filtro de mantequilla

Tipo de filtro de procesamiento de señal

El gráfico de respuesta de frecuencia del artículo de Butterworth de 1930. ^[1]

El filtro Butterworth es un tipo de filtro de procesamiento de señal diseñado para tener una respuesta de frecuencia lo más plana posible en la banda de paso . También se le conoce como filtro de magnitud máximamente plana . Fue descrito por primera vez en 1930 por el ingeniero y físico británico Stephen Butterworth en su artículo titulado "Sobre la teoría de los amplificadores de filtro". ^[1]

Papel original

Butterworth tenía fama de resolver problemas matemáticos muy complejos que se consideraban "imposibles". En ese momento, el diseño de filtros requería una cantidad considerable de experiencia en diseño debido a las limitaciones de la teoría que se utilizaba en ese momento . El filtro no fue de uso común durante más de 30 años después de su publicación. Butterworth afirmó que:

"Un filtro eléctrico ideal no sólo debería rechazar completamente las frecuencias no deseadas sino que también debería tener una sensibilidad uniforme para las frecuencias deseadas".

No se puede lograr un filtro tan ideal, pero Butterworth demostró que se obtenían aproximaciones cada vez más estrechas con un número cada vez mayor de elementos filtrantes de los valores correctos. En ese momento, los filtros generaban una fluctuación sustancial en la banda de paso y la elección de los valores de los componentes era muy interactiva. Butterworth demostró que se podía diseñar un filtro de paso bajo cuya frecuencia de corte estuviera normalizada a 1 radianes por segundo y cuya respuesta de frecuencia ( ganancia ) fuera

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

donde es la frecuencia angular en radianes por segundo y es el número de polos en el filtro, igual al número de elementos reactivos en un filtro pasivo. Si  = 1, la respuesta de amplitud de este tipo de filtro en la banda de paso es 1/ √ 2  ≈ 0,7071, que es la mitad de potencia o −3 dB . Butterworth en su artículo sólo se ocupó de filtros con un número par de polos. Quizás no sabía que dichos filtros podían diseñarse con un número impar de polos. Construyó sus filtros de orden superior a partir de filtros de 2 polos separados por amplificadores de válvulas de vacío. Su gráfico de la respuesta de frecuencia de filtros de 2, 4, 6, 8 y 10 polos se muestra como A, B, C, D y E en su gráfico original. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

Butterworth resolvió las ecuaciones para filtros de dos y cuatro polos, mostrando cómo estos últimos podían conectarse en cascada cuando estaban separados por amplificadores de válvulas de vacío y así permitir la construcción de filtros de orden superior a pesar de las pérdidas del inductor . En 1930, no se habían descubierto materiales centrales de bajas pérdidas, como la molypermalloy , y los inductores de audio con núcleo de aire tenían bastantes pérdidas. Butterworth descubrió que era posible ajustar los valores de los componentes del filtro para compensar la resistencia del devanado de los inductores.

Usó formas de bobina de 1,25 ″ de diámetro y 3 ″ de longitud con terminales enchufables. Los condensadores y resistencias asociados estaban contenidos dentro de la forma de bobina enrollada. La bobina formaba parte de la resistencia de carga de placa. Se utilizaron dos polos por tubo de vacío y se utilizó un acoplamiento RC a la rejilla del siguiente tubo.

Butterworth también demostró que el filtro de paso bajo básico podía modificarse para proporcionar funcionalidad de paso bajo , paso alto , paso de banda y supresión de banda .

