Topología de Sallen-Key

Topología de filtro electrónico

La topología de Sallen-Key es una topología de filtro electrónico utilizada para implementar filtros activos de segundo orden que es particularmente valorada por su simplicidad. ^[1] Es una forma degenerada de una topología de filtro de fuente de voltaje controlada por voltaje ( VCVS ) . Fue introducido por RP Sallen y EL Key del Laboratorio Lincoln del MIT en 1955. ^[2]

Explicación de funcionamiento

Un filtro VCVS utiliza un amplificador de voltaje con impedancia de entrada prácticamente infinita e impedancia de salida cero para implementar una respuesta de paso bajo , paso alto , paso de banda , eliminación de banda o paso todo de 2 polos . El filtro VCVS permite un alto factor Q y ganancia de banda de paso sin el uso de inductores . Un filtro VCVS también tiene la ventaja de la independencia: los filtros VCVS se pueden conectar en cascada sin que las etapas afecten la sintonización de las demás. Un filtro Sallen-Key es una variación de un filtro VCVS que utiliza un amplificador de ganancia de voltaje unitario (es decir, un amplificador de búfer puro ).

Historia e implementación

En 1955, Sallen y Key utilizaron amplificadores seguidores de cátodos de tubos de vacío ; El seguidor de cátodo es una aproximación razonable a un amplificador con ganancia de voltaje unitario. Las implementaciones modernas de filtros analógicos pueden utilizar amplificadores operacionales (también llamados amplificadores operacionales ). Debido a su alta impedancia de entrada y ganancia fácilmente seleccionable, en las implementaciones de VCVS se suele utilizar un amplificador operacional en una configuración convencional no inversora . ^{[ cita necesaria ]} Las implementaciones de filtros Sallen-Key a menudo utilizan un amplificador operacional configurado como seguidor de voltaje ; sin embargo, los seguidores de emisor o fuente son otras opciones comunes para el amplificador buffer.

Sensibilidad a las tolerancias de los componentes.

Los filtros VCVS son relativamente resistentes a la tolerancia de los componentes , pero obtener un factor Q alto puede requerir una dispersión extrema del valor de los componentes o una alta ganancia del amplificador. ^[1] Los filtros de orden superior se pueden obtener conectando en cascada dos o más etapas.

Sallen genérico: topología clave

Figura 1: Topología genérica del filtro Sallen-Key

En la Figura 1 se muestra la topología genérica del filtro Sallen-Key de ganancia unitaria implementada con un amplificador operacional de ganancia unitaria. El siguiente análisis se basa en el supuesto de que el amplificador operacional es ideal.

Debido a que el amplificador operacional está en una configuración de retroalimentación negativa , sus entradas y deben coincidir (es decir, ). Sin embargo, la entrada inversora está conectada directamente a la salida , por lo que ${\displaystyle v_{+}}$ ${\displaystyle v_{-}}$ ${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$ ${\displaystyle v_{-}}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}}$

Por la ley actual de Kirchhoff (KCL) aplicada en el nodo, ${\displaystyle v_{x}}$

Combinando las ecuaciones (1) y (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Al aplicar la ecuación (1) y KCL en la entrada no inversora del amplificador operacional se obtiene ${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

Lo que significa que

Combinando las ecuaciones (2) y (3) se obtiene

Reordenando la ecuación (4) se obtiene la función de transferencia.

que normalmente describe un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de segundo orden .

