférica del segundo tipo". MundoMatemático .
3. Weisstein, Eric W. "Función de Bessel del segundo tipo". MundoMatemático .
4. Abramowitz y Stegun, pág. 360, 9.1.10.
5. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.5.
6. Temme, Nico M. (1996). Funciones especiales: una introducción a las funciones clásicas de la física matemática (segunda edición impresa). Nueva York: Wiley. págs. 228-231. ISBN 0471113131.
7. Weisstein, Eric W. "Fórmula Hansen-Bessel". MundoMatemático .
8. Bessel, F. (1824). La integral relevante es una ecuación sin numerar entre las ecuaciones 28 y 29. Tenga en cuenta que la de Bessel hoy se escribiría . ${\displaystyle I_{k}^{h}}$ ${\displaystyle J_{h}(k)}$
9. Watson, pág. 176
10. "Propiedades de las funciones de Hankel y Bessel". Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2010 . Consultado el 18 de octubre de 2010 .
11. "Representaciones integrales de la función de Bessel". www.nbi.dk.​ Archivado desde el original el 3 de octubre de 2022 . Consultado el 25 de marzo de 2018 .
12. Arfken & Weber, ejercicio 11.1.17.
13. Abramowitz y Stegun, pag. 362, 9.1.69.
14. Szegő, Gábor (1975). Polinomios ortogonales (4ª ed.). Providencia, Rhode Island: AMS.
15. "Funciones de Bessel de primer y segundo tipo" (PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . pag. 3. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 24 de mayo de 2022 .
16. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST, (10.8.1). Consultado en línea el 25 de octubre de 2016.
17. Weisstein, Eric W. "Función de Bessel del segundo tipo". MundoMatemático .
18. Watson, pág. 178.
19. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.3, 9.1.4.
20. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.6.
21. Abramowitz y Stegun, pag. 360, 9.1.25.
22. Abramowitz y Stegun, pag. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
23. Dixon; Ferrar, WL (1930). "Una prueba directa de la integral de Nicholson". La Revista Trimestral de Matemáticas . Oxford: 236–238. doi :10.1093/qmath/os-1.1.236.
24. Abramowitz y Stegun, pag. 375, 9.6.3, 9.6.5.
25. Abramowitz y Stegun, pag. 374, 9.6.1.
26. Greiner, Walter; Reinhardt, Joaquín (2009). Electrodinámica cuántica . Saltador. pag. 72.ISBN​ 978-3-540-87561-1.
27. Watson, pág. 181.
28. Khokonov, M. Kh. (2004). "Procesos en cascada de pérdida de energía por emisión de fotones duros". Revista de Física Experimental y Teórica . 99 (4): 690–707. Código Bib : 2004JETP...99..690K. doi :10.1134/1.1826160. S2CID  122599440.. Derivado de fórmulas obtenidas de IS Gradshteyn e IM Ryzhik , Table of Integrals, Series, and Products (Fizmatgiz, Moscú, 1963; Academic Press, Nueva York, 1980).
29. Denominado como tal en: Teichroew, D. (1957). "La mezcla de distribuciones normales con diferentes varianzas" (PDF) . Los anales de la estadística matemática . 28 (2): 510–512. doi : 10.1214/aoms/1177706981 .
30. Abramowitz y Stegun, pag. 437, 10.1.1.
31. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.25, 10.1.26.
32. Abramowitz y Stegun, pag. 438, 10.1.11.
33. Abramowitz y Stegun, pag. 438, 10.1.12.
34. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.39.
35. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.23, 10.1.24.
36. Griffiths. Introducción a la Mecánica Cuántica, 2ª edición, p. 154.
37. Du, Hong (2004). "Cálculo de dispersión de Mie". Óptica Aplicada . 43 (9): 1951-1956. Código Bib : 2004ApOpt..43.1951D. doi :10.1364/ao.43.001951. PMID  15065726.
38. Abramowitz y Stegun, pag. 364, 9.2.1.
39. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST , sección 10.11.
40. Abramowitz y Stegun, pag. 377, 9.7.1.
41. Abramowitz y Stegun, pag. 378, 9.7.2.
42. Fröhlich y Spencer 1981 Apéndice B
43. Cantado, S.; Hovden, R. (2022). "Sobre series infinitas de funciones de Bessel del primer tipo". arXiv : 2211.01148 [matemáticas-ph].
44. Abramowitz y Stegun, pag. 363, 9.1.82 y sigs.
45. Watson, GN (25 de agosto de 1995). Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521483919. Consultado el 25 de marzo de 2018 a través de Google Books.
46. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "8.411.10". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
47. Arfken y Weber, sección 11.2
48. Abramowitz y Stegun, pag. 361, 9.1.27.
49. Abramowitz y Stegun, pag. 361, 9.1.30.
50. Siegel, Carl L. (2014). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Sobre algunas aplicaciones de aproximaciones diofánticas: una traducción de Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen de Carl Ludwig Siegel por Clemens Fuchs, con un comentario y el artículo Puntos integrales en curvas: el teorema de Siegel después de la prueba de Siegel por Clemens Fuchs y Umberto Zannier (en alemán). Escuela Normal Superior. págs. 81-138. doi :10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
51. James, RD (noviembre de 1950). "Reseña: Carl Ludwig Siegel, Números trascendentales". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 56 (6): 523–526. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
52. Abramowitz y Stegun, pág. 363, 9.1.74.
53. Truesdell, C. (1950). "Sobre los teoremas de la suma y la multiplicación de funciones especiales". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 1950 (12): 752–757. Código Bib : 1950PNAS...36..752T. doi : 10.1073/pnas.36.12.752 . PMC 1063284 . PMID  16578355. 
54. Bessel, F. (1824), artículo 14.
55. Watson, págs. 484–485.
56. Lorch, Lee; Muldoon, Martín E. (1995). "Trascendentalidad de ceros de derivadas superiores de funciones que involucran funciones de Bessel". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 18 (3): 551–560. doi : 10.1155/S0161171295000706 .
57. Abramowitz y Stegun, p409