Descripción general

El diagrama de Bode de un filtro de paso bajo Butterworth de primer orden

La respuesta de frecuencia del filtro Butterworth es máximamente plana (es decir, no tiene ondulaciones ) en la banda de paso y cae hacia cero en la banda de parada . ^{[2] Cuando se ve en un} diagrama de Bode logarítmico , la respuesta desciende linealmente hacia el infinito negativo. La respuesta de un filtro de primer orden cae a −6 dB por octava (−20 dB por década ) (todos los filtros de paso bajo de primer orden tienen la misma respuesta de frecuencia normalizada). Un filtro de segundo orden disminuye a −12 dB por octava, uno de tercer orden a −18 dB y así sucesivamente. Los filtros Butterworth tienen una función de magnitud que cambia monótonamente con , a diferencia de otros tipos de filtros que tienen una ondulación no monótona en la banda de paso y/o en la banda de parada. ${\displaystyle \omega }$

En comparación con un filtro Chebyshev Tipo I/Tipo II o un filtro elíptico , el filtro Butterworth tiene una caída más lenta y, por lo tanto, requerirá un orden más alto para implementar una especificación de banda de parada particular , pero los filtros Butterworth tienen una respuesta de fase más lineal en el banda de paso que los Chebyshev Tipo I/Tipo II y los filtros elípticos pueden lograr.

Ejemplo

La función de transferencia de un diseño de filtro Butterworth de paso bajo de tercer orden que se muestra en la figura de la derecha se ve así:

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

Un filtro de paso bajo de tercer orden ( topología de Cauer ). El filtro se convierte en un filtro Butterworth con frecuencia de corte =1 cuando (por ejemplo) =4/3 F, =1 Ω, =3/2 H y =1/2 H. ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{3}}$

Un ejemplo simple de un filtro Butterworth es el diseño de paso bajo de tercer orden que se muestra en la figura de la derecha, con  = 4/3 F,  = 1 Ω,  = 3/2 H y  = ​​1/2 H. ^{[3 ]} Tomando la impedancia de los condensadores como y la impedancia de los inductores como , donde es la frecuencia compleja, las ecuaciones del circuito producen la función de transferencia para este dispositivo: ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1/(Cs)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Ls}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

La magnitud de la respuesta de frecuencia (ganancia) está dada por ${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

obtenido de

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

y la fase está dada por

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

Ganancia y retardo de grupo del filtro Butterworth de tercer orden con ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

El retardo de grupo se define como la derivada negativa del desplazamiento de fase con respecto a la frecuencia angular y es una medida de la distorsión en la señal introducida por las diferencias de fase para diferentes frecuencias. La ganancia y el retraso de este filtro se muestran en el gráfico de la izquierda. Se puede observar que no hay ondulaciones en la curva de ganancia ni en la banda de paso ni en la banda de parada.

El registro del valor absoluto de la función de transferencia se representa en un espacio de frecuencia complejo en el segundo gráfico de la derecha. La función está definida por los tres polos en la mitad izquierda del plano de frecuencia complejo. ${\displaystyle H(s)}$

Gráfico de densidad logarítmica de la función de transferencia en un espacio de frecuencia complejo para el filtro Butterworth de tercer orden con =1. Los tres polos se encuentran en un círculo de radio unitario en el semiplano izquierdo. ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

Estos están dispuestos sobre una circunferencia de radio unidad , simétrica respecto al eje real. La función de ganancia tendrá tres polos más en el semiplano derecho para completar el círculo. ${\displaystyle s}$

Al reemplazar cada inductor con un capacitor y cada capacitor con un inductor, se obtiene un filtro Butterworth de paso alto.

Un filtro Butterworth de paso de banda se obtiene colocando un capacitor en serie con cada inductor y un inductor en paralelo con cada capacitor para formar circuitos resonantes. El valor de cada componente nuevo debe seleccionarse para que resuene con el componente antiguo en la frecuencia de interés.

Un filtro Butterworth de parada de banda se obtiene colocando un capacitor en paralelo con cada inductor y un inductor en serie con cada capacitor para formar circuitos resonantes. El valor de cada componente nuevo debe seleccionarse para que resuene con el componente antiguo en la frecuencia que se va a rechazar.

