Lema de normalización de Noether

Resultado del álgebra conmutativa

En matemáticas , el lema de normalización de Noether es un resultado del álgebra conmutativa , introducido por Emmy Noether en 1926. ^[1] Establece que para cualquier cuerpo k , y cualquier k -álgebra conmutativa finitamente generada A , existen elementos y ₁ , y ₂ , ..., y _d en A que son algebraicamente independientes sobre k y tales que A es un módulo finitamente generado sobre el anillo polinomial S = k  [ y ₁ , y ₂ , ..., y _d ]. El entero d es igual a la dimensión de Krull del anillo A ; y si A es un dominio integral , d es también el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones de A sobre k .

El teorema tiene una interpretación geométrica. Supóngase que A es el anillo de coordenadas de una variedad afín X y consideremos que S es el anillo de coordenadas de un espacio afín de dimensión d . Entonces, la función de inclusión induce un morfismo finito sobreyectivo de variedades afines : es decir, cualquier variedad afín es una cobertura ramificada del espacio afín. Cuando k es infinito, dicha función de cobertura ramificada se puede construir tomando una proyección general desde un espacio afín que contiene X a un subespacio de dimensión d . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow A}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$

De manera más general, en el lenguaje de los esquemas , el teorema puede enunciarse de manera equivalente como: cada k -esquema afín (de tipo finito ) X es finito sobre un espacio afín de n dimensiones. El teorema puede refinarse para incluir una cadena de ideales de R (equivalentemente, subconjuntos cerrados de X ) que sean finitos sobre los subespacios de coordenadas afines de las dimensiones correspondientes. ^[2]

El lema de normalización de Noether puede utilizarse como un paso importante para demostrar el Nullstellensatz de Hilbert , uno de los resultados más fundamentales de la geometría algebraica clásica . El teorema de normalización también es una herramienta importante para establecer las nociones de dimensión de Krull para k -álgebras.

Prueba

La siguiente demostración se debe a Nagata , siguiendo el libro rojo de Mumford . En la página 127 del libro rojo se ofrece una demostración más geométrica.

El anillo A en el lema se genera como una k -álgebra por algunos elementos . Induciremos sobre m . El caso es y no hay nada que demostrar. Supóngase . Entonces como k -álgebras, donde es algún ideal. Puesto que es un PID (es un dominio euclidiano), . Si hemos terminado, supóngase . Sea e el grado de f . Entonces A se genera, como un k -espacio vectorial, por . Por tanto, A es finito sobre k . Supóngase ahora . Es suficiente mostrar que hay una k -subálgebra S de A que se genera por elementos, tal que A es finito sobre S. De hecho, por la hipótesis inductiva, podemos encontrar elementos algebraicamente independientes de S tales que S es finito sobre . ${\displaystyle y_{1},...,y_{m}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle k=A}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle A\cong k[y]/I}$ ${\displaystyle I\subset k[y]}$ ${\displaystyle k[y]}$ ${\displaystyle I=(f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{d}}$ ${\displaystyle k[x_{1},...,x_{d}]}$

Como de lo contrario no habría nada que demostrar, también podemos suponer que existe un polinomio f distinto de cero en m variables sobre k tal que

${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{m})=0}$.

Dado un entero r que se determina más tarde, establezca

${\displaystyle z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m.}$

Luego lo anterior dice:

${\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})=0}$.

Ahora bien, si es un monomio que aparece en el lado izquierdo de la ecuación anterior, con coeficiente , el término más alto en después de expandir el producto se ve así ${\displaystyle ay_{1}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle a\in k}$ ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle ay_{1}^{\alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}.}$

Siempre que el exponente anterior concuerde con el exponente más alto producido por algún otro monomio, es posible que el término más alto en de no sea de la forma anterior, porque puede verse afectado por la cancelación. Sin embargo, si r es mayor que cualquier exponente que aparece en f , entonces cada uno codifica un número base r único , por lo que esto no ocurre. Para tal r , sea el coeficiente del monomio único de f de multigrado para el cual la cantidad es máxima. La multiplicación de la última identidad por da una ecuación de dependencia integral de sobre , es decir, es integral sobre S . Como también son integrales sobre ese anillo, A es integral sobre S . Se deduce que A es finito sobre S, y como S es generado por m-1 elementos, por la hipótesis inductiva hemos terminado. ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},...,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$ ${\displaystyle c\in k}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{i}=z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}}}$

