Doblado de placas

Deformación de losas bajo carga.

Doblado de una placa circular sujeta por los bordes bajo la acción de una presión transversal. La mitad izquierda de la placa muestra la forma deformada, mientras que la mitad derecha muestra la forma no deformada. Este cálculo se realizó utilizando Ansys .

La flexión de placas , o flexión de placas , se refiere a la deflexión de una placa perpendicular al plano de la placa bajo la acción de fuerzas y momentos externos . La cantidad de deflexión se puede determinar resolviendo las ecuaciones diferenciales de una teoría de placas apropiada . Las tensiones en la placa se pueden calcular a partir de estas deflexiones. Una vez que se conocen las tensiones, se pueden utilizar teorías de falla para determinar si una placa fallará bajo una carga determinada.

Curvado de placas Kirchhoff-Love

Fuerzas y momentos sobre una placa plana.

Definiciones

Para una placa rectangular delgada de espesor , módulo de Young y relación de Poisson , podemos definir parámetros en términos de la deflexión de la placa . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$

La rigidez a la flexión está dada por

${\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}$

Momentos

Los momentos flectores por unidad de longitud están dados por

${\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

El momento de torsión por unidad de longitud está dado por

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Efectivo

Las fuerzas cortantes por unidad de longitud están dadas por

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

Destaca

Los esfuerzos de flexión están dados por

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

El esfuerzo cortante está dado por

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Presiones

Las deformaciones por flexión para la teoría de pequeñas deflexiones están dadas por

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}$

La deformación cortante para la teoría de pequeñas deflexiones viene dada por

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Para la teoría de placas de gran deflexión, consideramos la inclusión de tensiones de membrana.

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Deflexiones

Las deflexiones están dadas por

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Derivación

En la teoría de placas de Kirchhoff-Love para placas, las ecuaciones gobernantes son ^[1]

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

y

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}$

En forma ampliada,

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}$

donde es una carga transversal aplicada por unidad de área, el espesor de la placa es , las tensiones son , y ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle H=2h}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

La cantidad tiene unidades de fuerza por unidad de longitud. La cantidad tiene unidades de momento por unidad de longitud. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Para placas isotrópicas y homogéneas con módulo de Young y relación de Poisson, estas ecuaciones se reducen a ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

¿Dónde está la deflexión de la superficie media de la placa? ${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$

Pequeña deflexión de placas rectangulares delgadas.

Esto se rige por la ecuación de placas de Germain - Lagrange.

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}$

Esta ecuación fue deducida por primera vez por Lagrange en diciembre de 1811 al corregir el trabajo de Germain, quien proporcionó la base de la teoría.

Gran deflexión de placas rectangulares delgadas.

Esto se rige por las ecuaciones de placas de Föppl - von Kármán.

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}$

¿Dónde está la función de estrés? ${\displaystyle F}$

Platos circulares Kirchhoff-Love

La flexión de placas circulares se puede examinar resolviendo la ecuación gobernante con condiciones de contorno apropiadas. Poisson encontró por primera vez estas soluciones en 1829. Las coordenadas cilíndricas son convenientes para este tipo de problemas. Aquí está la distancia de un punto al plano medio de la placa. ${\displaystyle z}$

La ecuación gobernante en forma libre de coordenadas es

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

En coordenadas cilíndricas , ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

Para placas circulares cargadas simétricamente, y tenemos ${\displaystyle w=w(r)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Por lo tanto, la ecuación gobernante es

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Si y son constantes, la integración directa de la ecuación gobernante nos da ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

donde están las constantes. La pendiente de la superficie de deflexión es ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

Para una placa circular, el requisito de que la deflexión y la pendiente de la deflexión sean finitas en implica que . Sin embargo, no es necesario que sea igual a 0, ya que el límite de existe cuando te acercas por la derecha. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle r\ln r\,}$ ${\displaystyle r=0}$

Bordes sujetos

Para una placa circular con bordes sujetos, tenemos y en el borde de la placa (radio ). Usando estas condiciones de frontera obtenemos ${\displaystyle w(a)=0}$ ${\displaystyle \phi (a)=0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

Los desplazamientos en el plano de la placa son

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

Las deformaciones en el plano de la placa son

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

Las tensiones en el plano en la placa son

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

Para una placa de espesor , la rigidez a la flexión es y tenemos ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

Los momentos resultantes (momentos flectores) son

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

La tensión radial máxima es en y : ${\displaystyle z=h}$ ${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

dónde . Los momentos flectores en el límite y en el centro de la placa son ${\displaystyle H:=2h}$

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

Platos rectangulares Kirchhoff-Love

Flexión de una placa rectangular bajo la acción de una fuerza distribuida por unidad de área. ${\displaystyle q}$

Para placas rectangulares, Navier introdujo en 1820 un método simple para encontrar el desplazamiento y la tensión cuando una placa simplemente se apoya. La idea era expresar la carga aplicada en términos de componentes de Fourier, encontrar la solución para una carga sinusoidal (un único componente de Fourier) y luego superponer los componentes de Fourier para obtener la solución para una carga arbitraria.

