Vibración de placas

Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta

La vibración de las placas es un caso especial del problema más general de las vibraciones mecánicas . Las ecuaciones que rigen el movimiento de las placas son más simples que las de los objetos tridimensionales generales porque una de las dimensiones de una placa es mucho menor que las otras dos. Esto permite que una teoría de placas bidimensional proporcione una excelente aproximación al movimiento tridimensional real de un objeto similar a una placa. ^[1]

Existen varias teorías que se han desarrollado para describir el movimiento de las placas. Las más utilizadas son la teoría de Kirchhoff-Love ^[2] y la de Uflyand-Mindlin. ^{[3] [4]} La última teoría es analizada en detalle por Elishakoff . ^[5] Las soluciones a las ecuaciones gobernantes predichas por estas teorías pueden darnos una idea del comportamiento de los objetos similares a placas tanto en condiciones libres como forzadas . Esto incluye la propagación de ondas y el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración en las placas. El tema de las vibraciones de las placas se trata en los libros de Leissa, ^{[6] [7]} Gontkevich, ^[8] Rao, ^[9] Soedel, ^[10] Yu, ^[11] Gorman ^{[12] [13]} y Rao. ^[14]

Platos de Kirchhoff-Love

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}}$

donde son los desplazamientos en el plano de la superficie media de la placa, es el desplazamiento transversal (fuera del plano) de la superficie media de la placa, es una carga transversal aplicada que apunta hacia (hacia arriba), y las fuerzas y momentos resultantes se definen como ${\displaystyle u_{\alpha }}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}$

Nótese que el espesor de la placa es y que las resultantes se definen como promedios ponderados de las tensiones en el plano . Las derivadas en las ecuaciones que rigen se definen como ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

donde los índices latinos van de 1 a 3 mientras que los índices griegos van de 1 a 2. Se implica la suma sobre índices repetidos. Las coordenadas están fuera del plano mientras que las coordenadas y están en el plano. Para una placa de espesor uniforme y densidad de masa homogénea ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

Placas isotrópicas de Kirchhoff-Love

Para una placa isótropa y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

donde son las deformaciones en el plano y es el coeficiente de Poisson del material. Las relaciones de deformación-desplazamiento para las placas de Kirchhoff-Love son ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$

Por lo tanto, los momentos resultantes correspondientes a estas tensiones son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

Si ignoramos los desplazamientos en el plano , las ecuaciones gobernantes se reducen a ${\displaystyle u_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}$

donde es la rigidez a la flexión de la placa. Para una placa uniforme de espesor , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

La ecuación anterior también se puede escribir en una notación alternativa:

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w-{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}$

En mecánica de sólidos , una placa se modela a menudo como un cuerpo elástico bidimensional cuya energía potencial depende de cómo se dobla a partir de una configuración plana, en lugar de cómo se estira (que es el caso de una membrana como un parche de tambor). En tales situaciones, una placa vibrante se puede modelar de manera análoga a un tambor vibrante . Sin embargo, la ecuación diferencial parcial resultante para el desplazamiento vertical w de una placa desde su posición de equilibrio es de cuarto orden, involucrando el cuadrado del Laplaciano de w , en lugar de segundo orden, y su comportamiento cualitativo es fundamentalmente diferente al del tambor de membrana circular.

Vibraciones libres de placas isotrópicas

Para vibraciones libres, la fuerza externa q es cero y la ecuación gobernante de una placa isótropa se reduce a

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}$

o

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}$

Esta relación se puede derivar de una manera alternativa considerando la curvatura de la placa. ^[15] La densidad de energía potencial de una placa depende de cómo se deforma la placa, y por lo tanto de la curvatura media y la curvatura gaussiana de la placa. Para pequeñas deformaciones, la curvatura media se expresa en términos de w , el desplazamiento vertical de la placa desde el equilibrio cinético, como Δ w , el laplaciano de w , y la curvatura gaussiana es el operador Monge-Ampère w _xx w _yy − w^2xxy
_​. La energía potencial total de una placa Ω tiene por lo tanto la forma

${\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

Aparte de una constante de normalización general no esencial, donde μ es una constante que depende de las propiedades del material.