Función de transferencia

Gráfico de la ganancia de los filtros de paso bajo Butterworth de órdenes 1 a 5, con frecuencia de corte . Tenga en cuenta que la pendiente es de 20  dB/década, donde está el orden de los filtros. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Como todos los filtros, el prototipo típico es el filtro de paso bajo, que puede modificarse para convertirse en un filtro de paso alto o colocarse en serie con otros para formar filtros de paso de banda y de eliminación de banda , y versiones de orden superior de estos.

La ganancia de un filtro de paso bajo Butterworth de orden th se da en términos de la función de transferencia como ${\displaystyle G(\omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {j\omega }{j\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

donde es el orden del filtro, es la frecuencia de corte (aproximadamente la frecuencia de −3 dB) y es la ganancia de CC (ganancia a frecuencia cero). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

Se puede ver que a medida que se acerca al infinito, la ganancia se convierte en una función rectangular y las frecuencias inferiores pasarán con ganancia , mientras que las frecuencias superiores se suprimirán. Para valores más pequeños de , el límite será menos nítido. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle n}$

Deseamos determinar la función de transferencia donde (a partir de la transformada de Laplace ). Porque y, como propiedad general de la transformada de Laplace en , , si seleccionamos tal que: ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$ ${\displaystyle s=j\omega }$ ${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

luego, con , tenemos la respuesta en frecuencia del filtro Butterworth. ${\displaystyle s=j\omega }$

Los polos de esta expresión se encuentran en un círculo de radio en puntos equidistantes y simétricos alrededor del eje real negativo. Por lo tanto , para la estabilidad, la función de transferencia, , se elige de manera que contenga solo los polos en el semiplano real negativo de . El -ésimo polo está especificado por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

y por lo tanto

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

La función de transferencia (o sistema) puede escribirse en términos de estos polos como

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$.

donde es el producto de un operador de secuencia. El denominador es un polinomio de Butterworth en . ${\displaystyle \textstyle {\prod }}$ ${\displaystyle s}$

Polinomios de Butterworth normalizados

Los polinomios de Butterworth se pueden escribir en forma compleja como se indicó anteriormente, pero generalmente se escriben con coeficientes reales multiplicando pares de polos que son conjugados complejos, como y . Los polinomios se normalizan estableciendo . Los polinomios de Butterworth normalizados tienen entonces la forma de producto general ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

En la siguiente tabla se muestran los factores de los polinomios de Butterworth de orden 1 a 10 (con seis decimales).

Los factores de los polinomios de Butterworth de orden 1 a 6 se muestran en la siguiente tabla (exactos).

donde la letra griega phi ( o ) representa la proporción áurea . Es un número irracional que es solución de la ecuación cuadrática con un valor de ^{[4] [5]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$( OEIS : A001622 )

El polinomio de Butterworth también se puede escribir como una suma ${\displaystyle n}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

con sus coeficientes dados por la fórmula de recursión ^{[6] [7]} ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

y por la fórmula del producto

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

dónde

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

Más, . Los coeficientes redondeados de los primeros 10 polinomios de Butterworth son: ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle B_{n}(s)}$

Los polinomios de Butterworth normalizados se pueden utilizar para determinar la función de transferencia para cualquier frecuencia de corte del filtro de paso bajo , de la siguiente manera ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$, dónde ${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

También es posible la transformación a otras formas de banda; consulte el filtro de prototipo .

Planitud máxima

Suponiendo y , se puede demostrar que la derivada de la ganancia con respecto a la frecuencia es ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ ${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

que es monótonamente decreciente para todos ya que la ganancia siempre es positiva. Por lo tanto, la función de ganancia del filtro Butterworth no tiene ondulaciones. La expansión en serie de la ganancia está dada por ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

En otras palabras, todas las derivadas de la ganancia hasta la derivada 2, pero sin incluirla, son cero en , lo que da como resultado una "planicidad máxima". Si el requisito de ser monótono se limita sólo a la banda de paso y se permiten ondulaciones en la banda de parada, entonces es posible diseñar un filtro del mismo orden, como el filtro Chebyshev inverso , que sea más plano en la banda de paso que el filtro "máximamente plano" Butterworth. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Reducción de alta frecuencia

