Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa

En matemáticas , las conjeturas homológicas han sido el foco de la actividad investigadora en álgebra conmutativa desde principios de los años 1960. Se refieren a una serie de conjeturas interrelacionadas (a veces sorprendentemente) que relacionan varias propiedades homológicas de un anillo conmutativo con su estructura interna del anillo, particularmente su dimensión y profundidad de Krull .

La siguiente lista dada por Melvin Hochster se considera definitiva para esta zona. En lo sucesivo, y se refieren a anillos conmutativos noetherianos ; será un anillo local con ideal máximo , y y son módulos generados finitamente . ${\displaystyle A,R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m_{R}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$

1. El teorema del divisor cero. Si tiene dimensión proyectiva finita y no es divisor de cero en , entonces no es divisor de cero en . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$
2. La pregunta de Bass. Si tiene una resolución inyectiva finita entonces es un anillo de Cohen-Macaulay . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$
3. El teorema de la intersección. Si tiene una longitud finita, entonces la dimensión de Krull de N (es decir, la dimensión de R módulo el aniquilador de N ) es como máximo la dimensión proyectiva de M. ${\displaystyle M\otimes _{R}N\neq 0}$
4. El nuevo teorema de la intersección. Denotemos un complejo finito de R -módulos libres tal que tiene una longitud finita pero no es 0. Entonces la (dimensión de Krull) . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
5. La conjetura de la nueva intersección mejorada. Denotemos un complejo finito de R -módulos libres tal que tiene una longitud finita y un generador mínimo que muere por una potencia del ideal máximo de R. Entonces . ${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$ ${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$ ${\displaystyle \dim R\leq n}$
6. La conjetura de la suma directa. Si es una extensión de anillo finito de módulo con R regular (aquí, R no necesita ser local pero el problema se reduce de inmediato al caso local), entonces R es una suma directa de S como un R -módulo. La conjetura fue probada por Yves André utilizando una teoría de espacios perfectoides . ^[1] ${\displaystyle R\subseteq S}$
7. La conjetura del elemento canónico. Sea un sistema de parámetros para R , sea una resolución R libre del campo residual de R con , y denotemos el complejo de Koszul de R con respecto a . Elevar el mapa de identidad a un mapa de complejos. Entonces, no importa cuál sea la elección del sistema de parámetros o el levantamiento, el último mapa no es 0. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle F_{0}=R}$ ${\displaystyle K_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$ ${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$ ${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$
8. Existencia de la conjetura equilibrada de los módulos Big Cohen-Macaulay. Existe un módulo R W (no necesariamente generado finitamente) tal que m _R W ≠ W y cada sistema de parámetros para R es una secuencia regular en W.
9. Conjetura de Cohen-Macaulayness de las demandas directas. Si R es una suma directa de un anillo regular S como un R -módulo, entonces R es Cohen-Macaulay ( R no necesita ser local, pero el resultado se reduce de inmediato al caso en el que R es local).
10. La conjetura de desaparición de los mapas de Tor. Sean homomorfismos donde R no es necesariamente local (sin embargo, se puede reducir a ese caso), con A, S regular y R finitamente generado como un A -módulo. Sea W cualquier módulo A. Entonces el mapa es cero para todos . ${\displaystyle A\subseteq R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$ ${\displaystyle i\geq 1}$
11. La conjetura de la suma directa fuerte. Sea un mapa de dominios locales completos, y sea Q una altura de un ideal primo de S que se encuentra sobre , donde R y son ambos regulares. Entonces se considera una suma directa de Q como R -módulos. ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle xR}$
12. Existencia de la conjetura del gran álgebra de Cohen-Macaulay débilmente funcional. Sea un homomorfismo local de dominios locales completos. Entonces existe una R -álgebra B _R que es un álgebra de Cohen-Macaulay grande equilibrada para R , una S -álgebra que es un álgebra de Cohen-Macaulay grande equilibrada para S , y un homomorfismo B _R → B _S tal que el cuadrado natural dado por estos mapas de desplazamientos. ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle B_{S}}$
13. La conjetura de Serre sobre las multiplicidades. (cf. conjeturas de multiplicidad de Serre . ) Supongamos que R es regular de dimensión d y que tiene longitud finita. Entonces , definida como la suma alterna de las longitudes de los módulos es 0 si , y es positiva si la suma es igual a d . (NB Jean-Pierre Serre demostró que la suma no puede exceder d .) ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle \chi (M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$ ${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$
14. Conjetura de los módulos pequeños de Cohen-Macaulay. Si R está completo, entonces existe un módulo R generado finitamente tal que algún (equivalentemente cada) sistema de parámetros para R es una secuencia regular en M. ${\displaystyle M\neq 0}$

Referencias

1. André, Yves (2018). "La conjetura del factor directo". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 127 : 71–93. arXiv : 1609.00345 . doi :10.1007/s10240-017-0097-9. SEÑOR  3814651. S2CID  119310771.

• Conjeturas homológicas, antiguas y nuevas, Melvin Hochster , Illinois Journal of Mathematics Volumen 51, Número 1 (2007), 151-169.
• Sobre la conjetura del sumando directo y su variante derivada por Bhargav Bhatt.