Carga sinusoidal

Supongamos que la carga es de la forma

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Aquí está la amplitud, es el ancho de la placa en la dirección y es el ancho de la placa en la dirección. ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$

Dado que la placa está simplemente apoyada, el desplazamiento a lo largo de los bordes de la placa es cero, el momento flector es cero en y y es cero en y . ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M_{yy}}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$

Si aplicamos estas condiciones de contorno y resolvemos la ecuación de placas, obtenemos la solución

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Donde D es la rigidez a la flexión.

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Análogo a la rigidez a la flexión EI. ^[3] Podemos calcular las tensiones y deformaciones en la placa una vez que conocemos el desplazamiento.

Para una carga más general del formulario

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

donde y son números enteros, obtenemos la solución ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

solución Navier

Ecuación de serie trigonométrica doble

Definimos una carga general de la siguiente forma ${\displaystyle q(x,y)}$

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

donde es un coeficiente de Fourier dado por ${\displaystyle a_{mn}}$

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

La ecuación clásica de placa rectangular para deflexiones pequeñas queda así:

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Placa simplemente apoyada con carga general

Suponemos una solución de la siguiente forma ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Las diferenciales parciales de esta función están dadas por

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la placa, tenemos

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Igualando las dos expresiones tenemos

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en esquina) con carga general está dada por

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Desplazamiento y tensiones a lo largo de una placa rectangular con mm, mm, mm, GPa y bajo carga kPa. La línea roja representa la parte inferior del plato, la línea verde el medio y la línea azul la parte superior del plato. ${\displaystyle x=a/2}$ ${\displaystyle a=20}$ ${\displaystyle b=40}$ ${\displaystyle H=2h=0.4}$ ${\displaystyle E=70}$ ${\displaystyle \nu =0.35}$ ${\displaystyle q_{0}=-10}$

Para una carga distribuida uniformemente, tenemos

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

El coeficiente de Fourier correspondiente viene dado por

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Evaluando la integral doble, tenemos

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$,

o alternativamente en un formato por partes , tenemos

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en esquina) con carga uniformemente distribuida está dada por

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa están dados por

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

solución de Levy

Lévy ^[4] propuso otro enfoque en 1899. En este caso comenzamos con una forma asumida del desplazamiento e intentamos ajustar los parámetros de modo que se satisfagan la ecuación gobernante y las condiciones de contorno. El objetivo es encontrar tal que satisfaga las condiciones de contorno en y y, por supuesto, la ecuación gobernante . ${\displaystyle Y_{m}(y)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$

Supongamos que

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Para una placa que está simplemente apoyada a lo largo de y , las condiciones de contorno son y . Tenga en cuenta que no hay variación en el desplazamiento a lo largo de estos bordes, lo que significa que y , por lo tanto, reduce la condición de límite de momento a una expresión equivalente . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle M_{xx}=0}$ ${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$

Momentos a lo largo de los bordes

Considere el caso de carga de momento puro. En ese caso y tiene que satisfacer . Dado que estamos trabajando en coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación gobernante se puede expandir como ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

Reemplazar la expresión for en la ecuación gobernante nos da ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

o

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución general.

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

donde son constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones de contorno. Por lo tanto, la solución de desplazamiento tiene la forma ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Elijamos el sistema de coordenadas tal que los límites de la placa estén en y (igual que antes) y en (y no y ). Entonces las condiciones de contorno de momento en los límites son ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

donde se conocen funciones. La solución se puede encontrar aplicando estas condiciones de contorno. Podemos demostrar que para el caso simétrico donde ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

y

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

tenemos

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

dónde

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

De manera similar, para el caso antisimétrico donde

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

tenemos

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

Podemos superponer las soluciones simétricas y antisimétricas para obtener soluciones más generales.

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Para una carga distribuida uniformemente, tenemos

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada con centro con carga uniformemente distribuida está dada por ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Los momentos flectores por unidad de longitud en la placa están dados por

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

Carga de momento uniforme y simétrica.

