Topología de Zariski

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , la topología de Zariski es una topología que se define principalmente por sus conjuntos cerrados . Es muy diferente de las topologías que se utilizan comúnmente en análisis reales o complejos ; En particular, no es Hausdorff . ^[1] Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para hacer del conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (llamado espectro del anillo) un espacio topológico.

La topología de Zariski permite utilizar herramientas de la topología para estudiar variedades algebraicas , incluso cuando el campo subyacente no es un campo topológico . Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas , que permite construir variedades algebraicas generales pegando variedades afines de una manera similar a la teoría de variedades , donde las variedades se construyen pegando tablas , que son subconjuntos abiertos de afines reales. espacios .

La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. ^[1] En el caso de una variedad algebraica sobre números complejos , la topología de Zariski es, por tanto, más burda que la topología habitual, ya que cada conjunto algebraico está cerrado para la topología habitual.

La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva del Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un campo algebraicamente cerrado y los ideales máximos del anillo de sus funciones regulares. . Esto sugiere definir la topología de Zariski sobre el conjunto de los ideales máximos de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales máximos es cerrado si y sólo si es el conjunto de todos los ideales máximos que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría de esquemas de Grothendieck es considerar como puntos , no sólo los puntos habituales correspondientes a ideales máximos, sino también todas las variedades algebraicas (irreductibles), que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos es cerrado si y sólo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.

Topología de variedades de Zariski.

En la geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas , que fueron introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define en variedades algebraicas . ^[2] La topología de Zariski, definida sobre los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son variedades afines y proyectivas , resulta útil hacer esta definición más explícita en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un campo fijo algebraicamente cerrado k (en geometría algebraica clásica, k suele ser el campo de números complejos ).

Variedades afines

Primero, definimos la topología en el espacio afín formado por las n -tuplas de elementos de $k$ . La topología se define especificando sus conjuntos cerrados, en lugar de sus conjuntos abiertos, y estos se consideran simplemente todos los conjuntos algebraicos de Es decir, los conjuntos cerrados son aquellos de la forma $\mathbb {A} ^{n},$ $\mathbb {A} ^{n}.$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}

Snk

V ( S ) = V (( S )), donde ( S ) es el ideal generado por los elementos de S ;
Para dos ideales cualesquiera de polinomios I , J , tenemos
1. $V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);$
2. $V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).$

De ello se deduce que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de los conjuntos V ( S ) también son de esta forma, de modo que estos conjuntos forman los conjuntos cerrados de una topología (de manera equivalente, sus complementos, denotados D ( S ) y llamados conjuntos abiertos principales , forman la topología misma). Esta es la topología de Zariski en $\mathbb {A} ^{n}.$

Si X es un conjunto algebraico afín (irreducible o no), entonces la topología de Zariski se define simplemente como la topología subespacial inducida por su inclusión en algún equivalente. De manera equivalente, se puede comprobar que: $\mathbb {A} ^{n}.$

Los elementos del anillo de coordenadas afines. $A(X)\,=\,k[x_{1},\dots,x_{n}]/I(X)$ actúan como funciones en X al igual que los elementos de actúan como funciones en ; aquí, I ( X ) es el ideal de todos los polinomios que desaparecen en X . $k[x_{1},\dots,x_{n}]$ $\mathbb {A} ^{n}$
Para cualquier conjunto de polinomios S , sea T el conjunto de sus imágenes en A ( X ). Entonces el subconjunto de X $V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}$ (estas notaciones no son estándar) es igual a la intersección con X de V(S) .

Esto establece que la ecuación anterior, claramente una generalización de la definición de conjuntos cerrados anterior , define la topología de Zariski en cualquier variedad afín. $\mathbb {A} ^{n}$

Variedades proyectivas

Recuerde que el espacio proyectivo n -dimensional se define como el conjunto de clases de equivalencia de puntos distintos de cero al identificar dos puntos que difieren en un múltiplo escalar en k . Los elementos del anillo polinomial generalmente no son funciones porque cualquier punto tiene muchos representantes que producen diferentes valores en un polinomio; sin embargo, para polinomios homogéneos , la condición de tener un valor cero o distinto de cero en cualquier punto proyectivo dado está bien definida ya que los factores escalares múltiples del polinomio. Por lo tanto, si S es cualquier conjunto de polinomios homogéneos podemos hablar razonablemente de $\mathbb {P} ^{n}$ $\mathbb {A} ^{n+1}$ $k[x_{0},\dots,x_{n}]$ $\mathbb {P} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Se pueden establecer los mismos hechos anteriores para estos conjuntos, excepto que la palabra "ideal" debe reemplazarse por la frase " ideal homogéneo ", de modo que V ( S ), para conjuntos S de polinomios homogéneos, define una topología sobre As arriba, los complementos de estos conjuntos se indican como D ( S ) o, si es probable que se produzca confusión, D ′ ( S ). $\mathbb {P} ^{n}.$

La topología proyectiva de Zariski se define para conjuntos algebraicos proyectivos tal como se define la afín para conjuntos algebraicos afines, tomando la topología subespacial. De manera similar, se puede demostrar que esta topología está definida intrínsecamente por conjuntos de elementos del anillo de coordenadas proyectivo, mediante la misma fórmula anterior.