Nuevamente suponiendo que la pendiente del logaritmo de la ganancia para grandes es ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n.}$

En decibelios , la caída de alta frecuencia es, por lo tanto, de 20  dB/década, o 6  dB/octava (se utiliza el factor de 20 porque la potencia es proporcional al cuadrado de la ganancia de voltaje; consulte la regla de los 20 log ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Atenuación de corte no estándar

La atenuación de corte de los filtros Butterworth suele definirse como −3,01 dB. Si se desea utilizar una atenuación diferente en la frecuencia de corte, entonces se puede aplicar el siguiente factor a cada polo, con lo cual los polos seguirán estando en un círculo, pero el radio ya no será la unidad. La ecuación de atenuación de corte se puede derivar fácilmente mediante manipulación algebraica de la ecuación definitoria de Butterworth indicada en la parte superior de la página. ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}\times (10^{-\alpha /10}-1)^{{-1}/{2n}}&\qquad {\text{For 0}}\geq \alpha >-\infty \end{aligned}}}$$

dónde:

${\displaystyle p_{A}}$¿Está el polo reubicado posicionado para establecer la atenuación de corte deseada?

${\displaystyle p_{1}}$es un polo de corte de −3,01 dB que se encuentra en el círculo unitario.

${\displaystyle \alpha }$es la atenuación deseada en la frecuencia de corte en dB (−1 dB, −10 dB, etc.)

${\displaystyle n}$es el número de polos (el orden del filtro).

Implementación y diseño de filtros.

Hay varias topologías de filtro diferentes disponibles para implementar un filtro analógico lineal. La topología más utilizada para una realización pasiva es la topología de Cauer, y la topología más utilizada para una realización activa es la topología de Sallen-Key.

topología de cauer

Filtro Butterworth usando topología Cauer

La topología de Cauer utiliza componentes pasivos (condensadores en derivación e inductores en serie) para implementar un filtro analógico lineal. El filtro Butterworth que tiene una función de transferencia determinada se puede realizar utilizando una forma Cauer 1. El k -ésimo elemento viene dado por ^[9]

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

El filtro puede comenzar con un inductor en serie si lo desea, en cuyo caso los L _k son k impares y los C _k son k pares. Estas fórmulas pueden combinarse útilmente haciendo que L _k y C _k sean iguales a g _k . Es decir, g _k es la inmitancia dividida por s .

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

Estas fórmulas se aplican a un filtro biterminado (es decir, la impedancia de fuente y de carga son iguales a la unidad) con ω _c = 1. Este filtro prototipo se puede escalar para otros valores de impedancia y frecuencia. Para un filtro de terminación simple (es decir, uno impulsado por una fuente de voltaje o corriente ideal), los valores de los elementos vienen dados por ^[3]

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

dónde

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

y

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

Los filtros accionados por voltaje deben comenzar con un elemento en serie y los filtros accionados por corriente deben comenzar con un elemento en derivación. Estas formas son útiles en el diseño de diplexores y multiplexores . ^[3]

Topología de Sallen-Key

Topología de Sallen-Key

La topología de Sallen-Key utiliza componentes activos y pasivos (búferes no inversores, generalmente amplificadores operacionales , resistencias y condensadores) para implementar un filtro analógico lineal. Cada etapa de Sallen-Key implementa un par conjugado de polos; el filtro general se implementa conectando en cascada todas las etapas en serie. Si hay un polo real (en el caso de que sea impar), este debe implementarse por separado, generalmente como un circuito RC , y en cascada con las etapas activas. ${\displaystyle n}$

Para el circuito de Sallen-Key de segundo orden que se muestra a la derecha, la función de transferencia viene dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

Deseamos que el denominador sea uno de los términos cuadráticos de un polinomio de Butterworth. Suponiendo que esto significará que ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

y

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

Esto deja dos valores de componentes indefinidos que pueden elegirse a voluntad.

