Síntesis de redes

A design technique for linear electrical circuits

La síntesis de redes es una técnica de diseño para circuitos eléctricos lineales . La síntesis comienza a partir de una función de impedancia prescrita de frecuencia o respuesta de frecuencia y luego determina las posibles redes que producirán la respuesta requerida. La técnica se debe comparar con el análisis de redes en el que se calcula la respuesta (u otro comportamiento) de un circuito dado. Antes de la síntesis de redes, solo estaba disponible el análisis de redes, pero esto requiere que uno ya sepa qué forma de circuito se va a analizar. No hay garantía de que el circuito elegido sea lo más parecido posible a la respuesta deseada, ni de que el circuito sea el más simple posible. La síntesis de redes aborda directamente ambas cuestiones. La síntesis de redes históricamente se ha ocupado de sintetizar redes pasivas , pero no se limita a tales circuitos.

El campo fue fundado por Wilhelm Cauer después de leer el artículo de 1924 de Ronald M. Foster , Un teorema de reactancia . El teorema de Foster proporcionó un método para sintetizar circuitos LC con un número arbitrario de elementos mediante una expansión de fracción parcial de la función de impedancia. Cauer extendió el método de Foster a los circuitos RC y RL , encontró nuevos métodos de síntesis y métodos que podrían sintetizar un circuito RLC general . Otros avances importantes antes de la Segunda Guerra Mundial se deben a Otto Brune y Sidney Darlington . En la década de 1940, Raoul Bott y Richard Duffin publicaron una técnica de síntesis que no requería transformadores en el caso general (cuya eliminación había preocupado a los investigadores durante algún tiempo). En la década de 1950, se dedicó un gran esfuerzo a la cuestión de minimizar el número de elementos necesarios en una síntesis, pero con un éxito limitado. Hasta la década de 2000, cuando el tema de la minimización volvió a ser un área activa de investigación, se hizo poco en este campo, pero a fecha de 2023, sigue siendo un problema sin resolver.

Una de las principales aplicaciones de la síntesis de redes es el diseño de filtros de síntesis de redes , pero no es la única. Entre otras, se encuentran las redes de adaptación de impedancia , las redes de retardo temporal , los acopladores direccionales y la ecualización . En la década de 2000, la síntesis de redes comenzó a aplicarse a sistemas mecánicos y eléctricos, en particular en las carreras de Fórmula Uno .

Descripción general

La síntesis de redes consiste en diseñar una red eléctrica que se comporte de una manera preestablecida sin ninguna idea previa de la forma de la red. Normalmente, se requiere sintetizar una impedancia utilizando componentes pasivos. Es decir, una red que consta de resistencias (R), inductancias (L) y capacitancias (C). Estas redes siempre tienen una impedancia, denotada , en forma de una función racional de la variable de frecuencia compleja s . Es decir, la impedancia es la relación de dos polinomios en s . ^[1] ${\displaystyle Z(s)}$

Hay tres grandes áreas de estudio en la síntesis de redes: aproximar un requisito con una función racional, sintetizar esa función en una red y determinar los equivalentes de la red sintetizada. ^[2]

Aproximación

La función idealizada prescrita rara vez será capaz de ser descrita exactamente por polinomios. Por lo tanto, no es posible sintetizar una red para reproducirla exactamente. ^[3] Un ejemplo simple y común es el filtro de pared de ladrillos . Esta es la respuesta ideal de un filtro de paso bajo , pero su respuesta continua por partes es imposible de representar con polinomios debido a las discontinuidades. Para superar esta dificultad, se encuentra una función racional que se aproxima mucho a la función prescrita utilizando la teoría de aproximación . ^[4] En general, cuanto más cercana sea la aproximación, mayor será el grado del polinomio y más elementos se requerirán en la red. ^[5]

Existen muchos polinomios y funciones que se utilizan en la síntesis de redes para este propósito. La elección depende de qué parámetros de la función prescrita desea optimizar el diseñador. ^[6] Uno de los primeros que se utilizaron fueron los polinomios de Butterworth , que dan como resultado una respuesta máximamente plana en la banda de paso. ^[7] Una opción común es la aproximación de Chebyshev en la que el diseñador especifica cuánto puede desviarse la respuesta de la banda de paso del ideal a cambio de mejoras en otros parámetros. ^[8] Hay otras aproximaciones disponibles para optimizar el retardo de tiempo, la adaptación de impedancia , la reducción gradual y muchos otros requisitos. ^[9]

