Doblado de placas

Deformación de losas bajo carga

Flexión de una placa circular sujeta por el borde bajo la acción de una presión transversal. La mitad izquierda de la placa muestra la forma deformada, mientras que la mitad derecha muestra la forma no deformada. Este cálculo se realizó utilizando Ansys .

La flexión de placas , o doblado de placas , se refiere a la deflexión de una placa perpendicular al plano de la placa bajo la acción de fuerzas y momentos externos . La cantidad de deflexión se puede determinar resolviendo las ecuaciones diferenciales de una teoría de placas adecuada . Las tensiones en la placa se pueden calcular a partir de estas deflexiones. Una vez que se conocen las tensiones, se pueden utilizar teorías de falla para determinar si una placa fallará bajo una carga determinada.

Flexión de placas de Kirchhoff-Love

Fuerzas y momentos sobre una placa plana.

Definiciones

Para una placa rectangular delgada de espesor , módulo de Young y coeficiente de Poisson , podemos definir parámetros en términos de la deflexión de la placa, . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$

La rigidez a la flexión viene dada por

${\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}$

Momentos

Los momentos de flexión por unidad de longitud se dan por

${\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

El momento de torsión por unidad de longitud viene dado por

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Efectivo

Las fuerzas cortantes por unidad de longitud se dan por

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

Estresa

Las tensiones de flexión se dan por

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

La tensión cortante viene dada por

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Presiones

Las deformaciones de flexión para la teoría de pequeña deflexión se dan por

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}$

La deformación cortante para la teoría de pequeña deflexión está dada por

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

Para la teoría de placas de gran deflexión, consideramos la inclusión de deformaciones de membrana.

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Desviaciones

Las deflexiones se dan por

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Derivación

En la teoría de placas de Kirchhoff-Love , las ecuaciones que rigen las placas son ^[1]

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

y

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}$

En forma expandida,

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}$

donde es una carga transversal aplicada por unidad de área, el espesor de la placa es , las tensiones son , y ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle H=2h}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

La cantidad tiene unidades de fuerza por unidad de longitud. La cantidad tiene unidades de momento por unidad de longitud. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Para placas isótropas , homogéneas , con módulo de Young y coeficiente de Poisson, estas ecuaciones se reducen a ^[2] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

donde es la desviación de la superficie media de la placa. ${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$

Pequeña desviación de placas rectangulares delgadas

Esto está regido por la ecuación de placas de Germain - Lagrange .

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}$

Esta ecuación fue derivada por primera vez por Lagrange en diciembre de 1811 al corregir el trabajo de Germain, quien proporcionó la base de la teoría.

Gran deflexión de placas rectangulares delgadas

Esto está regido por las ecuaciones de placas de Föppl - von Kármán.

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}$

¿Dónde está la función de estrés? ${\displaystyle F}$

Placas circulares de Kirchhoff-Love

La flexión de las placas circulares se puede examinar resolviendo la ecuación que la rige con las condiciones de contorno adecuadas. Poisson fue el primero en encontrar estas soluciones en 1829. Las coordenadas cilíndricas son convenientes para este tipo de problemas. Aquí se muestra la distancia de un punto desde el plano medio de la placa. ${\displaystyle z}$

La ecuación gobernante en forma libre de coordenadas es

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

En coordenadas cilíndricas , ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

Para placas circulares cargadas simétricamente, y tenemos ${\displaystyle w=w(r)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Por lo tanto, la ecuación gobernante es

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Si y son constantes, la integración directa de la ecuación gobernante nos da ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

donde son constantes. La pendiente de la superficie de deflexión es ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

Para una placa circular, el requisito de que la deflexión y la pendiente de la deflexión sean finitas en implica que . Sin embargo, no es necesario que sea igual a 0, ya que el límite de existe a medida que se aproxima desde la derecha. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle r\ln r\,}$ ${\displaystyle r=0}$

Bordes sujetados

Para una placa circular con bordes fijados, tenemos y en el borde de la placa (radio ). Usando estas condiciones de contorno obtenemos ${\displaystyle w(a)=0}$ ${\displaystyle \phi (a)=0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

Los desplazamientos en el plano de la placa son

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

Las deformaciones en el plano de la placa son

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

Las tensiones en el plano de la placa son

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

Para una placa de espesor , la rigidez a la flexión es y tenemos ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

Los momentos resultantes (momentos flectores) son

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

La tensión radial máxima está en y : ${\displaystyle z=h}$ ${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

donde . Los momentos de flexión en el límite y en el centro de la placa son ${\displaystyle H:=2h}$

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

Platos rectangulares Kirchhoff-Love

Flexión de una placa rectangular bajo la acción de una fuerza distribuida por unidad de área. ${\displaystyle q}$

En 1820, Navier introdujo un método simple para hallar el desplazamiento y la tensión de las placas rectangulares cuando se las apoya simplemente sobre una placa. La idea era expresar la carga aplicada en términos de componentes de Fourier, hallar la solución para una carga sinusoidal (un solo componente de Fourier) y luego superponer los componentes de Fourier para obtener la solución para una carga arbitraria.