Si A es un dominio integral, entonces d es el grado de trascendencia de su campo de fracciones. De hecho, A y tienen el mismo grado de trascendencia (es decir, el grado del campo de fracciones) ya que el campo de fracciones de A es algebraico sobre el de S (como A es integral sobre S ) y S tiene grado de trascendencia d . Por lo tanto, queda por demostrar que la dimensión de Krull del anillo de polinomios S es d . (Esto también es una consecuencia de la teoría de la dimensión ). Inducimos en d , siendo el caso trivial. Como es una cadena de ideales primos, la dimensión es al menos d . Para obtener la estimación inversa, sea una cadena de ideales primos. Sea . Aplicamos la normalización de Noether y obtenemos (en el proceso de normalización, somos libres de elegir la primera variable) tal que S es integral sobre T . Por la hipótesis inductiva, tiene dimensión d - 1. Por incomparabilidad , es una cadena de longitud y luego, en , se convierte en una cadena de longitud . Como , tenemos . Por eso, . ${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$ ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$ ${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$ ${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$ ${\displaystyle T/(u)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$ ${\displaystyle m-1\leq d-1}$ ${\displaystyle \dim S\leq d}$

Refinamiento

El siguiente refinamiento aparece en el libro de Eisenbud, que se basa en la idea de Nagata: ^[2]

Teorema  —  Sea A un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k , y una cadena de ideales tales que Entonces existen elementos algebraicamente independientes y ₁ , ..., y _d en A tales que ${\displaystyle I_{1}\subset \dots \subset I_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} (A/I_{i})=d_{i}>d_{i+1}.}$

1. A es un módulo generado finitamente sobre el subanillo polinomial S = k [ y ₁ , ..., y _d ].
2. ${\displaystyle I_{i}\cap S=(y_{d_{i}+1},\dots ,y_{d})}$.
3. Si los ' son homogéneos, entonces los y _' pueden tomarse como homogéneos. ${\displaystyle I_{i}}$

Además, si k es un campo infinito, entonces cualquier elección suficientemente general de y _I tiene la Propiedad 1 anterior ("suficientemente general" se precisa en la prueba).

Geométricamente hablando, la última parte del teorema dice que para cualquier proyección lineal general se induce un morfismo finito (cf. el lede); además de Eisenbud, véase también [1]. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$

Corolario  :  Sea A un dominio integral que es un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo. Si es un ideal primo de A , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \dim A=\operatorname {height} {\mathfrak {p}}+\dim A/{\mathfrak {p}}}$.

En particular, la dimensión de Krull de la localización de A en cualquier ideal máximo es dim A .

Corolario  :  Sean dominios integrales que son álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo. Entonces ${\displaystyle A\subset B}$

${\displaystyle \dim B=\dim A+\operatorname {tr.deg} _{Q(A)}Q(B)}$

(el caso especial de la fórmula de altitud de Nagata ).

Aplicación ilustrativa: libertad genérica

Una aplicación no trivial típica del lema de normalización es el teorema genérico de libertad : Sean anillos tales que es un dominio integral noetheriano y supongamos que hay un homomorfismo de anillos que se exhibe como un álgebra finitamente generada sobre . Entonces hay algún tal que es un módulo libre . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ ${\displaystyle A[g^{-1}]}$

Para demostrar esto, sea el cuerpo de fracciones de . Argumentamos por inducción sobre la dimensión de Krull de . El caso base es cuando la dimensión de Krull es ; es decir, ; es decir, cuando hay algún tal que , de modo que es libre como un -módulo. Para el paso inductivo, observe que es un -álgebra finitamente generada . Por lo tanto, por el lema de normalización de Noether, contiene elementos algebraicamente independientes tales que es finito sobre el anillo de polinomios . Multiplicando cada uno por elementos de , podemos suponer que están en . Ahora consideremos: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$ ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ ${\displaystyle gB=0}$ ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ ${\displaystyle A[g^{-1}]}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

Ahora bien, puede que no sea finito sobre , pero se volverá finito después de invertir un solo elemento como sigue. Si es un elemento de , entonces, como elemento de , es integral sobre ; es decir, para algún en . Por lo tanto, algún mata todos los denominadores de los coeficientes de y por lo tanto es integral sobre . Eligiendo algunos generadores finitos de como un -álgebra y aplicando esta observación a cada generador, encontramos algún tal que es integral (por lo tanto finito) sobre . Reemplazamos por y entonces podemos suponer que es finito sobre . Para terminar, consideremos una filtración finita por -submódulos tal que para ideales primos (tal filtración existe por la teoría de primos asociados ). Para cada i , si , por hipótesis inductiva, podemos elegir algún en tal que es libre como un -módulo, mientras que es un anillo polinomial y por lo tanto libre. Por lo tanto, con , es un módulo libre sobre . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ ${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A'[g^{-1}]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle 0\neq g\in A}$ ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ ${\displaystyle A'[g^{-1}]}$ ${\displaystyle B,A}$ ${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ ${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle g_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$ ${\displaystyle B[g^{-1}]}$ ${\displaystyle A[g^{-1}]}$ ${\displaystyle \square }$

Notas

1. Noether 1926
2. Eisenbud 1995, Teorema 13.3

Referencias

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960, Zbl  0819.13001
• "Teorema de Noether", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]. NB el lema está en los comentarios de actualización.
• Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28–35, archivado desde el original el 8 de marzo de 2013

Lectura adicional

• Robertz, D.: Normalización de Noether guiada por descomposiciones de conos monomiales. Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)