Realización

Dada una función racional, normalmente es necesario determinar si la función es realizable como una red pasiva discreta. Todas estas redes se describen mediante una función racional, pero no todas las funciones racionales son realizables como una red pasiva discreta. ^[10] Históricamente, la síntesis de redes se ocupaba exclusivamente de este tipo de redes. Los componentes activos modernos han hecho que esta limitación sea menos relevante en muchas aplicaciones, ^[11] pero en las frecuencias de radio más altas las redes pasivas siguen siendo la tecnología de elección. ^[12] Existe una propiedad simple de las funciones racionales que predice si la función es realizable como una red pasiva. Una vez que se determina que una función es realizable, hay una serie de algoritmos disponibles que sintetizarán una red a partir de ella. ^[13]

Equivalencia

La realización de una red a partir de una función racional no es única. La misma función puede realizar muchas redes equivalentes. Se sabe que las transformaciones afines de la matriz de impedancia formada en el análisis de malla de una red son todas matrices de impedancia de redes equivalentes (más información en Filtro analógico § Realizabilidad y equivalencia ). ^[14] Se conocen otras transformaciones de impedancia , pero si hay más clases de equivalencia que quedan por descubrir es una pregunta abierta. ^[15]

Un área importante de investigación en síntesis de redes ha sido la búsqueda de una realización que utilice el número mínimo de elementos. Esta cuestión no ha sido totalmente resuelta para el caso general ^[16] , pero existen soluciones para muchas redes con aplicaciones prácticas ^{[17] .}

Historia

Guillermo Cauer

El campo de la síntesis de redes fue fundado por el matemático y científico alemán Wilhelm Cauer (1900-1945). El primer indicio de una teoría provino del matemático estadounidense Ronald M. Foster (1896-1998) cuando publicó un teorema de reactancia en 1924. Cauer reconoció inmediatamente la importancia de este trabajo y se dedicó a generalizarlo y extenderlo. Su tesis de 1926 fue sobre "La realización de impedancias de dependencia de frecuencia prescripta" y es el comienzo del campo. El trabajo más detallado de Cauer se realizó durante la Segunda Guerra Mundial , pero fue asesinado poco antes del final de la guerra. Su trabajo no pudo ser publicado ampliamente durante la guerra, y no fue hasta 1958 que su familia recopiló sus artículos y los publicó para el resto del mundo. Mientras tanto, se habían logrado avances en los Estados Unidos basados ​​en las publicaciones de Cauer de antes de la guerra y el material capturado durante la guerra. ^[18]

El matemático y científico autodidacta inglés Oliver Heaviside (1850-1925) fue el primero en demostrar que la impedancia de una red RLC era siempre una función racional de un operador de frecuencia, pero no proporcionó ningún método para realizar una red a partir de una función racional. ^[19] Cauer encontró una condición necesaria para que una función racional fuera realizable como una red pasiva. El sudafricano Otto Brune (1901-1982) acuñó más tarde el término función real positiva (PRF) para esta condición. Cauer postuló que la PRF era una condición necesaria y suficiente, pero no pudo probarlo, y lo sugirió como proyecto de investigación a Brune, quien era su estudiante de posgrado en los Estados Unidos en ese momento. ^[20] Brune publicó la prueba faltante en su tesis doctoral de 1931. ^[21]

Raúl Bott

La realización de Foster se limitó a las redes LC y se presentó en una de dos formas: un número de circuitos LC en serie en paralelo, o un número de circuitos LC en paralelo en serie. El método de Foster fue expandir en fracciones parciales . Cauer demostró que el método de Foster podría extenderse a redes RL y RC. Cauer también encontró otro método; expandir como una fracción continua que da como resultado una red en escalera , nuevamente en dos formas posibles. ^[22] En general, una PRF representará una red RLC; con los tres tipos de elementos presentes, la realización es más complicada. Tanto Cauer como Brune utilizaron transformadores ideales en sus realizaciones de redes RLC. Tener que incluir transformadores es indeseable en una implementación práctica de un circuito. ^[23] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

Un método de realización que no requería transformadores fue proporcionado en 1949 por el matemático húngaro-estadounidense Raoul Bott (1923-2005) y el físico estadounidense Richard Duffin (1909-1996). ^[24] El método de Bott y Duffin proporciona una expansión por aplicación repetida del teorema de Richards , un resultado de 1947 debido al físico y matemático aplicado estadounidense Paul I. Richards (1923-1978). ^[25] Las redes de Bott-Duffin resultantes tienen un uso práctico limitado (al menos para funcionales racionales de alto grado ) porque el número de componentes requeridos crece exponencialmente con el grado. ^[26] Varias variaciones del método original de Bott-Duffin reducen el número de elementos en cada sección de seis a cinco, pero aún con números generales en crecimiento exponencial. ^[27] Entre los artículos que lograron este objetivo se incluyen Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) y Fialkow & Gest (1955). ^[28] Hasta 2010, no ha habido ningún otro avance significativo en la síntesis de funciones racionales. ^[29]

En 1939, el ingeniero eléctrico estadounidense Sidney Darlington demostró que cualquier PRF puede realizarse como una red de dos puertos que consta solo de elementos L y C y termina en su salida con una resistencia . Es decir, solo se requiere una resistencia en cualquier red, y los componentes restantes no tienen pérdidas. El teorema fue descubierto independientemente por Cauer y Giovanni Cocci. ^[30] El problema corolario, encontrar una síntesis de PRF utilizando elementos R y C con solo un inductor, es un problema sin resolver en la teoría de redes. ^[31] Otro problema sin resolver es encontrar una prueba de la conjetura de Darlington (1955) de que cualquier RC de 2 puertos con un terminal común puede realizarse como una red serie-paralelo. ^[32] Una consideración importante en las redes prácticas es minimizar el número de componentes, especialmente los componentes bobinados: inductores y transformadores. A pesar de los grandes esfuerzos realizados en la minimización, ^[33] nunca se ha descubierto una teoría general de minimización como sí se ha hecho para el álgebra de Boole de circuitos digitales . ^[34]

Cauer utilizó funciones racionales elípticas para producir aproximaciones a filtros ideales. ^[35] Un caso especial de funciones racionales elípticas son los polinomios de Chebyshev debido a Pafnuty Chebyshev (1821-1894) y es una parte importante de la teoría de aproximación . ^[36] Los polinomios de Chebyshev se utilizan ampliamente para diseñar filtros. En 1930, el físico británico Stephen Butterworth (1885-1958) diseñó el filtro Butterworth , también conocido como el filtro maximally-flat, utilizando polinomios de Butterworth . ^[37] El trabajo de Butterworth fue completamente independiente de Cauer, pero más tarde se descubrió que los polinomios de Butterworth eran un caso límite de los polinomios de Chebyshev. ^[38] Incluso antes (1929) y nuevamente de forma independiente, el ingeniero y científico estadounidense Edward Lawry Norton (1898-1983) diseñó un filtro mecánico de máxima superficie con una respuesta completamente análoga al filtro eléctrico de Butterworth. ^[39]

En la década de 2000, el interés en un mayor desarrollo de la teoría de síntesis de redes recibió un impulso cuando la teoría comenzó a aplicarse a grandes sistemas mecánicos. ^[40] El problema no resuelto de la minimización es mucho más importante en el dominio mecánico que en el eléctrico debido al tamaño y al costo de los componentes. ^[41] En 2017, investigadores de la Universidad de Cambridge, limitándose a considerar funciones racionales bicuadráticas , determinaron que las realizaciones de Bott-Duffin de tales funciones para todas las redes serie-paralelo y la mayoría de las redes arbitrarias tenían el número mínimo de reactancias (Hughes, 2017). Encontraron este resultado sorprendente, ya que mostraba que el método de Bott-Duffin no era tan no mínimo como se pensaba anteriormente. ^[42] Esta investigación se centró en parte en revisar el Catálogo de Ladenheim . Se trata de una enumeración de todas las redes RLC distintas con no más de dos reactancias y tres resistencias. Edward Ladenheim llevó a cabo este trabajo en 1948 mientras era estudiante de Foster. La relevancia del catálogo es que todas estas redes se realizan mediante funciones bicuadráticas. ^[43]

Aplicaciones

La aplicación más utilizada de la síntesis de redes es el diseño de filtros de procesamiento de señales . Los diseños modernos de dichos filtros son casi siempre algún tipo de filtro de síntesis de redes . ^[44]

