Ecuación biarmónica

EDP ​​de cuarto orden en mecánica de medios continuos

En matemáticas , la ecuación biarmónica es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden que surge en áreas de la mecánica de medios continuos , incluida la teoría de elasticidad lineal y la solución de flujos de Stokes . En concreto, se utiliza en el modelado de estructuras delgadas que reaccionan elásticamente a fuerzas externas.

Notación

Se escribe como o o donde , que es la cuarta potencia del operador del y el cuadrado del operador laplaciano (o ), se conoce como el operador biarmónico o el operador bilaplaciano . En coordenadas cartesianas , se puede escribir en dimensiones como: Debido a que la fórmula aquí contiene una suma de índices, muchos matemáticos prefieren la notación sobre porque la primera deja en claro sobre cuáles de los índices de los cuatro operadores nabla se contraen. $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$$ $${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}$$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{4}}$

Por ejemplo, en coordenadas cartesianas tridimensionales la ecuación biarmónica tiene la forma Como otro ejemplo, en un espacio de coordenadas reales n -dimensional sin el origen , donde lo que muestra, solo para n = 3 y n = 5, que es una solución a la ecuación biarmónica. $${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$ $${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$$ $${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$ ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

Una solución de la ecuación biarmónica se denomina función biarmónica . Cualquier función armónica es biarmónica, pero la inversa no siempre es cierta.

En coordenadas polares bidimensionales , la ecuación biarmónica es la que se puede resolver mediante la separación de variables. El resultado es la solución de Michell . $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$$

espacio bidimensional

La solución general para el caso bidimensional es donde , y son funciones armónicas y es un conjugado armónico de . $${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle u(x,y)}$

Así como las funciones armónicas en 2 variables están estrechamente relacionadas con las funciones analíticas complejas , también lo están las funciones biarmónicas en 2 variables. La forma general de una función biarmónica en 2 variables también se puede escribir como donde y son funciones analíticas . $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Función armónica

Referencias

• Eric W Weisstein, Enciclopedia concisa de matemáticas CRC , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• SI Hayek, Métodos matemáticos avanzados en ciencia e ingeniería , Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 . 
• JP Den Hartog (1 de julio de 1987). Resistencia avanzada de materiales . Publicaciones Courier Dover. ISBN 0-486-65407-9.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuación biarmónica". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Operador biarmónico". MathWorld .