Carga sinusoidal

Supongamos que la carga tiene la forma

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Aquí está la amplitud, es el ancho de la placa en la dirección y es el ancho de la placa en la dirección. ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$

Dado que la placa está simplemente apoyada, el desplazamiento a lo largo de los bordes de la placa es cero, el momento de flexión es cero en y , y es cero en y . ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M_{yy}}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$

Si aplicamos estas condiciones de contorno y resolvemos la ecuación de la placa, obtenemos la solución

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

Donde D es la rigidez a la flexión

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Análogo a la rigidez a flexión EI. ^[3] Podemos calcular las tensiones y deformaciones en la placa una vez que conocemos el desplazamiento.

Para una carga más general del formulario

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

donde y son números enteros, obtenemos la solución ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

Solución Navier

Ecuación de serie trigonométrica doble

Definimos una carga general de la siguiente forma ${\displaystyle q(x,y)}$

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

donde es un coeficiente de Fourier dado por ${\displaystyle a_{mn}}$

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

La ecuación clásica de placa rectangular para pequeñas deflexiones se convierte así:

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Placa simplemente apoyada con carga general

Suponemos una solución de la siguiente forma ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Las diferenciales parciales de esta función están dadas por

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la placa, tenemos

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Igualando las dos expresiones, tenemos

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en las esquinas) con carga general está dada por

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Desplazamiento y tensiones a lo largo de una placa rectangular con mm, mm, mm, GPa y bajo una carga kPa. La línea roja representa la parte inferior de la placa, la línea verde la parte media y la línea azul la parte superior de la placa. ${\displaystyle x=a/2}$ ${\displaystyle a=20}$ ${\displaystyle b=40}$ ${\displaystyle H=2h=0.4}$ ${\displaystyle E=70}$ ${\displaystyle \nu =0.35}$ ${\displaystyle q_{0}=-10}$

Para una carga distribuida uniformemente, tenemos

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

El coeficiente de Fourier correspondiente viene dado por

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$.

Evaluando la integral doble, tenemos

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$,

o alternativamente en formato por partes , tenemos

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada (de origen en las esquinas) con una carga distribuida uniformemente está dada por

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Los momentos de flexión por unidad de longitud en la placa se dan por

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

Solución de Lévy

Lévy ^[4] propuso otro enfoque en 1899. En este caso, comenzamos con una forma supuesta del desplazamiento e intentamos ajustar los parámetros de modo que se satisfagan la ecuación gobernante y las condiciones de contorno. El objetivo es encontrar tal que satisfaga las condiciones de contorno en y y, por supuesto, la ecuación gobernante . ${\displaystyle Y_{m}(y)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$

Supongamos que

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Para una placa que está simplemente apoyada a lo largo de y , las condiciones de contorno son y . Nótese que no hay variación en el desplazamiento a lo largo de estos bordes, lo que significa que y , reduciendo así la condición de contorno del momento a una expresión equivalente . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle M_{xx}=0}$ ${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$

Momentos a lo largo de los bordes

Consideremos el caso de una carga de momento puro. En ese caso y debe satisfacer . Como trabajamos en coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación que gobierna se puede desarrollar como ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

Introduciendo la expresión en la ecuación gobernante obtenemos ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

o

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria que tiene la solución general

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

donde son constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones de contorno. Por lo tanto, la solución de desplazamiento tiene la forma ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

Elijamos el sistema de coordenadas tal que los límites de la placa estén en y (igual que antes) y en (y no y ). Entonces las condiciones de borde de momento en los límites son ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

donde son funciones conocidas. La solución se puede encontrar aplicando estas condiciones de contorno. Podemos demostrar que para el caso simétrico donde ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

y

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

tenemos

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

dónde

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

De manera similar, para el caso antisimétrico donde

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

tenemos

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

Podemos superponer las soluciones simétricas y antisimétricas para obtener soluciones más generales.