Hendrik Bode

Otra aplicación es el diseño de redes de adaptación de impedancia . La adaptación de impedancia en una sola frecuencia requiere sólo una red trivial, normalmente un componente. Sin embargo, la adaptación de impedancia en una banda ancha requiere una red más compleja, incluso en el caso de que las resistencias de la fuente y de la carga no varíen con la frecuencia. Hacer esto con elementos pasivos y sin el uso de transformadores da como resultado un diseño similar a un filtro. Además, si la carga no es una resistencia pura , entonces sólo es posible lograr una adaptación perfecta en un número de frecuencias discretas; la adaptación en la banda en su conjunto debe ser aproximada. ^[45] El diseñador primero prescribe la banda de frecuencia en la que debe operar la red de adaptación y luego diseña un filtro de paso de banda para esa banda. La única diferencia esencial entre un filtro estándar y una red de adaptación es que las impedancias de la fuente y de la carga no son iguales. ^[46]

Existen diferencias entre los filtros y las redes de adaptación en las que los parámetros son importantes. A menos que la red tenga una función dual, el diseñador no está demasiado preocupado por el comportamiento de la red de adaptación de impedancia fuera de la banda de paso . No importa si la banda de transición no es muy estrecha o si la banda de supresión tiene una atenuación deficiente . De hecho, intentar mejorar el ancho de banda más allá de lo estrictamente necesario restará precisión a la adaptación de impedancia. Con un número dado de elementos en la red, reducir el ancho de banda de diseño mejora la adaptación y viceversa. Las limitaciones de las redes de adaptación de impedancia fueron investigadas por primera vez por el ingeniero y científico estadounidense Hendrik Wade Bode en 1945, y el principio de que necesariamente deben ser similares a los filtros fue establecido por el científico informático italoamericano Robert Fano en 1950. ^[47] Un parámetro en la banda de paso que generalmente se establece para los filtros es la pérdida de inserción máxima . Para las redes de adaptación de impedancia, se puede obtener una mejor adaptación estableciendo también una pérdida mínima. Es decir, la ganancia nunca aumenta a la unidad en ningún punto. ^[48]

Las redes con retardo temporal pueden diseñarse mediante síntesis de redes con estructuras similares a filtros. No es posible diseñar una red con retardo que tenga un retardo constante en todas las frecuencias de una banda. Se debe utilizar una aproximación a este comportamiento limitada a un ancho de banda prescrito. El retardo prescrito se producirá como máximo en un número finito de frecuencias puntuales. El filtro de Bessel tiene un retardo temporal máximamente plano. ^[49]

La aplicación de la síntesis de redes no se limita al dominio eléctrico. Puede aplicarse a sistemas en cualquier dominio energético que pueda representarse como una red de componentes lineales. En particular, la síntesis de redes ha encontrado aplicaciones en redes mecánicas en el dominio mecánico. La consideración de la síntesis de redes mecánicas llevó a Malcolm C. Smith a proponer un nuevo elemento de red mecánica, el inerte , que es análogo al condensador eléctrico. ^[50] Los componentes mecánicos con la propiedad de inercia han encontrado una aplicación en las suspensiones de los coches de carreras de Fórmula Uno . ^[51]

Técnicas de síntesis

La síntesis comienza eligiendo una técnica de aproximación que proporcione una función racional que se aproxime a la función requerida de la red. Si la función se va a implementar con componentes pasivos, la función también debe cumplir las condiciones de una función real positiva (PRF). ^[52] La técnica de síntesis utilizada depende en parte de qué forma de red se desea y en parte de cuántos tipos de elementos se necesitan en la red. Una red de un tipo de elemento es un caso trivial, que se reduce a una impedancia de un solo elemento. Una red de dos tipos de elementos (LC, RC o RL) se puede sintetizar con la síntesis de Foster o Cauer. Una red de tres tipos de elementos (una red RLC) requiere un tratamiento más avanzado, como la síntesis de Brune o Bott-Duffin. ^[53]

Se puede determinar qué tipos de elementos se requieren y cuántos tipos de ellos examinando los polos y ceros (llamados colectivamente frecuencias críticas) de la función. ^[54] El requisito sobre las frecuencias críticas se proporciona para cada tipo de red en las secciones pertinentes a continuación.

