Dimensión Krull

En matemáticas, dimensión de un anillo.

En álgebra conmutativa , la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R , llamado así en honor a Wolfgang Krull , es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos . La dimensión de Krull no tiene por qué ser finita ni siquiera para un anillo noetheriano . De manera más general, la dimensión de Krull se puede definir para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del poset de submódulos.

La dimensión de Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica : la dimensión de la variedad afín definida por un ideal I en un anillo polinómico R es la dimensión de Krull de R / I .

Un campo k tiene dimensión de Krull 0; de manera más general, k [ x ₁ , ..., x _n ] tiene dimensión de Krull n . Un dominio ideal principal que no es un campo tiene dimensión de Krull 1. Un anillo local tiene dimensión de Krull 0 si y sólo si cada elemento de su ideal máximo es nilpotente .

Hay varias otras formas que se han utilizado para definir la dimensión de un anillo. La mayoría de ellos coinciden con la dimensión de Krull para los anillos noetherianos, pero pueden diferir para los anillos no noetherianos.

Explicación

Decimos que una cadena de ideales primos de la forma tiene longitud n . Es decir, la longitud es el número de inclusiones estrictas, no el número de números primos; estos difieren en 1. Definimos la dimensión de Krull de como el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos en . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Dado un ideal primo en R , definimos el ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$altura de, escrito, como el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos contenidos en, es decir, que. ^[1] En otras palabras, la altura dees la dimensión de Krull de lalocalizacióndeRen. Un ideal primo tiene altura cero si y sólo si es unideal primo mínimo. La dimensión de Krull de un anillo es el supremo de las alturas de todos los ideales máximos, o las de todos los ideales primos. La altura también se denomina a veces codimensión, rango o altitud de un ideal primo. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

En un anillo noetheriano , todo ideal primo tiene una altura finita. No obstante, Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano de dimensión Krull infinita. ^[2] Un anillo se llama catenaria si cualquier inclusión de ideales primos se puede extender a una cadena máxima de ideales primos entre y , y dos cadenas máximas cualesquiera entre y tienen la misma longitud. Un anillo se llama universalmente catenario si cualquier álgebra generada finitamente sobre él es catenaria. Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano que no es catenaria. ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

En un anillo noetheriano, un ideal primo tiene una altura como máximo n si y sólo si es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos ( teorema de altura de Krull y su inverso). ^[4] Implica que la condición de la cadena descendente se cumple para los ideales primos de tal manera que las longitudes de las cadenas que descienden de un ideal primo están limitadas por el número de generadores del primo. ^[5]

De manera más general , la altura de un ideal I es el mínimo de las alturas de todos los ideales primos que contienen I. En el lenguaje de la geometría algebraica , esta es la codimensión de la subvariedad de Spec( ) correspondiente a I. ^[6] ${\displaystyle R}$

Esquemas

De la definición del espectro de un anillo Spec( R ), el espacio de ideales primos de R equipado con la topología de Zariski, se deduce fácilmente que la dimensión de Krull de R es igual a la dimensión de su espectro como espacio topológico, es decir el supremo de las longitudes de todas las cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles. Esto se desprende inmediatamente de la conexión de Galois entre los ideales de R y los subconjuntos cerrados de Spec( R ) y la observación de que, según la definición de Spec( R ), cada ideal primo de R corresponde a un punto genérico del subconjunto cerrado asociado a la conexión Galois. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Ejemplos

