Kirchhoff-Teoría del plato de amor

Deformación de una placa delgada resaltando el desplazamiento, la superficie media (rojo) y la normal a la superficie media (azul)

La teoría de placas de Kirchhoff-Love es un modelo matemático bidimensional que se utiliza para determinar las tensiones y deformaciones en placas delgadas sometidas a fuerzas y momentos . Esta teoría es una extensión de la teoría del haz de Euler-Bernoulli y fue desarrollada en 1888 por Love ^[1] utilizando los supuestos propuestos por Kirchhoff . La teoría supone que se puede utilizar un plano medio de la superficie para representar una placa tridimensional en forma bidimensional.

Los siguientes supuestos cinemáticos que se hacen en esta teoría: ^[2]

• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen rectas después de la deformación.
• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen normales a la mitad de la superficie después de la deformación.
• el espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Campo de desplazamiento supuesto

Sea el vector de posición de un punto de la placa no deformada . Entonces ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.}$

Los vectores forman una base cartesiana con origen en la superficie media de la placa, y son las coordenadas cartesianas en la superficie media de la placa no deformada, y son las coordenadas de la dirección del espesor. ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

Sea el desplazamiento de un punto de la placa . Entonces ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Este desplazamiento se puede descomponer en una suma vectorial del desplazamiento en la mitad de la superficie y un desplazamiento fuera del plano en la dirección. Podemos escribir el desplazamiento en el plano de la superficie media como ${\displaystyle u_{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle w^{0}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }}$

Tenga en cuenta que el índice toma los valores 1 y 2 pero no 3. ${\displaystyle \alpha }$

Entonces la hipótesis de Kirchhoff implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

Si son los ángulos de rotación de la normal a la superficie media, entonces en la teoría de Kirchhoff-Love ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}}$

Tenga en cuenta que podemos considerar la expresión como la expansión en serie de Taylor de primer orden del desplazamiento alrededor de la superficie media. ${\displaystyle u_{\alpha }}$

Desplazamiento de la superficie media (izquierda) y de una normal (derecha)

Placas cuasiestáticas de Kirchhoff-Love

La teoría original desarrollada por Love era válida para deformaciones y rotaciones infinitesimales. von Kármán amplió la teoría a situaciones en las que se podían esperar rotaciones moderadas.

Relaciones deformación-desplazamiento

Para la situación en la que las deformaciones en la placa son infinitesimales y las rotaciones de las normales de la superficie media son menores de 10°, las relaciones deformación-desplazamiento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}}$

mientras . ​ ${\displaystyle \beta =1,2}$ ${\displaystyle \alpha }$

Usando los supuestos cinemáticos tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las únicas deformaciones distintas de cero están en las direcciones dentro del plano.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio de la placa pueden derivarse del principio del trabajo virtual . Para una placa delgada bajo una carga transversal cuasiestática que apunta hacia la dirección positiva , estas ecuaciones son ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=-q\end{aligned}}}$

donde es el espesor de la placa . En notación de índice, ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}}$

¿Dónde están las tensiones ? ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Condiciones de borde

Las condiciones de frontera necesarias para resolver las ecuaciones de equilibrio de la teoría de placas se pueden obtener a partir de los términos de frontera del principio del trabajo virtual. En ausencia de fuerzas externas en la frontera, las condiciones de frontera son

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la cantidad es una fuerza cortante efectiva. ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Relaciones constitutivas

Las relaciones tensión-deformación para una placa de Kirchhoff elástica lineal están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Dado que y no aparecen en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que estas cantidades no tienen ningún efecto sobre el equilibrio del momento y se desprecian. Las relaciones tensión-deformación restantes, en forma matricial, se pueden escribir como ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$ ${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Las rigideces a la extensión son las cantidades

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Las rigideces a la flexión (también llamadas rigidez a la flexión ) son las cantidades

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Los supuestos constitutivos de Kirchhoff-Love conducen a fuerzas de corte nulas. Como resultado, las ecuaciones de equilibrio de la placa deben usarse para determinar las fuerzas cortantes en placas delgadas de Kirchhoff-Love. Para placas isotrópicas, estas ecuaciones conducen a

${\displaystyle Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.}$

Alternativamente, estas fuerzas cortantes se pueden expresar como

${\displaystyle Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.}$

Pequeñas tensiones y rotaciones moderadas.