Fomentar la síntesis

La síntesis de Foster, en su forma original, sólo se puede aplicar a redes LC. Una PRF representa una red LC de dos elementos si las frecuencias críticas de todos existen en el eje del plano complejo de (el plano s ) y alternarán entre polos y ceros. Debe haber una única frecuencia crítica en el origen y en el infinito, todas las demás deben estar en pares conjugados . debe ser la relación de un polinomio par e impar y sus grados deben diferir exactamente en uno. Estos requisitos son una consecuencia del teorema de reactancia de Foster . ^[55] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$ ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$ ${\displaystyle Z(s)}$

Forma Foster I

Ejemplo de realización de una forma Foster I

La primera forma de Foster (forma Foster I) se sintetiza como un conjunto de circuitos LC paralelos en serie. Por ejemplo, ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}}$

se puede expandir en fracciones parciales como,

${\displaystyle Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\approx {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}}$

El primer término representa un inductor en serie, consecuencia de tener un polo en el infinito. Si hubiera tenido un polo en el origen, representaría un condensador en serie. Los dos términos restantes representan pares conjugados de polos en el eje. Cada uno de estos términos puede sintetizarse como un circuito LC paralelo mediante comparación con la expresión de impedancia para dicho circuito, ^[56] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle Z_{LC}(s)={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

Formulario Foster II

Ejemplo de realización de una forma Foster II

La forma Foster II se sintetiza como un conjunto de circuitos LC en serie en paralelo. Se utiliza el mismo método de expansión en fracciones parciales que para la forma Foster I, pero se aplica a la admitancia , , en lugar de . Utilizando el mismo ejemplo de PRF que antes, ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Y(s)={1 \over Z(s)}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}}$

Ampliado en fracciones parciales,

${\displaystyle Y(s)\simeq {1 \over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}}+{\frac {1.415s}{0.4719s^{2}+1}}}$

El primer término representa un inductor en derivación, consecuencia de tener un polo en el origen (o, equivalentemente, tiene un cero en el origen). Si hubiera tenido un polo en el infinito, eso representaría un condensador en derivación. Los dos términos restantes representan pares conjugados de polos en el eje. Cada uno de estos términos puede sintetizarse como un circuito LC en serie comparándolo con la expresión de admitancia para dicho circuito, ^[57] ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle Y_{LC}(s)={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}}$

El circuito resultante se muestra en la figura.

Extensión a redes RC o RL

La síntesis de Foster se puede extender a cualquier red de dos elementos. Por ejemplo, los términos de fracción parcial de una red RC en forma Foster I representarán cada uno un elemento R y C en paralelo. En este caso, las fracciones parciales tendrán la forma ^[58].

${\displaystyle Z_{RC}(s)={\frac {R}{RCs+1}}}$

Otras formas y tipos de elementos se pueden encontrar por analogía. Al igual que con una red LC, la PRF puede probarse para ver si es una red RC o RL examinando las frecuencias críticas. Las frecuencias críticas deben estar todas en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros, y debe haber un número igual de cada una. Si la frecuencia crítica más cercana al origen o en el origen es un polo, entonces la PRF es una red RC si representa un , o es una red RL si representa un . Y viceversa si la frecuencia crítica más cercana al origen o en el origen es un cero. Estas extensiones de la teoría también se aplican a las formas de Cauer que se describen a continuación. ^[59] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$

Inmitancia

En la síntesis de Foster anterior, la expansión de la función es el mismo procedimiento tanto en la forma Foster I como en la forma Foster II. Es conveniente, especialmente en trabajos teóricos, tratarlas juntas como una inmitancia en lugar de por separado como una impedancia o una admitancia. Solo es necesario declarar si la función representa una impedancia o una admitancia en el punto en que se necesita realizar un circuito real. La inmitancia también se puede utilizar de la misma manera con las formas Cauer I y Cauer II y otros procedimientos. ^[60]

Síntesis de Cauer

La síntesis de Cauer es una síntesis alternativa a la síntesis de Foster y las condiciones que debe cumplir una PRF son exactamente las mismas que las de la síntesis de Foster. Al igual que la síntesis de Foster, existen dos formas de síntesis de Cauer y ambas pueden extenderse a redes RC y RL.

Cauer yo forma

Ejemplo de realización de una forma Cauer I

La forma Cauer I se expande en una fracción continua . Usando el mismo ejemplo que se usó para la forma Foster I, ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)=0.5s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{0.5s}}}}}}}}}$

o, en notación más compacta,

${\displaystyle Z(s)=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s].}$

Los términos de esta expansión se pueden implementar directamente como los valores de los componentes de una red en escalera, como se muestra en la figura. ^[61] La PRF dada puede tener un denominador que tenga un grado mayor que el numerador. En tales casos, se expande en su lugar el inverso multiplicativo de la función. Es decir, si la función representa , entonces se expande en su lugar y viceversa. ^[62] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$