Placa simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Para una carga distribuida uniformemente, tenemos

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

La deflexión de una placa simplemente apoyada con centro y carga uniformemente distribuida viene dada por ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Los momentos de flexión por unidad de longitud en la placa se dan por

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

Carga de momento uniforme y simétrica

Para el caso especial donde la carga es simétrica y el momento es uniforme, tenemos en , ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

Desplazamiento y tensiones para una placa rectangular bajo un momento de flexión uniforme a lo largo de los bordes y . La tensión de flexión se encuentra a lo largo de la superficie inferior de la placa. La tensión de corte transversal se encuentra a lo largo de la superficie media de la placa. ${\displaystyle y=-b/2}$ ${\displaystyle y=b/2}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$

El desplazamiento resultante es

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento son ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$

Las tensiones son

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Doblado de placas cilíndricas

La flexión cilíndrica se produce cuando una placa rectangular de dimensiones , donde y el espesor es pequeño, se somete a una carga uniformemente distribuida perpendicular al plano de la placa. Dicha placa adopta la forma de la superficie de un cilindro. ${\displaystyle a\times b\times h}$ ${\displaystyle a\ll b}$ ${\displaystyle h}$

Placa simplemente apoyada con extremos fijados axialmente

Para una placa con un soporte simple sometida a flexión cilíndrica con bordes que pueden girar libremente pero que tienen un . fijo. Se pueden encontrar soluciones de flexión cilíndrica utilizando las técnicas de Navier y Levy. ${\displaystyle x_{1}}$

Doblado de placas gruesas de Mindlin

En el caso de placas gruesas, debemos considerar el efecto de las fuerzas cortantes a través del espesor sobre la orientación de la normal a la superficie media después de la deformación. La teoría de Raymond D. Mindlin proporciona un enfoque para encontrar la deformación y las tensiones en dichas placas. Las soluciones a la teoría de Mindlin se pueden derivar de las soluciones equivalentes de Kirchhoff-Love utilizando relaciones canónicas. ^[5]

Ecuaciones de gobierno

La ecuación canónica que rige las placas gruesas isótropas se puede expresar como ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}$

donde es la carga transversal aplicada, es el módulo de corte, es la rigidez a la flexión, es el espesor de la placa, es el factor de corrección de corte, es el módulo de Young, es el coeficiente de Poisson, y ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}$

En la teoría de Mindlin, es el desplazamiento transversal de la superficie media de la placa y las cantidades y son las rotaciones de la superficie media normal sobre los ejes y , respectivamente. Los parámetros canónicos para esta teoría son y . El factor de corrección de corte generalmente tiene el valor . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 5/6}$

Las soluciones de las ecuaciones gobernantes se pueden encontrar si se conocen las soluciones de Kirchhoff-Love correspondientes utilizando las relaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}$

donde es el desplazamiento previsto para una placa de Kirchhoff-Love, es una función biarmónica tal que , es una función que satisface la ecuación de Laplace, , y ${\displaystyle w^{K}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}$

Placas rectangulares simplemente apoyadas

Para placas simplemente apoyadas, la suma de momentos de Marcus se desvanece, es decir,

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}$

Lo cual es casi la ecuación de Laplace para w[ref 6]. En ese caso, las funciones , , se desvanecen y la solución de Mindlin está relacionada con la solución de Kirchhoff correspondiente por ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}$

Flexión de placas en voladizo de Reissner-Stein

La teoría de Reissner-Stein para placas en voladizo ^[6] conduce a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas para una placa en voladizo con carga final concentrada en . ${\displaystyle q_{x}(y)}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}$

y las condiciones de contorno en son ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

La solución de este sistema de dos EDO da

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}$

donde . Los momentos flectores y las fuerzas cortantes correspondientes al desplazamiento son ${\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}$ ${\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}$

Las tensiones son

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

Si la carga aplicada en el borde es constante, recuperamos las soluciones para una viga sometida a una carga final concentrada. Si la carga aplicada es una función lineal de , entonces ${\displaystyle y}$

${\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}$

Véase también

• Doblado
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Teoría de las placas de Kirchhoff-Love
• Elasticidad lineal
• Teoría de placas de Mindlin-Reissner
• Teoría de placas
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Acústica estructural
• Vibración de placas

Referencias

1. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y capas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
2. Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S., (1959), Teoría de placas y capas , McGraw-Hill Nueva York.
3. Cook, RD et al., 2002, Conceptos y aplicaciones del análisis de elementos finitos , John Wiley & Sons
4. Lévy, M., 1899, Cuentas rendidas , vol. 129, págs. 535-539
5. Lim, GT y Reddy, JN, 2003, Sobre relaciones de flexión canónica para placas , Revista internacional de sólidos y estructuras, vol. 40, págs. 3039-3067.
6. E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.