Teoría de las placas de Kirchhoff-Love

La teoría de placas de Kirchhoff-Love es un modelo matemático bidimensional que se utiliza para determinar las tensiones y deformaciones en placas delgadas sometidas a fuerzas y momentos . Esta teoría es una extensión de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli y fue desarrollada en 1888 por Love ^[1] utilizando los supuestos propuestos por Kirchhoff . La teoría supone que se puede utilizar un plano de superficie media para representar una placa tridimensional en forma bidimensional.

Las siguientes suposiciones cinemáticas se hacen en esta teoría: ^[2]

Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas después de la deformación.
Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen normales a la superficie media después de la deformación.
El espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Campo de desplazamiento asumido

Sea , el vector de posición de un punto en la placa no deformada . Entonces $\mathbf {x}$

\mathbf {x} = x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.

Los vectores forman una base cartesiana con origen en la superficie media de la placa, y son las coordenadas cartesianas en la superficie media de la placa no deformada, y es la coordenada para la dirección del espesor. ${\boldsymbol {e}}_{i}$ $estilo de visualización x_{1}}$ $estilo de visualización x_{2}$ $estilo de visualización x_{3}}$

Sea el desplazamiento de un punto en la placa . Entonces $\mathbf {u} (\mathbf {x} )$

\mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}

Este desplazamiento se puede descomponer en una suma vectorial del desplazamiento en la superficie media y un desplazamiento fuera del plano en la dirección. Podemos escribir el desplazamiento en el plano de la superficie media como $u_{\alpha }^{0}$ ${\estilo de visualización w^{0}}$ $estilo de visualización x_{3}}$

\mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{ 2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }

Tenga en cuenta que el índice toma los valores 1 y 2, pero no 3. ${\estilo de visualización \alpha}$

Entonces la hipótesis de Kirchhoff implica que

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{ \frac {\w parcial^{0}}{\x parcial_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{alineado }}$

Si son los ángulos de rotación de la normal a la superficie media, entonces en la teoría de Kirchhoff-Love $\varphi _{\alpha }$

\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}

Nótese que podemos pensar en la expresión para como la expansión en serie de Taylor de primer orden del desplazamiento alrededor de la superficie media. $u_{\alpha}$

Placas de Kirchhoff-Love cuasiestáticas

La teoría original desarrollada por Love era válida para deformaciones y rotaciones infinitesimales. Von Kármán la amplió a situaciones en las que cabía esperar rotaciones moderadas.

Relaciones de deformación-desplazamiento

Para la situación en la que las deformaciones en la placa son infinitesimales y las rotaciones de las normales de la superficie media son menores a 10°, las relaciones de deformación-desplazamiento son

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{alineado}}

mientras . $\beta = 1,2$ ${\estilo de visualización \alpha}$

Utilizando los supuestos cinemáticos tenemos

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\ alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_ {,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Por lo tanto, las únicas deformaciones distintas de cero están en las direcciones en el plano.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para la placa se pueden derivar del principio del trabajo virtual . Para una placa delgada bajo una carga transversal cuasiestática que apunta hacia la dirección positiva , estas ecuaciones son $q(x)$ $estilo de visualización x_{3}}$

{\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=-q\end{aligned}}

donde el espesor de la placa es . En notación de índice, ${\estilo de visualización 2h}$

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}$

¿Dónde están las tensiones ? $\sigma _{\alpha \beta }$

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno necesarias para resolver las ecuaciones de equilibrio de la teoría de placas se pueden obtener a partir de los términos de contorno del principio de trabajo virtual. En ausencia de fuerzas externas en el contorno, las condiciones de contorno son

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}

Téngase en cuenta que la cantidad es una fuerza cortante efectiva. $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$

Relaciones constitutivas

Las relaciones de tensión-deformación para una placa de Kirchhoff elástica lineal se dan por

{\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}

Dado que y no aparecen en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que estas cantidades no tienen ningún efecto sobre el equilibrio de momento y se descuidan. Las relaciones de tensión-deformación restantes, en forma matricial, se pueden escribir como $\sigma _{\alpha 3}$ $\sigma _{33}$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Entonces,

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}

Las rigideces extensionales son las cantidades

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Las rigideces de flexión (también llamadas rigidez a la flexión ) son las cantidades

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Las suposiciones constitutivas de Kirchhoff-Love conducen a fuerzas de corte cero. Como resultado, las ecuaciones de equilibrio para la placa deben usarse para determinar las fuerzas de corte en placas delgadas de Kirchhoff-Love. Para placas isotrópicas, estas ecuaciones conducen a

Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.