Formulario Cauer II

Ejemplo de realización de una forma Cauer II

La forma Cauer II se expande exactamente de la misma manera que la forma Cauer I, excepto que el término de grado más bajo se extrae primero en la expansión de fracción continua en lugar del término de grado más alto como se hace en la forma Cauer I. ^[63] El ejemplo utilizado para la forma Cauer I y las formas Foster cuando se expanden como una forma Cauer II da como resultado que algunos elementos tengan valores negativos. ^[64] Por lo tanto, esta PRF particular no se puede realizar en componentes pasivos como una forma Cauer II sin la inclusión de transformadores o inductancias mutuas . ^[65] ${\displaystyle Z(s)}$

La razón esencial por la que el ejemplo no se puede realizar como una forma Cauer II es que esta forma tiene una topología de paso alto . El primer elemento extraído en la fracción continua es un condensador en serie. Esto hace imposible que se realice el cero de en el origen. La forma Cauer I, por otro lado, tiene una topología de paso bajo y naturalmente tiene un cero en el origen. ^[66] Sin embargo, la de esta función se puede realizar como una forma Cauer II ya que el primer elemento extraído es un inductor en derivación. Esto da un polo en el origen para , pero eso se traduce en el cero necesario en el origen para . La expansión de la fracción continua es, ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \over 1.735s}\right]}$

y la red realizada se muestra en la figura.

Síntesis de Brune

La síntesis de Brune puede sintetizar cualquier PRF arbitraria, por lo que en general dará como resultado una red de tipo 3 elementos (es decir, RLC). Los polos y ceros pueden estar en cualquier lugar de la mitad izquierda del plano complejo. ^[67] El método de Brune comienza con algunos pasos preliminares para eliminar frecuencias críticas en el eje imaginario como en el método de Foster. Estos pasos preliminares a veces se denominan preámbulo de Foster . ^[68] Luego hay un ciclo de pasos para producir una cascada de secciones de Brune. ^[69]

Eliminación de frecuencias críticas en el eje imaginario

Los polos y ceros en el eje representan elementos L y C que se pueden extraer de la PRF. Específicamente, ${\displaystyle j\omega }$

• Un polo en el origen representa un condensador en serie.
• Un polo en el infinito representa una inductancia en serie.
• Un cero en el origen representa un inductor en derivación.
• Un cero en el infinito representa un condensador en derivación.
• un par de polos en representa un circuito LC paralelo de frecuencia resonante en serie ${\displaystyle s=\pm i\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$
• Un par de ceros en representa un circuito LC en serie de frecuencia resonante en derivación. ${\displaystyle s=\pm i\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

Después de estas extracciones, la PRF restante no tiene frecuencias críticas en el eje imaginario y se conoce como función de reactancia mínima y susceptancia mínima . La síntesis de Brune propiamente dicha comienza con una función de este tipo. ^[70]

Esquema general del método

La esencia del método de Brune es crear un par conjugado de ceros en el eje extrayendo las partes real e imaginaria de la función en esa frecuencia, y luego extraer el par de ceros como un circuito resonante. Esta es la primera sección de Brune de la red sintetizada. El resto resultante es otra función de reactancia mínima que es dos grados menor. Luego se repite el ciclo, y cada ciclo produce una sección de Brune más de la red final hasta que solo queda un valor constante (una resistencia). ^[71] La síntesis de Brune es canónica, es decir, el número de elementos en la red sintetizada final es igual al número de coeficientes arbitrarios en la función de impedancia. Por lo tanto, el número de elementos en el circuito sintetizado no se puede reducir más. ^[72] ${\displaystyle i\omega }$

Eliminación de la resistencia mínima

Extrayendo la resistencia mínima

Una función de reactancia mínima tendrá una parte real mínima, , en alguna frecuencia . Esta resistencia se puede extraer de la función dejando un resto de otra FRP llamada función real positiva mínima , o simplemente función mínima . ^[73] Por ejemplo, la función de reactancia mínima ${\displaystyle R_{\text{min}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2}+s+2}}}$

tiene y . La función mínima, , es por lo tanto, ${\displaystyle \omega _{\text{min}}={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle R_{\text{min}}=1}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$

${\displaystyle Z_{1}(s)=Z(s)-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}{2s^{2}+s+2}}}$

Eliminación de una inductancia o capacitancia negativa

Extracción de inductancia negativa

Como no tiene parte real, podemos escribir, ${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})}$

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})=iX\ .}$

Para la función de ejemplo,

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt {2}}=iX\ .}$

En este caso, es negativo y lo interpretamos como la reactancia de un inductor de valor negativo, . Por lo tanto, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle iX=i\omega _{0}L_{1}}$y

