Función racional

Relación de funciones polinómicas

En matemáticas , una función racional es cualquier función que pueda definirse mediante una fracción racional , que es una fracción algebraica tal que tanto el numerador como el denominador son polinomios . Los coeficientes de los polinomios no necesitan ser números racionales ; pueden tomarse en cualquier cuerpo K. En este caso, se habla de una función racional y una fracción racional sobre K. Los valores de las variables pueden tomarse en cualquier cuerpo L que contenga a K. Entonces , el dominio de la función es el conjunto de los valores de las variables para los cuales el denominador no es cero, y el codominio es L.

El conjunto de funciones racionales sobre un cuerpo K es un cuerpo, el cuerpo de fracciones del anillo de las funciones polinómicas sobre K.

Definiciones

Una función se llama función racional si se puede escribir en la forma ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

donde y son funciones polinómicas de y no es la función cero . El dominio de es el conjunto de todos los valores de para los cuales el denominador no es cero. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$

Sin embargo, si y tienen un máximo común divisor polinomial no constante , entonces al establecer y se obtiene una función racional ${\displaystyle \textstyle P}$ ${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle R}$ ${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$ ${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

que puede tener un dominio mayor que , y es igual a en el dominio de Es un uso común identificar y , es decir, extender "por continuidad" el dominio de al de De hecho, se puede definir una fracción racional como una clase de equivalencia de fracciones de polinomios, donde dos fracciones y se consideran equivalentes si . En este caso es equivalente a ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}.}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$ ${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

Una función racional propia es una función racional en la que el grado de es menor que el grado de y ambos son polinomios reales , nombrados por analogía a una fracción propia en ^[1] ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Grado

Existen varias definiciones no equivalentes del grado de una función racional.

Lo más común es que el grado de una función racional sea el máximo de los grados de sus polinomios constituyentes P y Q , cuando la fracción se reduce a sus términos más bajos . Si el grado de f es d , entonces la ecuación

${\displaystyle f(z)=w\,}$

tiene d soluciones distintas en z excepto ciertos valores de w , llamados valores críticos , donde dos o más soluciones coinciden o donde alguna solución es rechazada en el infinito (es decir, cuando el grado de la ecuación disminuye después de haber despejado el denominador ).

En el caso de coeficientes complejos , una función racional con grado uno es una transformación de Möbius .

El grado de la gráfica de una función racional no es el grado tal como se definió anteriormente: es el máximo del grado del numerador y uno más el grado del denominador.

En algunos contextos, como en el análisis asintótico , el grado de una función racional es la diferencia entre los grados del numerador y el denominador. ^{[2] : §13.6.1  [3] : Capítulo IV}

En la síntesis y el análisis de redes , una función racional de grado dos (es decir, la relación de dos polinomios de grado dos como máximo) a menudo se denominafunción bicuadrática .^[4]

Ejemplos

Ejemplos de funciones racionales

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

no está definido en

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Es asintótico a como ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$

La función racional

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

se define para todos los números reales , pero no para todos los números complejos , ya que si x fuera una raíz cuadrada de (es decir, la unidad imaginaria o su negativo), entonces la evaluación formal conduciría a la división por cero: ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

que no está definido.

Una función constante como f ( x ) = π es una función racional, ya que las constantes son polinomios. La función en sí es racional, aunque el valor de f ( x ) sea irracional para todo x .

Toda función polinómica es una función racional con una función que no se puede escribir en esta forma, como por ejemplo no es una función racional. Sin embargo, el adjetivo "irracional" no se utiliza generalmente para las funciones. ${\displaystyle f(x)=P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)=1.}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

Todo polinomio de Laurent puede escribirse como una función racional mientras que lo inverso no es necesariamente cierto, es decir, el anillo de polinomios de Laurent es un subanillo de las funciones racionales.

La función racional es igual a 1 para todo x excepto 0, donde hay una singularidad removible . La suma, producto o cociente (excepto la división por el polinomio cero) de dos funciones racionales es en sí misma una función racional. Sin embargo, el proceso de reducción a la forma estándar puede resultar inadvertidamente en la eliminación de tales singularidades a menos que se tenga cuidado. El uso de la definición de funciones racionales como clases de equivalencia evita esto, ya que x / x es equivalente a 1/1. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

Serie de Taylor

Los coeficientes de una serie de Taylor de cualquier función racional satisfacen una relación de recurrencia lineal , que se puede encontrar igualando la función racional a una serie de Taylor con coeficientes indeterminados y recopilando términos iguales después de despejar el denominador.

Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Multiplicando por el denominador y distribuyendo,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Después de ajustar los índices de las sumas para obtener las mismas potencias de x , obtenemos

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Combinando términos iguales se obtiene

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Como esto es válido para todos los x en el radio de convergencia de la serie de Taylor original, podemos calcular lo siguiente. Como el término constante de la izquierda debe ser igual al término constante de la derecha, se deduce que

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Entonces, como no hay potencias de x a la izquierda, todos los coeficientes a la derecha deben ser cero, de lo que se sigue que

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Por el contrario, cualquier secuencia que satisface una recurrencia lineal determina una función racional cuando se utiliza como coeficientes de una serie de Taylor. Esto es útil para resolver dichas recurrencias, ya que al utilizar la descomposición en fracciones parciales podemos escribir cualquier función racional propia como una suma de factores de la forma 1 / ( ax + b ) y expandirlos como series geométricas , lo que da una fórmula explícita para los coeficientes de Taylor; este es el método de generación de funciones .

