Ideal maximo

Ideal de un anillo contenido en ningún otro ideal excepto el anillo mismo

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un ideal maximal es un ideal que es máximo (con respecto a la inclusión del conjunto ) entre todos los ideales propios . ^{[1] [2]} En otras palabras, I es un ideal maximal de un anillo R si no hay otros ideales contenidos entre I y R.

Los ideales máximos son importantes porque los cocientes de anillos por ideales máximos son anillos simples , y en el caso especial de anillos conmutativos unitarios también son campos .

En la teoría de anillos no conmutativos, un ideal derecho maximal se define análogamente como un elemento maximal en el conjunto de ideales derechos propios, y de manera similar, un ideal izquierdo maximal se define como un elemento maximal del conjunto de ideales izquierdos propios. Dado que un ideal maximal unilateral A no es necesariamente bilateral, el cociente R / A no es necesariamente un anillo, sino un módulo simple sobre R . Si R tiene un ideal derecho maximal único, entonces R se conoce como un anillo local , y el ideal derecho maximal es también el ideal izquierdo maximal único y el ideal bilateral maximal único del anillo, y es de hecho el radical de Jacobson J( R ).

Es posible que un anillo tenga un ideal bilateral máximo único y, sin embargo, carezca de ideales unilaterales máximos únicos: por ejemplo, en el anillo de matrices cuadradas de 2 por 2 sobre un campo, el ideal cero es un ideal bilateral máximo, pero hay muchos ideales rectos máximos.

Definición

Existen otras formas equivalentes de expresar la definición de ideales maximalistas unilaterales y maximalistas bilaterales. Dado un anillo R y un ideal propio I de R (es decir, I ≠ R ), I es un ideal maximalista de R si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• No existe otro ideal propio J de R tal que I ⊊ J .
• Para cualquier ideal J con I ⊆ J , J = I o J = R .
• El anillo cociente R / I es un anillo simple.

Existe una lista análoga para ideales unilaterales, para los cuales sólo se darán las versiones de la derecha. Para un ideal derecho A de un anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes a que A sea un ideal derecho máximo de R :

• No existe ningún otro ideal propio B de R tal que A ⊊ B .
• Para cualquier ideal recto B con A ⊆ B , B = A o B = R .
• El módulo cociente R / A es un módulo R recto simple .

Los ideales máximos de derecha/izquierda/de dos lados son una noción dual a la de ideales mínimos .

Ejemplos

• Si F es un campo, entonces el único ideal máximo es {0}.
• En el anillo Z de los números enteros, los ideales máximos son los ideales principales generados por un número primo.
• De manera más general, todos los ideales primos distintos de cero son máximos en un dominio de ideales principales .
• El ideal es un ideal máximo en anillo . Generalmente, los ideales máximos de son de la forma donde es un número primo y es un polinomio en el que es irreducible módulo . ${\displaystyle (2,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle (p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle p}$
• Todo ideal primo es un ideal maximal en un anillo booleano, es decir, un anillo que consta únicamente de elementos idempotentes. De hecho, todo ideal primo es maximal en un anillo conmutativo siempre que exista un entero tal que para cualquier . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle x^{n}=x}$ ${\displaystyle x\in R}$
• Los ideales máximos del anillo polinomial son ideales principales generados por para algún . ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ${\displaystyle x-c}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$
• De manera más general, los ideales máximos del anillo polinómico K [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K son los ideales de la forma ( x ₁  −  a ₁ , ..., x _n  −  a _n ) . Este resultado se conoce como el Nullstellensatz débil .

Propiedades

• Un ideal importante del anillo llamado radical de Jacobson se puede definir utilizando ideales derechos máximos (o izquierdos máximos).
• Si R es un anillo conmutativo unitario con un ideal m , entonces k = R / m es un cuerpo si y solo si m es un ideal maximal. En ese caso, R / m se conoce como el cuerpo de residuos . Este hecho puede fallar en anillos no unitarios. Por ejemplo, es un ideal maximal en , pero no es un cuerpo. ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
• Si L es un ideal izquierdo máximo, entonces R / L es un R -módulo izquierdo simple. A la inversa, en anillos con unidad, cualquier R -módulo izquierdo simple surge de esta manera. Por cierto, esto demuestra que una colección de representantes de R -módulos izquierdos simples es en realidad un conjunto, ya que puede ponerse en correspondencia con una parte del conjunto de ideales izquierdos máximos de R.
• Teorema de Krull (1929): Todo anillo unitario distinto de cero tiene un ideal máximo. El resultado también es cierto si se reemplaza "ideal" por "ideal derecho" o "ideal izquierdo". De manera más general, es cierto que todo módulo finitamente generado distinto de cero tiene un submódulo máximo. Supóngase que I es un ideal que no es R (respectivamente, A es un ideal derecho que no es R ). Entonces R / I es un anillo con unidad (respectivamente, R / A es un módulo finitamente generado), y por lo tanto los teoremas anteriores se pueden aplicar al cociente para concluir que existe un ideal máximo (respectivamente, ideal máximo derecho) de R que contiene a I (respectivamente, A ).
• El teorema de Krull puede fallar en el caso de anillos sin unidad. Un anillo radical , es decir, un anillo en el que el radical de Jacobson es el anillo entero, no tiene módulos simples y, por lo tanto, no tiene ideales máximos derechos o izquierdos. Consulte los ideales regulares para ver posibles formas de evitar este problema.
• En un anillo conmutativo con unidad, todo ideal maximal es un ideal primo . La inversa no siempre es cierta: por ejemplo, en cualquier dominio integral que no sea de cuerpo , el ideal cero es un ideal primo que no es maximal. Los anillos conmutativos en los que los ideales primos son maximalistas se conocen como anillos de dimensión cero , donde la dimensión utilizada es la dimensión de Krull .
• Un ideal máximo de un anillo no conmutativo podría no ser primo en el sentido conmutativo. Por ejemplo, sea el anillo de todas las matrices sobre . Este anillo tiene un ideal máximo para cualquier primo , pero este no es un ideal primo ya que (en el caso ) y no están en , sino . Sin embargo, los ideales máximos de anillos no conmutativos son primos en el sentido generalizado que se muestra a continuación. ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$

Generalización

Para un R -módulo A , un submódulo máximo M de A es un submódulo M ≠ A que satisface la propiedad de que para cualquier otro submódulo N , M ⊆ N ⊆ A implica N = M o N = A . De manera equivalente, M es un submódulo máximo si y solo si el módulo cociente A / M es un módulo simple . Los ideales rectos máximos de un anillo R son exactamente los submódulos máximos del módulo R _R .

A diferencia de los anillos con unidad, un módulo distinto de cero no necesariamente tiene submódulos máximos. Sin embargo, como se señaló anteriormente, los módulos distintos de cero generados finitamente tienen submódulos máximos, y también los módulos proyectivos tienen submódulos máximos.

Al igual que con los anillos, se puede definir el radical de un módulo utilizando submódulos máximos. Además, los ideales máximos se pueden generalizar definiendo un subbimódulo máximo M de un bimódulo B como un subbimódulo propio de M que no está contenido en ningún otro subbimódulo propio de M . Los ideales máximos de R son entonces exactamente los subbimódulos máximos del bimódulo _R R _R .

Véase también

• Ideal primordial

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, Sr.  1838439