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 9". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs.355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253. Véase también el capítulo 10.
• Arfken, George B. y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , sexta edición (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0 . 
• Bessel, Friedrich (1824). "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht" [Investigación de la parte de las perturbaciones planetarias que surgen del movimiento del sol]. Abhandlungen de Berlín . Reproducido en las páginas 84 a 109 de Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel. Leipzig: Engelmann. 1875.Traducción al inglés del texto.
• Bowman, Frank Introducción a las funciones de Bessel (Dover: Nueva York, 1958). ISBN 0-486-60462-4 . 
• Gil, A.; Segura, J.; Temme, Nuevo México (2007). Métodos numéricos para funciones especiales . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada.
• Kravanja, P.; Ragos, O.; Vrahatis, Minnesota; Zafiropoulos, FA (1998), "ZEBEC: un paquete de software matemático para calcular ceros simples de funciones de Bessel de orden real y argumento complejo", Computer Physics Communications , 113 (2–3): 220–238, Bibcode :1998CoPhC.113. .220K, doi :10.1016/S0010-4655(98)00064-2
• Mie, G. (1908). "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen". Annalen der Physik . 25 (3): 377. Código bibliográfico : 1908AnP...330..377M. doi : 10.1002/andp.19083300302 .
• Olver, FWJ ; Maximon, LC (2010), "Función de Bessel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248..
• Presione, WH ; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.5. Funciones de Bessel de orden entero", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 3 de febrero de 2021 , consultado el 28 de septiembre de 2022.
• B España, MG Smith, Funciones de física matemática , Van Nostrand Reinhold Company, Londres, 1970. El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel.
• NM Temme, Funciones Especiales. Introducción a las funciones clásicas de la física matemática , John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel. 
• Watson, GN , Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel, segunda edición , (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3 . 
• Weber, Heinrich (1873), "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen", Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi :10.1007/BF01443190, S2CID  122409461.

enlaces externos

• Lizorkin, PI (2001) [1994], "Funciones de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Karmazina, LN; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función del cilindro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Páginas de funciones de Wolfram sobre las funciones Bessel J e Y, y funciones Bessel I y K modificadas. Las páginas incluyen fórmulas, evaluadores de funciones y calculadoras de trazado.
• Weisstein, Eric W. "Funciones de Bessel del primer tipo". MundoMatemático .
• Funciones de Bessel Jν, Yν, Iν y Kν en el manual de funciones de Librow.
• FWJ Olver, LC Maximon, Funciones de Bessel (capítulo 10 de la Biblioteca digital de funciones matemáticas).
• Moler, CB (2004). Computación Numérica con MATLAB (PDF) . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. Archivado desde el original (PDF) el 8 de agosto de 2017.