Si el componente estuviera conectado a tierra en lugar de a , el filtro sería un divisor de voltaje compuesto por componentes y en cascada con otro divisor de voltaje compuesto por componentes y . El amplificador de búfer arranca la "parte inferior" del componente a la salida del filtro, lo que mejorará el caso simple de dos divisores. Esta interpretación es la razón por la que los filtros Sallen-Key a menudo se dibujan con la entrada no inversora del amplificador operacional debajo de la entrada inversora, enfatizando así la similitud entre la salida y tierra. ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{4}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$

Impedancias de rama

Al elegir diferentes componentes pasivos (p. ej., resistencias y condensadores ) para , , y , el filtro se puede fabricar con características de paso bajo, paso de banda y paso alto. En los ejemplos siguientes, recuerde que una resistencia con resistencia tiene una impedancia de ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{4}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

y un capacitor con capacitancia tiene una impedancia de ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

donde (aquí denota la unidad imaginaria ) es la frecuencia angular compleja y es la frecuencia de una entrada de onda sinusoidal pura . Es decir, la impedancia de un condensador depende de la frecuencia y la impedancia de una resistencia no. ${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$

Aplicación: filtro de paso bajo

Figura 2: Un filtro de paso bajo de ganancia unitaria implementado con una topología de Sallen-Key

En la Figura 2 se muestra un ejemplo de una configuración de paso bajo de ganancia unitaria. Aquí se utiliza un amplificador operacional como buffer, aunque un seguidor de emisor también es efectivo. Este circuito es equivalente al caso genérico anterior con

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

La función de transferencia para este filtro de paso bajo de ganancia unitaria de segundo orden es

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada , la atenuación , el factor Q y la relación de amortiguamiento vienen dados por ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

y

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Entonces,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

El factor determina la altura y el ancho del pico de la respuesta de frecuencia del filtro. A medida que este parámetro aumenta, el filtro tenderá a "sonar" en una única frecuencia de resonancia cercana (consulte " Filtro LC " para una discusión relacionada). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Polos y ceros

Esta función de transferencia no tiene ceros (finitos) y dos polos ubicados en el plano s complejo :

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Hay dos ceros en el infinito (la función de transferencia llega a cero para cada uno de los términos del denominador). ${\displaystyle s}$

Opciones de diseño

Un diseñador debe elegir el y apropiado para su aplicación. El valor es fundamental para determinar la forma final. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden , que tiene una respuesta de frecuencia de banda de paso plana máxima, tiene un valor de . En comparación, un valor de corresponde a la cascada en serie de dos filtros de paso bajo simples idénticos. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle Q=1/2}$

Debido a que hay 2 parámetros y 4 incógnitas, el procedimiento de diseño generalmente fija la relación entre ambas resistencias y la relación entre los capacitores. Una posibilidad es establecer la relación entre y como versus y la relación entre y como versus . Entonces, ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

Como resultado, las expresiones y se reducen a ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

y

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Figura 3: Un filtro de paso bajo, que se implementa con una topología de Sallen-Key, con f ₀  = 15,9 kHz y Q  = 0,5

Comenzando con una elección más o menos arbitraria para, por ejemplo , y , se pueden calcular los valores apropiados para y en favor del y deseado . En la práctica, ciertas elecciones de valores de componentes funcionarán mejor que otras debido a las no idealidades de los amplificadores operacionales reales. ^[3] Como ejemplo, los valores altos de resistencia aumentarán la producción de ruido del circuito, al tiempo que contribuirán al voltaje de compensación de CC en la salida de los amplificadores operacionales equipados con transistores de entrada bipolares. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

Ejemplo

Por ejemplo, el circuito de la Figura 3 tiene y . La función de transferencia está dada por ${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$ ${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

y, después de la sustitución, esta expresión es igual a

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

lo que muestra cómo cada combinación viene con alguna combinación para proporcionar lo mismo y para el filtro de paso bajo. Se utiliza un enfoque de diseño similar para los otros filtros siguientes. ${\displaystyle (R,C)}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

Impedancia de entrada

La impedancia de entrada del filtro de paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria de segundo orden también es de interés para los diseñadores. Está dada por la ecuación. (3) en Cartwright y Kaminsky ^[4] como

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

dónde y . ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

Además, para , existe un valor mínimo de la magnitud de la impedancia, dado por la ecuación. (16) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] que afirma que ${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