Alternativamente, estas fuerzas de corte se pueden expresar como

Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }

dónde

{\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.

Pequeñas tensiones y rotaciones moderadas.

Si las rotaciones de las normales a la superficie media están en el rango de 10 a 15 , las relaciones de deformación-desplazamiento se pueden aproximar como $^{\circ }$ $^{\circ }$

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}

Luego, los supuestos cinemáticos de la teoría de Kirchhoff-Love conducen a la teoría de placas clásica con deformaciones de von Kármán .

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Esta teoría es no lineal debido a los términos cuadráticos en las relaciones deformación-desplazamiento.

Si las relaciones de deformación-desplazamiento toman la forma de von Karman, las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }+q&=0\end{aligned}}

Placas de Kirchhoff-Love cuasiestáticas isotrópicas

Para una placa isótropa y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

donde es el coeficiente de Poisson y es el módulo de Young . Los momentos correspondientes a estas tensiones son $\nu$ $E$

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}

En forma expandida,

{\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}

donde para placas de espesor . Utilizando las relaciones de tensión-deformación para las placas, podemos demostrar que las tensiones y los momentos están relacionados por $D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]$ $H=2h$

\sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.

En la parte superior de la placa donde , las tensiones son $x_{3}=h=H/2$

\sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.

Pura flexión

Para una placa isótropa y homogénea sometida a flexión pura , las ecuaciones gobernantes se reducen a

{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.

Aquí hemos asumido que los desplazamientos en el plano no varían con y . En notación de índice, $x_{1}$ $x_{2}$

w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0

y en notación directa

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

que se conoce como ecuación biarmónica . Los momentos de flexión se dan por

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}

Flexión bajo carga transversal

Si se aplica a la placa una carga transversal distribuida que apunta en dirección positiva , la ecuación que la rige es . Siguiendo el procedimiento mostrado en la sección anterior obtenemos ^[3] $q(x)$ $x_{3}$ $M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q$

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$

En coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación gobernante es

w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}={\cfrac {q}{D}}

y en coordenadas cilíndricas toma la forma

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]={\frac {q}{D}}\,.

Las soluciones de esta ecuación para diversas geometrías y condiciones de contorno se pueden encontrar en el artículo sobre flexión de placas .

Doblado cilíndrico

En determinadas condiciones de carga, una placa plana se puede doblar hasta darle la forma de la superficie de un cilindro. Este tipo de doblado se denomina doblado cilíndrico y representa la situación especial en la que . En ese caso $u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})$

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}

y las ecuaciones gobernantes se convierten en ^[3]

{\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}

Dinámica de las placas de Kirchhoff-Love

La teoría dinámica de placas delgadas determina la propagación de ondas en las placas, y el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración.

Ecuaciones de gobierno

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

donde, para una placa con densidad , $\rho =\rho (x)$

J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}

{\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

Las soluciones de estas ecuaciones para algunos casos especiales se pueden encontrar en el artículo sobre vibraciones de placas . Las figuras siguientes muestran algunos modos de vibración de una placa circular.

modo k = 0, p = 1
modo k = 0, p = 2
modo k = 1, p = 2

Placas isotrópicas

Las ecuaciones que rigen esta ecuación se simplifican considerablemente para placas isótropas y homogéneas en las que se pueden despreciar las deformaciones en el plano. En ese caso, nos queda una ecuación de la siguiente forma (en coordenadas cartesianas rectangulares):

D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.

donde es la rigidez a la flexión de la placa. Para una placa uniforme de espesor , $D$ $2h$

D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

En notación directa

D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.

Para vibraciones libres, la ecuación gobernante se convierte en

D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.

Referencias

^ AEH Love, Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las capas elásticas , Philosophical trans. de la Royal Society (Londres), 1888, Vol. serie A, N° 17 p. 491–549.
^ Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y capas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
^ ab Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., (1959), Teoría de placas y capas , McGraw-Hill Nueva York.