${\displaystyle L_{1}=-1}$

después de sustituir los valores de y . Esta inductancia se extrae de , dejando otra PRF, , ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle iX}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$

${\displaystyle Z_{2}(s)=Z_{1}(s)-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}\ .}$^[74]

La razón para extraer un valor negativo es porque es una PRF, lo cual no sería si fuera positiva. Esto garantiza que también será una PRF (porque la suma de dos PRF también es PRF). ^[75] Para los casos donde es un valor positivo, se utiliza la función de admitancia en su lugar y se extrae una capacitancia negativa. ^[76] Cómo se implementan estos valores negativos se explica en una sección posterior. ${\displaystyle -sL_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle X}$

Eliminación de un par conjugado de ceros

Extracción de un par de ceros

En los pasos anteriores se eliminaron tanto las partes reales como las imaginarias de . Esto deja un par de ceros en , como se muestra al factorizar la función de ejemplo; ^[77] ${\displaystyle Z(i\omega _{0})}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle \pm i\omega _{0}}$

${\displaystyle Z_{2}(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)(2s+2)}{2s^{2}+s+2}}\ .}$

Dado que dicho par de ceros representa un circuito resonante en derivación, lo extraemos como un par de polos de la función de admitancia,

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)(2s+2)}}\\&={1 \over {2s+2}}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\&=Y_{3}(s)+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{aligned}}}$

El término más a la derecha es el circuito resonante extraído con y . ^[78] La red sintetizada hasta ahora se muestra en la figura. ${\displaystyle L_{2}=2}$ ${\displaystyle C_{2}=1/4}$

Eliminación de un polo en el infinito

Extracción de un polo en el infinito

${\displaystyle Z_{3}(s)}$Debe tener un polo en el infinito, ya que allí se creó uno mediante la extracción de una inductancia negativa. Este polo ahora puede extraerse como una inductancia positiva. ^[79]

${\displaystyle Z_{3}(s)={1 \over Y_{3}(s)}=2s+2=Z_{4}(s)+2s.}$

Así como se muestra en la figura. ${\displaystyle L_{3}=2}$

Reemplazo de inductancia negativa con un transformador

Eliminar la inductancia negativa mediante el uso de un transformador

La inductancia negativa no se puede implementar directamente con componentes pasivos. Sin embargo, la "T" de los inductores se puede convertir en inductores acoplados mutuamente que absorben la inductancia negativa. ^[80] Con un coeficiente de acoplamiento de la unidad (acoplamiento fuerte), la inductancia mutua, , en el caso del ejemplo es 2,0. ${\displaystyle M}$

Enjuagar y repetir

En general, será otra función de reactancia mínima y luego se repite el ciclo de Brune para extraer otra sección de Brune ^[81] En el caso del ejemplo, la PRF original era de grado 2, por lo que después de reducirla en dos grados, solo queda un término constante que, trivialmente, se sintetiza como una resistencia. ${\displaystyle Z_{4}(s)}$

Positivoincógnita

En el paso dos del ciclo se mencionó que se debe extraer un valor de elemento negativo para garantizar un resto de PRF. Si es positivo, el elemento extraído debe ser un condensador en derivación en lugar de un inductor en serie si el elemento debe ser negativo. Se extrae de la admitancia en lugar de la impedancia . La topología del circuito a la que se llega en el paso cuatro del ciclo es un Π (pi) de condensadores más un inductor en lugar de un tee de inductores más un condensador. Se puede demostrar que este Π de condensadores más inductor es un circuito equivalente del tee de inductores más condensador. Por lo tanto, es permisible extraer una inductancia positiva y luego proceder como si fuera PRF, aunque no lo sea. Se llegará al resultado correcto de todos modos y la función de resto será PRF, por lo que se puede introducir en el siguiente ciclo. ^[82] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle Z_{2}(s)}$

Síntesis de Bott-Duffin

Ejemplo de los pasos 1 y 2 de la síntesis de Bott-Duffin

Ejemplo de los pasos 3 y 4 de la síntesis de Bott-Duffin

La síntesis de Bott-Duffin comienza como la síntesis de Brune, eliminando todos los polos y ceros del eje. Luego se invoca el teorema de Richards , que establece que: ${\displaystyle i\omega }$

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}$

Si es una PRF entonces es una PRF para todos los valores reales positivos de . ^[83] ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle R(s)}$ ${\displaystyle k}$