Propiedades

Una propiedad importante de las topologías de Zariski es que tienen una base que consta de elementos simples, a saber, la $D (f)$ para polinomios individuales (o para variedades proyectivas, polinomios homogéneos) $f$ . Que estos formen una base se desprende de la fórmula para la intersección de dos conjuntos cerrados de Zariski dada anteriormente (aplíquela repetidamente a los ideales principales generados por los generadores de $(S)$ ). Los conjuntos abiertos de esta base se denominan conjuntos abiertos distinguidos o básicos . La importancia de esta propiedad resulta en particular de su uso en la definición de un esquema afín .

Según el teorema de base de Hilbert y el hecho de que los anillos noetherianos están cerrados bajo cocientes , todo anillo de coordenadas afín o proyectivo es noetheriano. Como consecuencia, los espacios afines o proyectivos con la topología de Zariski son espacios topológicos noetherianos , lo que implica que cualquier subconjunto cerrado de estos espacios es compacto .

Sin embargo, excepto en el caso de conjuntos algebraicos finitos, ningún conjunto algebraico es jamás un espacio de Hausdorff . En la antigua literatura topológica, se consideraba que "compacto" incluía la propiedad de Hausdorff, y esta convención todavía se respeta en geometría algebraica; por lo tanto, la compacidad en el sentido moderno se llama "cuasicompacidad" en geometría algebraica. Sin embargo, dado que cada punto ( a ₁ , ..., a _n ) es el conjunto cero de los polinomios x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n , los puntos son cerrados y por lo tanto cada variedad satisface el T ₁ axioma .

Todo mapa regular de variedades es continuo en la topología de Zariski. De hecho, la topología de Zariski es la topología más débil (con la menor cantidad de conjuntos abiertos) en la que esto es cierto y en la que los puntos están cerrados. Esto se verifica fácilmente observando que los conjuntos cerrados de Zariski son simplemente las intersecciones de las imágenes inversas de 0 por las funciones polinómicas, consideradas como aplicaciones regulares en $\mathbb {A} ^{1}.$

Espectro de un anillo

En la geometría algebraica moderna, una variedad algebraica suele estar representada por su esquema asociado , que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomórfico con respecto al espectro de un anillo . ^[3] El espectro de un anillo conmutativo A , denotado $Spec A$ , es el conjunto de los ideales primos de A , equipado con la topología de Zariski , para la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos.

V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}

donde yo soy un ideal.

Para ver la conexión con la imagen clásica, observe que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se deduce del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a ₁ , ..., a _n ) tal que el ideal generado por los polinomios x ₁ − a ₁ , ..., x _n − a _n contiene S ; además, estos son ideales máximos y según el Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afín es máximo si y sólo si es de esta forma. Por tanto, V ( S ) es " lo mismo que" los ideales máximos que contienen S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales primordiales; En esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.

Otra forma, quizás más similar a la original, de interpretar la definición moderna es darse cuenta de que los elementos de A en realidad pueden considerarse funciones de los ideales primos de A ; es decir, como funciones en la especificación A. Simplemente, cualquier ideal primo P tiene un campo residuo correspondiente , que es el campo de fracciones del cociente A / P , y cualquier elemento de A tiene un reflejo en este campo residuo. Además, los elementos que realmente están en P son precisamente aquellos cuyo reflejo desaparece en P . Entonces, si pensamos en el mapa, asociado a cualquier elemento a de A :

e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1 }}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)

("evaluación de a "), que asigna a cada punto su reflejo en el campo residual allí, como una función de la especificación A (cuyos valores, ciertamente, se encuentran en diferentes campos en diferentes puntos), entonces tenemos

e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)

De manera más general, V ( I ) para cualquier ideal I es el conjunto común en el que todas las "funciones" en I desaparecen, lo cual es formalmente similar a la definición clásica. De hecho, concuerdan en el sentido de que cuando A es el anillo de polinomios sobre algún campo algebraicamente cerrado k , los ideales máximos de A se identifican (como se analizó en el párrafo anterior) con n -tuplas de elementos de k , sus campos residuales. son simplemente k , y los mapas de "evaluación" son en realidad evaluaciones de polinomios en las n -tuplas correspondientes. Dado que, como se mostró anteriormente, la definición clásica es esencialmente la definición moderna con solo ideales máximos considerados, esto muestra que la interpretación de la definición moderna como "conjuntos cero de funciones" concuerda con la definición clásica donde ambas tienen sentido.