Para el caso especial donde la carga es simétrica y el momento es uniforme, tenemos en , ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

Desplazamiento y tensiones para una placa rectangular bajo momento de flexión uniforme a lo largo de los bordes y . La tensión de flexión se produce a lo largo de la superficie inferior de la placa. El esfuerzo cortante transversal se produce a lo largo de la superficie media de la placa. ${\displaystyle y=-b/2}$ ${\displaystyle y=b/2}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$

El desplazamiento resultante es

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

Los momentos flectores y fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento son ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$

Las tensiones son

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Doblado de placas cilíndricas

La flexión cilíndrica ocurre cuando una placa rectangular que tiene dimensiones , donde y el espesor es pequeño, se somete a una carga distribuida uniformemente perpendicular al plano de la placa. Una placa de este tipo adopta la forma de la superficie de un cilindro. ${\displaystyle a\times b\times h}$ ${\displaystyle a\ll b}$ ${\displaystyle h}$

Placa simplemente apoyada con extremos fijos axialmente

Para una placa simplemente apoyada bajo flexión cilíndrica con bordes que pueden girar libremente pero que tienen una forma fija . Las soluciones de flexión cilíndrica se pueden encontrar utilizando las técnicas de Navier y Levy. ${\displaystyle x_{1}}$

Doblado de placas Mindlin gruesas

Para placas gruesas, tenemos que considerar el efecto de los cortes a través del espesor sobre la orientación de la superficie normal a la mitad después de la deformación. La teoría de Raymond D. Mindlin proporciona un método para encontrar la deformación y las tensiones en dichas placas. Las soluciones a la teoría de Mindlin pueden derivarse de las soluciones equivalentes de Kirchhoff-Love utilizando relaciones canónicas. ^[5]

Ecuaciones gubernamentales

La ecuación rectora canónica para placas gruesas isotrópicas se puede expresar como ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}$

donde es la carga transversal aplicada, es el módulo de corte, es la rigidez a la flexión, es el espesor de la placa, es el factor de corrección de corte, es el módulo de Young, es la relación de Poisson y ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}$

En la teoría de Mindlin, es el desplazamiento transversal de la superficie media de la placa y las cantidades y son las rotaciones de la superficie media normales respecto de los ejes y , respectivamente. Los parámetros canónicos para esta teoría son y . El factor de corrección de corte suele tener el valor . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 5/6}$

Las soluciones de las ecuaciones gobernantes se pueden encontrar si se conocen las soluciones correspondientes de Kirchhoff-Love utilizando las relaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}$

donde es el desplazamiento predicho para una placa de Kirchhoff-Love, es una función biarmónica tal que , es una función que satisface la ecuación de Laplace, y ${\displaystyle w^{K}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}$

Placas rectangulares simplemente apoyadas

Para placas simplemente apoyadas, la suma de momentos de Marcus desaparece, es decir,

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}$

Que es casi la ecuación de Laplace para w[ref 6]. En ese caso las funciones , , desaparecen y la solución de Mindlin se relaciona con la correspondiente solución de Kirchhoff por ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}$

Doblado de placas voladizas de Reissner-Stein

La teoría de Reissner-Stein para placas en voladizo ^[6] conduce a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas para una placa en voladizo con carga terminal concentrada en . ${\displaystyle q_{x}(y)}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}$

y las condiciones de contorno en son ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

La solución de este sistema de dos EDO da

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}$

dónde . Los momentos flectores y fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento son ${\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}$ ${\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}$

Las tensiones son

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Si la carga aplicada en el borde es constante, recuperamos las soluciones para una viga bajo una carga terminal concentrada. Si la carga aplicada es una función lineal de , entonces ${\displaystyle y}$

${\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}$

Ver también

• Doblar
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Kirchhoff-Teoría del plato de amor
• Elasticidad lineal
• Teoría de las placas de Mindlin-Reissner
• Teoría de placas
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Acústica estructural
• Vibración de placas

Referencias

1. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y conchas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
2. Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., (1959), Teoría de placas y conchas , McGraw-Hill Nueva York.
3. Cook, RD et al., 2002, Conceptos y aplicaciones del análisis de elementos finitos , John Wiley & Sons
4. Lévy, M., 1899, Cuentas rendidas , vol. 129, págs. 535-539
5. Lim, GT y Reddy, JN, 2003, Sobre relaciones de flexión canónicas para placas , Revista Internacional de Sólidos y Estructuras, vol. 40, págs. 3039-3067.
6. E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.