^{Huelsman [10] [11]} describe los filtros de paso bajo Butterworth con topología Sallen-Key de tercer y cuarto orden, que utilizan solo un amplificador operacional , y Jurišić et al proporcionan otros filtros Butterworth de amplificador único también de orden superior. ^[12]

Implementación digital

Las implementaciones digitales de Butterworth y otros filtros a menudo se basan en el método de transformación bilineal o el método de transformación Z coincidente , dos métodos diferentes para discretizar un diseño de filtro analógico. En el caso de filtros omnipolares como el Butterworth, el método de transformada Z adaptada es equivalente al método de invariancia de impulso . Para órdenes superiores, los filtros digitales son sensibles a los errores de cuantificación, por lo que a menudo se calculan como secciones biquad en cascada , más una sección de primer o tercer orden para órdenes impares.

Comparación con otros filtros lineales

Las propiedades del filtro Butterworth son:

• Respuesta de amplitud monótona tanto en banda de paso como en banda de parada.
• Deslizamiento rápido alrededor de la frecuencia de corte, que mejora al aumentar el orden
• Considerable sobreimpulso y zumbido en la respuesta al paso , que empeora con el aumento del orden.
• Respuesta de fase ligeramente no lineal
• El retardo de grupo depende en gran medida de la frecuencia

Aquí hay una imagen que muestra la ganancia de un filtro Butterworth de tiempo discreto junto a otros tipos de filtros comunes. Todos estos filtros son de quinto orden.

El filtro Butterworth disminuye más lentamente alrededor de la frecuencia de corte que el filtro Chebyshev o el filtro elíptico , pero sin ondulación.

Ver también

• filtro de bessel
• Filtro Chebyshev
• Filtro de peine
• Filtro elíptico
• Diseño de filtro

Referencias

1. Butterworth, S. (1930). "Sobre la teoría de los amplificadores de filtro" (PDF) . Experimental Wireless y el ingeniero inalámbrico . 7 : 536–541.
2. Bianchi, Giovanni; Sorrentino, Roberto (2007). Simulación y diseño de filtros electrónicos. Profesional de McGraw-Hill. págs. 17-20. ISBN 978-0-07-149467-0.
3. Matthaei, George L.; Joven, Leo; Jones, paramédico (1964). Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento . McGraw-Hill. págs. 104-107, 105 y 974. LCCN  64007937.
4. Weisstein, Eric W. "Proporción áurea". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
5. OEIS : A001622
6. Bosse, G. (1951). "Siebketten ohne Dämpfungsschwankungen im Durchlaßbereich (Potenzketten)". Frecuencia . 5 (10): 279–284. Código Bib : 1951Freq....5..279B. doi :10.1515/FREQ.1951.5.10.279. S2CID  124123311.
7. Weinberg, Luis (1962). Análisis y síntesis de redes. Malabar, Florida: Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. (publicado en 1975). págs. 494–496. hdl :2027/mdp.39015000986086. ISBN 0-88275-321-5. Consultado el 18 de junio de 2022 .
8. Filtro Butterworth # Papel original
9. US 1849656, William R. Bennett, "Transmission Network", publicado el 15 de marzo de 1932 
10. Huelsman, LP (mayo de 1971). "Realización de red RC activa de condensador de igual valor de una característica Butterworth de paso bajo de tercer orden". Letras de Electrónica . 7 (10): 271–272. Código Bib :1971ElL.....7..271H. doi :10.1049/el:19710185.
11. Huelsman, LP (diciembre de 1974). "Realización de una red RC activa de condensador de igual valor de una característica Butterworth de paso bajo de cuarto orden". Actas del IEEE . 62 (12): 1709. doi :10.1109/PROC.1974.9689.
12. Jurišić, Dražen; Moschytz, George S.; Mijat, Neven (2008). "Filtros de polos RC activos, de un solo amplificador, de baja sensibilidad, mediante tablas". Automática . 49 (3–4): 159–173.