Al hacer que el sujeto de la expresión resulte, ^[84] ${\displaystyle Z(s)}$

${\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}$

En las figuras se muestra un ejemplo de un ciclo de síntesis de Bott-Duffin. Los cuatro términos de esta expresión son, respectivamente, una PRF ( en el diagrama), una inductancia, , en paralelo con ella, otra PRF ( en el diagrama), y una capacitancia, , en paralelo con ella. A continuación, se extrae un par de frecuencias críticas en el eje de cada una de las dos nuevas PRF (detalles no dados aquí) cada una realizada como un circuito resonante. Las dos PRF residuales ( y en el diagrama) son cada una dos grados inferiores a . ^[85] A continuación, se aplica repetidamente el mismo procedimiento a las nuevas PRF generadas hasta que sólo quede un único elemento. ^[86] Dado que el número de PRF generadas se duplica con cada ciclo, el número de elementos sintetizados crecerá exponencialmente. Aunque el método de Bott-Duffin evita el uso de transformadores y se puede aplicar a cualquier expresión capaz de realizarse como una red pasiva, tiene un uso práctico limitado debido al alto número de componentes requerido. ^[87] ${\displaystyle Z_{2}(s)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i\omega }$ ${\displaystyle Y_{3}(s)}$ ${\displaystyle Z_{4}(s)}$ ${\displaystyle Z(s)}$

Síntesis de Bayard

La síntesis de Bayard es un método de síntesis en el espacio de estados basado en el procedimiento de factorización de Gauss . Este método devuelve una síntesis que utiliza el número mínimo de resistencias y no contiene giradores . Sin embargo, el método no es canónico y, en general, devolverá un número no mínimo de elementos de reactancia. ^[88]

Síntesis de Darlington

La síntesis Darlington comienza desde una perspectiva diferente a las técnicas discutidas hasta ahora, que parten de una función racional prescrita y la realizan como una impedancia de un puerto . La síntesis Darlington comienza con una función racional prescrita que es la función de transferencia deseada de una red de dos puertos . Darlington demostró que cualquier PRF puede realizarse como una red de dos puertos utilizando solo elementos L y C con una sola resistencia que termina el puerto de salida. ^[89] Los métodos Darlington y relacionados se denominan método de pérdida de inserción . ^[90] El método se puede extender a redes de múltiples puertos con cada puerto terminado con una sola resistencia. ^[91]

En general, el método Darlington requiere transformadores o inductores acoplados. Sin embargo, la mayoría de los tipos de filtros más comunes se pueden construir mediante el método Darlington sin estas características indeseables. ^[92]

Realizaciones activas y digitales

Un ejemplo de un filtro de paso bajo de celda Sallen-Key

Si se elimina el requisito de utilizar solo elementos pasivos, la realización se puede simplificar enormemente. Se pueden utilizar amplificadores para amortiguar las partes de la red entre sí para que no interactúen. ^[93] Cada celda amortiguada puede realizar directamente un par de polos de la función racional. Entonces no hay necesidad de ningún tipo de expansión iterativa de la función. El primer ejemplo de este tipo de síntesis se debe a Stephen Butterworth en 1930. ^[94] El filtro Butterworth que produjo se convirtió en un clásico del diseño de filtros, pero se implementó con más frecuencia con componentes puramente pasivos en lugar de activos. Los diseños de este tipo que se pueden aplicar de manera más general incluyen la topología Sallen-Key debido a RP Sallen y EL Key en 1955 en el Laboratorio Lincoln del MIT y el filtro bicuadrático . ^[95] Al igual que el enfoque de Darlington, Butterworth y Sallen-Key comienzan con una función de transferencia prescrita en lugar de una impedancia. Una importante ventaja práctica de la implementación activa es que puede evitar por completo el uso de componentes bobinados (transformadores e inductores). ^[96] Estos son indeseables por razones de fabricación. ^[97] Otra característica de los diseños activos es que no se limitan a las PRF. ^[98]

Las realizaciones digitales, al igual que los circuitos activos, no se limitan a las PRF y pueden implementar cualquier función racional simplemente programándola. Sin embargo, la función puede no ser estable. Es decir, puede provocar oscilaciones . Se garantiza que las PRF son estables, pero otras funciones pueden no serlo. La estabilidad de una función racional se puede determinar examinando los polos y ceros de la función y aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist . ^[99]

Referencias

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Bibliografía

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