Álgebra abstracta y noción geométrica

En álgebra abstracta, el concepto de polinomio se extiende para incluir expresiones formales en las que los coeficientes del polinomio pueden tomarse de cualquier cuerpo . En este contexto, dado un cuerpo F y algún indeterminado X , una expresión racional (también conocida como fracción racional o, en geometría algebraica , función racional ) es cualquier elemento del cuerpo de fracciones del anillo de polinomios F [ X ]. Cualquier expresión racional puede escribirse como el cociente de dos polinomios P ​​/ Q con Q ≠ 0, aunque esta representación no es única. P / Q es equivalente a R / S , para polinomios P ​​, Q , R y S , cuando PS = QR . Sin embargo, dado que F [ X ] es un dominio de factorización único , existe una representación única para cualquier expresión racional P / Q con P y Q polinomios de grado más bajo y Q elegido como mónico . Esto es similar a cómo una fracción de números enteros siempre se puede escribir de forma única en sus términos más bajos cancelando los factores comunes.

El cuerpo de expresiones racionales se denota F ( X ). Se dice que este cuerpo se genera (como cuerpo) sobre F por (un elemento trascendental ) X , porque F ( X ) no contiene ningún subcuerpo propio que contenga tanto a F como al elemento X .

Funciones racionales complejas

• Julia establece mapas racionales
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

En el análisis complejo , una función racional

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

es la relación de dos polinomios con coeficientes complejos, donde Q no es el polinomio cero y P y Q no tienen factor común (esto evita que f tome el valor indeterminado 0/0).

El dominio de f es el conjunto de números complejos tales que . Toda función racional puede extenderse naturalmente a una función cuyo dominio y rango sean toda la esfera de Riemann ( línea proyectiva compleja ). ${\displaystyle Q(z)\neq 0}$

Las funciones racionales son ejemplos representativos de funciones meromórficas .

La iteración de funciones racionales (mapas) ^[5] en la esfera de Riemann crea sistemas dinámicos discretos .

Noción de función racional sobre una variedad algebraica

Al igual que los polinomios , las expresiones racionales también pueden generalizarse a n indeterminados X ₁ ,..., X _n , tomando el cuerpo de fracciones de F [ X ₁ ,..., X _n ], que se denota por F ( X ₁ ,..., X _n ).

En geometría algebraica se utiliza una versión ampliada de la idea abstracta de función racional. En ella, el cuerpo de funciones de una variedad algebraica V se forma como el cuerpo de fracciones del anillo de coordenadas de V (dicho con más precisión, de un conjunto abierto afín denso de Zariski en V ). Sus elementos f se consideran funciones regulares en el sentido de la geometría algebraica sobre conjuntos abiertos no vacíos U , y también pueden verse como morfismos de la línea proyectiva .

Aplicaciones

Las funciones racionales se utilizan en el análisis numérico para la interpolación y aproximación de funciones, por ejemplo, las aproximaciones de Padé introducidas por Henri Padé . Las aproximaciones en términos de funciones racionales son adecuadas para sistemas de álgebra computacional y otro software numérico . Al igual que los polinomios, se pueden evaluar de manera sencilla y, al mismo tiempo, expresan un comportamiento más diverso que los polinomios.

Las funciones racionales se utilizan para aproximar o modelar ecuaciones más complejas en ciencia e ingeniería, incluidos campos y fuerzas en física, espectroscopia en química analítica, cinética enzimática en bioquímica, circuitos electrónicos, aerodinámica, concentraciones de medicamentos in vivo, funciones de onda para átomos y moléculas, óptica y fotografía para mejorar la resolución de imágenes, y acústica y sonido. ^{[ cita requerida ]}

En el procesamiento de señales , la transformada de Laplace (para sistemas continuos) o la transformada z (para sistemas de tiempo discreto) de la respuesta al impulso de sistemas lineales invariantes en el tiempo (filtros) comúnmente utilizados con respuesta al impulso infinita son funciones racionales sobre números complejos.

Véase también

• Campo de fracciones
• Descomposición en fracciones parciales
• Fracciones parciales en integración
• Campo de funciones de una variedad algebraica
• Fracciones algebraicas  : una generalización de funciones racionales que permite tomar raíces enteras

Referencias

1. • Corless, Martin J.; Frazho, Art (2003). Sistemas lineales y control . CRC Press. pág. 163. ISBN 0203911377.
   • Pownall, Malcolm W. (1983). Funciones y gráficos: cálculo matemático preparatorio . Prentice-Hall. pág. 203. ISBN 0133323048.
2. Bourles, Henri (2010). Sistemas lineales. Wiley. pág. 515. doi :10.1002/9781118619988. ISBN 978-1-84821-162-9. Recuperado el 5 de noviembre de 2022 .
3. Bourbaki, N. (1990). Álgebra II . Saltador. pag. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8.
4. Glisson, Tildon H. (2011). Introducción al análisis y diseño de circuitos . Springer. ISBN 9048194431.
5. Camarena, Omar Antolín. "Iteración de funciones racionales" (PDF) .

• "Función racional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.4. Interpolación y extrapolación de funciones racionales", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Enlaces externos

• Visualización dinámica de funciones racionales con JSXGraph