Si las rotaciones de las normales a la superficie media están en el rango de 10 a 15 , las relaciones deformación-desplazamiento se pueden aproximar como ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}}$

Luego, los supuestos cinemáticos de la teoría de Kirchhoff-Love conducen a la teoría clásica de placas con tensiones de von Kármán.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Esta teoría es no lineal debido a los términos cuadráticos en las relaciones deformación-desplazamiento.

Si las relaciones deformación-desplazamiento toman la forma de von Karman, las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }+q&=0\end{aligned}}}$

Placas isotrópicas cuasiestáticas de Kirchhoff-Love

Para una placa isotrópica y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

donde es el coeficiente de Poisson y el módulo de Young . Los momentos correspondientes a estas tensiones son ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

En forma ampliada,

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}}$

donde para placas de espesor . Usando las relaciones tensión-deformación para las placas, podemos demostrar que las tensiones y los momentos están relacionados por ${\displaystyle D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]}$ ${\displaystyle H=2h}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.}$

En la parte superior de la placa donde se encuentran las tensiones. ${\displaystyle x_{3}=h=H/2}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.}$

Flexión pura

Para una placa isotrópica y homogénea bajo flexión pura , las ecuaciones gobernantes se reducen a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.}$

Aquí hemos supuesto que los desplazamientos en el plano no varían con y . En notación de índice, ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

y en notación directa

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

que se conoce como ecuación biarmónica . Los momentos flectores están dados por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Flexión bajo carga transversal

Si se aplica a la placa una carga transversal distribuida que apunta en dirección positiva , la ecuación gobernante es . Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado anterior obtenemos ^[3] ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}$

En coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación gobernante es

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}={\cfrac {q}{D}}}$

y en coordenadas cilíndricas toma la forma

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]={\frac {q}{D}}\,.}$

Las soluciones de esta ecuación para diversas geometrías y condiciones de contorno se pueden encontrar en el artículo sobre flexión de placas .

Doblado cilíndrico

Bajo determinadas condiciones de carga, una placa plana se puede doblar hasta adoptar la forma de la superficie de un cilindro. Este tipo de flexión se llama flexión cilíndrica y representa la situación especial en la que . En ese caso ${\displaystyle u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

y las ecuaciones gobernantes se convierten en ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}}$

Dinámica de las placas de Kirchhoff-Love.

La teoría dinámica de placas delgadas determina la propagación de ondas en las placas, y el estudio de ondas estacionarias y modos de vibración.

Ecuaciones gubernamentales

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

donde, para una placa con densidad , ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

y

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

Las soluciones de estas ecuaciones para algunos casos especiales se pueden encontrar en el artículo sobre vibraciones de placas . Las siguientes figuras muestran algunos modos de vibración de una placa circular.

• 
  modo k = 0, p = 1
• 
  modo k = 0, p = 2
• 
  modo k = 1, p = 2

Placas isotrópicas

Las ecuaciones gobernantes se simplifican considerablemente para placas isotrópicas y homogéneas para las cuales las deformaciones en el plano pueden despreciarse. En ese caso nos queda una ecuación de la siguiente forma (en coordenadas cartesianas rectangulares):

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

¿Dónde está la rigidez a la flexión de la placa? Para una placa de espesor uniforme , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

En notación directa

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}$

Para vibraciones libres, la ecuación gobernante se convierte en

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}$

Referencias

1. AEH Love, Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las capas elásticas , Trans filosófica. de la Royal Society (Londres), 1888, vol. serie A, N° 17 p. 491–549.
2. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y conchas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
3. Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., (1959), Teoría de placas y conchas , McGraw-Hill Nueva York.

Ver también

• Doblar
• Doblado de placas
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Elasticidad lineal
• Teoría de placas
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Vibración de placas