Afortunadamente, esta ecuación está bien aproximada por ^[4]

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

para . Para valores fuera de este rango, la constante 0,34 debe modificarse para lograr un error mínimo. ${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$ ${\displaystyle k}$

Además, la frecuencia a la que se produce la magnitud de impedancia mínima viene dada por la ecuación. (15) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] es decir,

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Esta ecuación también se puede aproximar bien usando la ecuación. (20) de Cartwright y Kaminsky, ^[4] que afirma que

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Aplicación: filtro de paso alto

Figura 4: Un filtro de paso alto de Sallen-Key específico con f ₀  = 72 Hz y Q  = 0,5

En la Figura 4 se muestra un filtro de paso alto de ganancia unitaria de segundo orden con y . ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$ ${\displaystyle Q=0.5}$

Un filtro de paso alto de ganancia unitaria de segundo orden tiene la función de transferencia

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

donde la frecuencia natural no amortiguada y el factor se analizan anteriormente en la discusión sobre el filtro de paso bajo. El circuito anterior implementa esta función de transferencia mediante las ecuaciones ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(como antes) y

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Entonces

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Siga un enfoque similar al utilizado para diseñar el filtro de paso bajo anterior.

Aplicación: filtro de paso de banda

Figura 5: Un filtro de paso de banda realizado con una topología VCVS

En la Figura 5 se muestra un ejemplo de un filtro de paso de banda sin ganancia unitaria implementado con un filtro VCVS. Aunque utiliza una topología diferente y un amplificador operacional configurado para proporcionar ganancia sin unidad, se puede analizar usando métodos similares a los de la topología genérica de Sallen-Key. Su función de transferencia está dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

La frecuencia central (es decir, la frecuencia donde la respuesta de magnitud tiene su pico ) está dada por ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

El factor Q viene dado por ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

El divisor de voltaje en el circuito de retroalimentación negativa controla la "ganancia interna" del amplificador operacional: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Si la ganancia interna es demasiado alta, el filtro oscilará. ${\displaystyle G}$

Ver también

• Diseño de filtro
• Topología de filtro electrónico
• Oscilador armónico
• Resonancia

Referencias

1. "Notas del curso EE315A - Capítulo 2" -B. Murmann Archivado el 16 de julio de 2010 en la Wayback Machine.
2. Sallen, RP; EL Key (marzo de 1955). "Un método práctico para diseñar filtros activos RC". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . 2 (1): 74–85. doi :10.1109/tct.1955.6500159. S2CID  51640910.
3. Limitaciones de banda de parada del filtro de paso bajo Sallen-Key.
4. Cartwright, KV; EJ Kaminsky (2013). "Encontrar la impedancia de entrada mínima de un filtro de paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria de segundo orden sin cálculo" (PDF) . Lat. Soy. J. Física. Educar . 7 (4): 525–535.

enlaces externos

• Informe de aplicación de Texas Instruments: análisis de la arquitectura Sallen-Key
• Herramienta de diseño de filtros de Analog Devices: una sencilla herramienta en línea para diseñar filtros activos utilizando amplificadores operacionales de retroalimentación de voltaje.
• Preguntas frecuentes sobre la fuente de diseño de filtro activo de TI
• Amplificadores operacionales para todos – Capítulo 16
• Modificación de alta frecuencia del filtro Sallen-Key: mejora del piso de atenuación de la banda de parada
• Herramienta de cálculo en línea para filtros de paso bajo y paso alto Sallen-Key
• Herramienta de cálculo en línea para diseño y análisis de filtros
• ECE 327: Procedimientos para el laboratorio de filtrado de salida: la Sección 3 ("Filtro de paso bajo suavizado") analiza el filtrado activo con el filtro de paso bajo Sallen-Key Butterworth.
• Filtrado 101: filtros multipolares con Sallen-Key, Matt Duff de Analog Devices explica cómo funciona el circuito Sallen Key