Así como Spec reemplaza a las variedades afines, la construcción Proj reemplaza a las variedades proyectivas en la geometría algebraica moderna. Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva sólo necesitamos reemplazar "ideal" por "ideal homogéneo", aunque existe una complicación que involucra el "ideal máximo irrelevante", que se analiza en el artículo citado.

Ejemplos

Spec k , el espectro de un campo k es el espacio topológico con un elemento.
Spec , el espectro de los números enteros tiene un punto cerrado para cada número primo p correspondiente al ideal máximo , y un punto genérico no cerrado (es decir, cuyo cierre es todo el espacio) correspondiente al ideal cero (0). Entonces los subconjuntos cerrados de Spec son precisamente el espacio total y las uniones finitas de puntos cerrados. $\mathbb {Z}$ $(p)\subseteq \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
Spec k [ t ], el espectro del anillo polinomial sobre un campo k : se sabe que dicho anillo polinómico es un dominio ideal principal y los polinomios irreducibles son los elementos primos de k [ t ]. Si k es algebraicamente cerrado , por ejemplo el cuerpo de números complejos , un polinomio no constante es irreducible si y sólo si es lineal, de la forma t − a , para algún elemento a de k . Entonces, el espectro consta de un punto cerrado para cada elemento a de k y un punto genérico, correspondiente al ideal cero, y el conjunto de puntos cerrados es homeomórfico con la recta afín k equipada con su topología de Zariski. Debido a este homeomorfismo, algunos autores utilizan el término línea afín para el espectro de k [ t ]. Si k no es algebraicamente cerrado, por ejemplo el cuerpo de los números reales , el panorama se vuelve más complicado debido a la existencia de polinomios irreducibles no lineales . En este caso, el espectro consta de un punto cerrado para cada polinomio mónico irreducible y un punto genérico correspondiente al ideal cero. Por ejemplo, el espectro de consta de los puntos cerrados ( x − a ), para a in , los puntos cerrados ( x ² + px + q ) donde p , q están en y con discriminante negativo p ² − 4 q < 0, y finalmente un punto genérico (0). Para cualquier campo, los subconjuntos cerrados de Spec k [ t ] son uniones finitas de puntos cerrados y todo el espacio. (Esto resulta del hecho de que k [ t ] es un dominio ideal principal y, en un dominio ideal principal, los ideales primos que contienen un ideal son los factores primos de la factorización prima de un generador del ideal). $\mathbb {R} [t]$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Otras propiedades

El cambio más dramático en la topología de la imagen clásica a la nueva es que los puntos ya no están necesariamente cerrados; Al ampliar la definición, Grothendieck introdujo puntos genéricos , que son los puntos con cierre máximo, es decir, los ideales primos mínimos . Los puntos cerrados corresponden a ideales máximos de A . Sin embargo, el espectro y el espectro proyectivo siguen siendo espacios T 0 : dados dos puntos P , Q que son ideales primos de A , al menos uno de ellos, digamos P , no contiene al otro. Entonces D ( Q ) contiene P pero, por supuesto, no Q.

Al igual que en la geometría algebraica clásica, cualquier espectro o espectro proyectivo es (cuasi) compacto, y si el anillo en cuestión es noetheriano, entonces el espacio es un espacio topológico noetheriano. Sin embargo, estos hechos son contrarios a la intuición: normalmente no esperamos que los conjuntos abiertos, distintos de los componentes conectados , sean compactos, y para las variedades afines (por ejemplo, el espacio euclidiano) ni siquiera esperamos que el espacio mismo sea compacto. Este es un ejemplo de la inadecuación geométrica de la topología de Zariski. Grothendieck resolvió este problema definiendo la noción de propiedad de un esquema (en realidad, de un morfismo de esquemas), que recupera la idea intuitiva de compacidad: Proj es propio, pero Spec no.

Ver también

Espacio espectral

Citas

^ ab Hulek 2003, pág. 19, 1.1.1..
^ Mumford 1999.
^ Dummit y Foote 2004.

Referencias

Tonto, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 9780471433347.
Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR 0463157, OCLC 13348052
Hulek, Klaus (2003). Geometría Algebraica Elemental. AMS . ISBN 978-0-8218-2952-3.
Mumford, David (1999) [1967]. El Libro Rojo de Variedades y Esquemas . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (ampliado, incluye Michigan Lectures (1974) sobre curvas y sus jacobianos ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. SEÑOR 1748380.
Todd Rowland. "Topología de Zariski". MundoMatemático .