• La dimensión de un anillo polinómico sobre un campo k [ x ₁ , ..., x _n ] es el número de variables n . En el lenguaje de la geometría algebraica , esto dice que el espacio afín de dimensión n sobre un campo tiene dimensión n , como se esperaba. En general, si R es un anillo noetheriano de dimensión n , entonces la dimensión de R [ x ] es n + 1. Si se abandona la hipótesis noetheriana, entonces R [ x ] puede tener una dimensión entre n + 1 y 2 n + 1.
• Por ejemplo, el ideal tiene altura 2 ya que podemos formar la cadena ascendente máxima de ideales primos . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle (0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}}$
• Dado un polinomio irreducible , el ideal no es primo (ya que , pero ninguno de los factores lo es), pero podemos calcular fácilmente la altura ya que el ideal primo más pequeño que contiene es justo . ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle I=(f^{3})}$ ${\displaystyle f\cdot f^{2}\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f)}$
• El anillo de números enteros Z tiene dimensión 1. De manera más general, cualquier dominio ideal principal que no sea un campo tiene dimensión 1.
• Un dominio integral es un campo si y sólo si su dimensión de Krull es cero. Los dominios de Dedekind que no son campos (por ejemplo, anillos de valoración discretos ) tienen dimensión uno.
• La dimensión Krull del anillo cero normalmente se define como o . El anillo cero es el único anillo con dimensión negativa. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -1}$
• Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano y su dimensión Krull es ≤0.
• Una extensión integral de un anillo tiene la misma dimensión que el anillo.
• Sea R un álgebra sobre un campo k que es un dominio integral. Entonces la dimensión de Krull de R es menor o igual que el grado de trascendencia del campo de fracciones de R sobre k . ^[7] La ​​igualdad se cumple si R se genera de forma finita como un álgebra (por ejemplo, mediante el lema de normalización de Noether ).
• Sea R un anillo noetheriano, I un ideal y el anillo graduado asociado ( los geómetras lo llaman el anillo del cono normal de I ). Entonces es el supremo de las alturas de los ideales máximos de R que contienen I. ^[8] ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=\oplus _{0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)}$
• Un anillo noetheriano conmutativo de dimensión cero de Krull es un producto directo de un número finito (posiblemente uno) de anillos locales de dimensión cero de Krull.
• Un anillo local noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si su dimensión es igual a su profundidad . Un anillo local normal es un ejemplo de este tipo de anillo.
• Un dominio integral noetheriano es un dominio de factorización único si y sólo si todo ideal primo de altura 1 es principal. ^[9]
• Para un anillo noetheriano conmutativo son equivalentes las tres condiciones siguientes: ser un anillo reducido de dimensión cero de Krull, ser un campo o producto directo de campos, ser regular de von Neumann .

de un modulo

Si R es un anillo conmutativo y M es un módulo R , definimos la dimensión de Krull de M como la dimensión de Krull del cociente de R , lo que convierte a M en un módulo fiel . Es decir, lo definimos por la fórmula:

${\displaystyle \dim _{R}M:=\dim(R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$

donde Ann _R ( M ), el aniquilador , es el núcleo del mapa natural R → End _R (M) de R en el anillo de R -endomorfismos lineales de M.

En el lenguaje de los esquemas , los módulos generados de forma finita se interpretan como haces coherentes o haces de vectores de rango finito generalizados .

Para anillos no conmutativos

La dimensión de Krull de un módulo sobre un anillo posiblemente no conmutativo se define como la desviación del conjunto de submódulos ordenados por inclusión. Para los anillos noetherianos conmutativos, esto es lo mismo que la definición que utiliza cadenas de ideales primos. ^[10] Las dos definiciones pueden ser diferentes para anillos conmutativos que no son noetherianos.

Ver también

• Spread analítico
• Teoría de las dimensiones (álgebra)
• Dimensión de Gelfand-Kirillov
• función de Hilbert
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Teorema ideal principal de Krull
• Anillo local regular

Notas

1. Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", páginas 30-31, 1989
2. Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Ejercicio 9.6.
3. Matsumura, H. Álgebra conmutativa (1970). Benjamín, Nueva York. Ejemplo 14.E.
4. Serre 2000, cap. III, § B.2, Teorema 1, Corolario 4.
5. Eisenbud 1995, Corolario 10.3.
6. Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", páginas 30-31, 1989
7. Dimensión de Krull menor o igual que el grado de trascendencia?
8. Eisenbud 1995, ejercicio 13.8
9. Hartshorne, Robin: "Geometría algebraica", página 7, 1977
10. McConnell, JC y Robson, JC Anillos noetherianos no conmutativos (2001). América. Matemáticas. Soc., Providencia. Corolario 6.4.8.

Bibliografía

• Irving Kaplansky , Anillos conmutativos (edición revisada) , University of Chicago Press , 1974, ISBN  0-226-42454-5 . Página 32.
• LA Bokhut'; IV L'vov; VK Kharchenko (1991). "I. Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI ; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 18. Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Apartado 4.7.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (2000). Álgebra local . Monografías de Springer en Matemáticas (en alemán). doi :10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8. OCLC  864077388.