La energía cinética viene dada por una integral de la forma

${\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}$

El principio de Hamilton afirma que w es un punto estacionario con respecto a las variaciones de la energía total T + U . La ecuación diferencial parcial resultante es

${\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}$

Placas circulares

Para placas circulares que vibran libremente, , y el Laplaciano en coordenadas cilíndricas tiene la forma ${\displaystyle w=w(r,t)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}$

Por lo tanto, la ecuación que rige las vibraciones libres de una placa circular de espesor es ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Expandido hacia afuera,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Para resolver esta ecuación utilizamos la idea de separación de variables y asumimos una solución de la forma

${\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}$

Introduciendo esta solución supuesta en la ecuación gobernante obtenemos

${\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

donde es una constante y . La solución de la ecuación de la derecha es ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \beta :=2\rho h/D}$

${\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}$

La ecuación del lado izquierdo se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}$

donde . La solución general de este problema de valor propio que es apropiada para placas tiene la forma ${\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}$

${\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}$

donde es la función de Bessel de orden 0 de primera especie y es la función de Bessel modificada de orden 0 de primera especie. Las constantes y se determinan a partir de las condiciones de contorno. Para una placa de radio con una circunferencia sujeta, las condiciones de contorno son ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}$

A partir de estas condiciones de contorno encontramos que

${\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}$

Podemos resolver esta ecuación para (y hay un número infinito de raíces) y a partir de ahí encontrar las frecuencias modales . También podemos expresar el desplazamiento en la forma ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}$

${\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

Para una frecuencia dada, el primer término dentro de la suma en la ecuación anterior da la forma del modo. Podemos encontrar el valor de utilizando la condición de contorno adecuada en y los coeficientes y a partir de las condiciones iniciales aprovechando la ortogonalidad de los componentes de Fourier. ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

• 
  modo n = 1
• 
  modo n = 2

Placas rectangulares

Un modo de vibración de una placa rectangular.

Consideremos una placa rectangular que tiene dimensiones en el plano y espesor en la dirección . Buscamos encontrar los modos de vibración libre de la placa. ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle x_{3}}$

Supongamos un campo de desplazamiento de la forma

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}$

Entonces,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

y

${\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}$

Conectando estos a la ecuación gobernante obtenemos

${\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

donde es una constante porque el lado izquierdo es independiente de mientras que el lado derecho es independiente de . Del lado derecho, entonces tenemos ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

${\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}$

Desde el lado izquierdo,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

dónde

${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}$

Dado que la ecuación anterior es un problema de valor propio biarmónico , buscamos soluciones de expansión de Fourier de la forma

${\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}$

Podemos comprobar y ver que esta solución satisface las condiciones de contorno para una placa rectangular que vibra libremente con bordes simplemente apoyados:

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}$

Introduciendo la solución en la ecuación biarmónica obtenemos

${\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}$

La comparación con la expresión anterior para indica que podemos tener un número infinito de soluciones con ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

Por lo tanto, la solución general para la ecuación de la placa es

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

Para hallar los valores de y utilizamos las condiciones iniciales y la ortogonalidad de los componentes de Fourier. Por ejemplo, si ${\displaystyle A_{mn}}$ ${\displaystyle B_{mn}}$

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}$

nosotros conseguimos,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}$

Referencias

1. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y capas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
2. AEH Love , Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las capas elásticas , Philosophical trans. de la Royal Society (Londres), 1888, Vol. serie A, N° 17 p. 491–549.
3. Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas por vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 12, págs. 287-300 (en ruso)
4. Mindlin, RD 1951, Influencia de la inercia rotatoria y el esfuerzo cortante en los movimientos de flexión de placas isotrópicas y elásticas, ASME Journal of Applied Mechanics, vol. 18, págs. 31-38
5. Elishakoff, I., 2020, Manual sobre las teorías de vigas de Timoshenko-Ehrenfest y placas de Uflyand-Mindlin , World Scientific, Singapur, ISBN  978-981-3236-51-6
6. Leissa, AW, 1969, Vibración de placas, NASA SP-160, Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno de EE. UU.
7. Leissa, AW y Qatu, MS, 2011, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Mc Graw-Hill
8. Gontkevich, VS, 1964, Vibraciones naturales de placas y capas, Kiev: “Naukova Dumka” Publishers, 1964 (en ruso); (Traducción al inglés: Lockheed Missiles & Space Co., Sunnyvale, CA)
9. Rao, SS, Vibración de sistemas continuos, Nueva York: Wiley
10. Soedel, W., 1993, Vibraciones de conchas y placas, Nueva York: Marcel Dekker Inc., (segunda edición)
11. Yu, YY, 1996, Vibraciones de placas elásticas, Nueva York: Springer
12. Gorman, D., 1982, Análisis de vibración libre de placas rectangulares, Ámsterdam: Elsevier
13. Gorman, DJ, 1999, Análisis de vibración de placas por el método de superposición, Singapur: World Scientific
14. Rao, JS, 1999, Dinámica de placas, Nueva Delhi: Narosa Publishing House
15. Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática. Vol. I , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, MR  0065391

Véase también

• Doblado
• Doblado de placas
• Figuras de Chladni
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Teoría de las placas de Kirchhoff-Love
• Elasticidad lineal
• Teoría de placas de Mindlin-Reissner
• Teoría de placas
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Acústica estructural