Teorema ideal principal de Krull

Teorema en álgebra conmutativa

En álgebra conmutativa , el teorema del ideal principal de Krull , que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899-1971), da un límite a la altura de un ideal principal en un anillo noetheriano conmutativo . A veces se hace referencia al teorema por su nombre alemán, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema")).

Precisamente, si R es un anillo noetheriano e I es un ideal principal propio de R , entonces cada ideal primo mínimo sobre I tiene una altura como máximo de uno.

Este teorema se puede generalizar a ideales que no son principales, y el resultado suele denominarse teorema de altura de Krull . Esto dice que si R es un anillo noetheriano e I es un ideal propio generado por n elementos de R , entonces cada primo mínimo sobre I tiene una altura como máximo n . Lo contrario también es cierto: si un ideal primo tiene altura n , entonces es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos. ^[1]

El teorema ideal principal y la generalización, el teorema de la altura, se derivan del teorema fundamental de la teoría de las dimensiones en álgebra conmutativa (ver también más abajo las demostraciones directas). El álgebra conmutativa de Bourbaki ofrece una prueba directa. Los anillos conmutativos de Kaplansky incluyen una prueba debida a David Rees .

Pruebas

Prueba del teorema ideal principal

Sea un anillo noetheriano, x un elemento del mismo y un primo mínimo sobre x . Reemplazando A por la localización , podemos asumir que es local con el ideal máximo . Sea un ideal primo estrictamente más pequeño y sea , que es un ideal primario llamado n -ésimo poder simbólico de . Forma una cadena descendente de ideales . Así, existe la cadena descendente de ideales en el ring . Ahora, el radical es la intersección de todos los ideales primos mínimos que contienen ; está entre ellos. Pero es un ideal máximo único y por tanto . Dado que contiene algo de potencia de su radical, se deduce que es un anillo artiniano y, por lo tanto, la cadena se estabiliza y, por lo tanto, hay algo de n tal que . Eso implica: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A\supset {\mathfrak {q}}\supset {\mathfrak {q}}^{(2)}\supset {\mathfrak {q}}^{(3)}\supset \cdots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+(x)}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+x\,{\mathfrak {q}}^{(n)}}$,

del hecho es -primario (si está en , entonces con y . Dado que es mínimo sobre , por lo que implica que está en .) Ahora, cociente ambos lados por produce . Entonces, por el lema de Nakayama (que dice que un módulo M generado finitamente es cero si para algún ideal I contenido en el radical), obtenemos ; es decir, y por lo tanto . Usando nuevamente el lema de Nakayama, es un anillo artiniano; por tanto, la altura de es cero. ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle y=z+ax}$ ${\displaystyle z\in {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=(x){\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle M=IM}$ ${\displaystyle M={\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}={\mathfrak {q}}^{n+1}A_{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}=0}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba del teorema de la altura

El teorema de la altura de Krull se puede demostrar como consecuencia del teorema del ideal principal mediante inducción del número de elementos. Sean elementos en , un primo mínimo sobre y un primo ideal tal que no haya ningún primo estrictamente entre ellos. Reemplazando por la localización podemos asumir que es un anillo local; tenga en cuenta que entonces tenemos . Por minimalidad, no puede contener todos los ; volver a etiquetar los subíndices, digamos, . Dado que todo ideal primo que contiene está entre y y , por lo tanto, podemos escribir para cada uno , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}+(x_{1})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}+(x_{1})}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle i\geq 2}$

${\displaystyle x_{i}^{r_{i}}=y_{i}+a_{i}x_{1}}$

con y . Ahora consideremos el anillo y la cadena correspondiente en él. Si es un primo mínimo sobre , entonces contiene y por lo tanto ; es decir, es un primo mínimo sobre y por tanto, según el teorema del ideal principal de Krull, es un primo mínimo (sobre cero); es un primo mínimo sobre . Por hipótesis inductiva, y así . ${\displaystyle y_{i}\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(y_{2},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}\subset {\overline {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {r}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}^{r_{2}},\dots ,x_{n}^{r_{n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle (y_{2},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq n-1}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}$ ${\displaystyle \square }$

Referencias

1. Eisenbud 1995, Corolario 10.5.

• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa , Nueva York: Benjamin, véase en particular el apartado (12.I), pág. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf