Suma directa

Operación en álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"

La suma directa es una operación entre estructuras en el álgebra abstracta , una rama de las matemáticas . Se define de forma diferente, pero análoga, para diferentes tipos de estructuras. Como ejemplo, la suma directa de dos grupos abelianos y es otro grupo abeliano que consiste en los pares ordenados donde y . Para sumar pares ordenados, definimos la suma como ; en otras palabras, la adición se define por coordenadas. Por ejemplo, la suma directa , donde es el espacio de coordenadas reales , es el plano cartesiano , . Se puede utilizar un proceso similar para formar la suma directa de dos espacios vectoriales o dos módulos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

También podemos formar sumas directas con cualquier número finito de sumandos, por ejemplo , siempre que y sean del mismo tipo de estructuras algebraicas (por ejemplo, todos los grupos abelianos o todos los espacios vectoriales). Esto se basa en el hecho de que la suma directa es asociativa hasta el isomorfismo . Es decir, para cualquier estructura algebraica , , y del mismo tipo. La suma directa también es conmutativa hasta el isomorfismo, es decir, para cualquier estructura algebraica y del mismo tipo. ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

La suma directa de un número finito de grupos abelianos, espacios vectoriales o módulos es canónicamente isomorfa al producto directo correspondiente . Sin embargo, esto es falso para algunos objetos algebraicos, como los grupos no abelianos.

En el caso en que se combinan infinitos objetos, la suma directa y el producto directo no son isomorfos, incluso para grupos abelianos, espacios vectoriales o módulos. Como ejemplo, considere la suma directa y el producto directo de (contablemente) infinitas copias de los números enteros. Un elemento en el producto directo es una secuencia infinita, como (1,2,3,...) pero en la suma directa, existe un requisito de que todas las coordenadas excepto un número finito sean cero, por lo que la secuencia (1,2,3,...) sería un elemento del producto directo pero no de la suma directa, mientras que (1,2,0,0,0,...) sería un elemento de ambos. A menudo, si se usa un signo +, todas las coordenadas excepto un número finito deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas excepto un número finito deben ser 1. En un lenguaje más técnico, si los sumandos son , la suma directa se define como el conjunto de tuplas con tales que para todos excepto un número finito i . La suma directa está contenida en el producto directo , pero es estrictamente menor cuando el conjunto índice es infinito, porque un elemento del producto directo puede tener infinitas coordenadas distintas de cero. ^[1] ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos

El plano xy , un espacio vectorial bidimensional , puede considerarse como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, es decir, los ejes x e y . En esta suma directa, los ejes x e y se intersecan solo en el origen (el vector cero). La suma se define por coordenadas, es decir , que es lo mismo que la suma vectorial. ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

Dadas dos estructuras y , su suma directa se escribe como . Dada una familia indexada de estructuras , indexada con , la suma directa puede escribirse como . Cada A _i se llama sumando directo de A . Si el conjunto de índices es finito, la suma directa es la misma que el producto directo. En el caso de grupos, si la operación de grupo se escribe como se usa la frase "suma directa", mientras que si la operación de grupo se escribe como se usa la frase "producto directo". Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es la misma que el producto directo ya que la suma directa tiene el requisito adicional de que todas las coordenadas, excepto un número finito, deben ser cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$

Sumas directas internas y externas

Se hace una distinción entre sumas directas internas y externas, aunque las dos son isomorfas. Si primero se definen los sumandos y luego se define la suma directa en términos de los sumandos, tenemos una suma directa externa. Por ejemplo, si definimos los números reales y luego definimos la suma directa, se dice que es externa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Si, por otra parte, primero definimos alguna estructura algebraica y luego escribimos como una suma directa de dos subestructuras y , entonces se dice que la suma directa es interna. En este caso, cada elemento de se puede expresar únicamente como una combinación algebraica de un elemento de y un elemento de . Como ejemplo de una suma directa interna, considere (los números enteros módulo seis), cuyos elementos son . Esto se puede expresar como una suma directa interna . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

Tipos de suma directa

Suma directa de grupos abelianos

La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de suma directa. Dados dos grupos de este tipo y su suma directa es igual a su producto directo . Es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano y la operación de grupo se define componente por componente: Esta definición se generaliza a sumas directas de un número finito de grupos abelianos. ${\displaystyle (A,\circ )}$ ${\displaystyle (B,\bullet ),}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

Para una familia arbitraria de grupos indexados por su suma directa ^[2] es el subgrupo del producto directo que consiste en los elementos que tienen un soporte finito , donde por definición, se dice que tiene un soporte finito si es el elemento identidad de para todos excepto un número finito ^[3] La suma directa de una familia infinita de grupos no triviales es un subgrupo propio del grupo producto ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

Suma directa de módulos

La suma directa de módulos es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo.

Los ejemplos más conocidos de esta construcción se dan cuando se consideran espacios vectoriales , que son módulos sobre un cuerpo . La construcción también puede extenderse a espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Suma directa en categorías

Una categoría aditiva es una abstracción de las propiedades de la categoría de módulos. ^{[4] [5]} En dicha categoría, los productos y coproductos finitos concuerdan y la suma directa es cualquiera de ellos, cf. biproducto .

Caso general: ^[2] En la teoría de categorías, laLa suma directa es a menudo, pero no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión. Por ejemplo, en la categoría de los grupos abelianos, la suma directa es un coproducto. Esto también es cierto en la categoría de los módulos.

Sumas directas versus coproductos en la categoría de grupos

Sin embargo, la suma directa (definida de manera idéntica a la suma directa de los grupos abelianos) no es un coproducto de los grupos y en la categoría de grupos . Por lo tanto, para esta categoría, una suma directa categórica a menudo se denomina simplemente coproducto para evitar cualquier posible confusión. ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Suma directa de representaciones de grupos

La suma directa de representaciones de grupo generaliza la suma directa de los módulos subyacentes , añadiéndole una acción de grupo . En concreto, dado un grupo y dos representaciones y de (o, más generalmente, dos -módulos ), la suma directa de las representaciones es con la acción de componente por componente dada, es decir, Otra forma equivalente de definir la suma directa es la siguiente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$$

Dadas dos representaciones y el espacio vectorial de la suma directa es y el homomorfismo está dado por donde es el mapa natural obtenido por la acción coordinada como se indicó anteriormente. ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ ${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

Además, si son de dimensión finita, entonces, dada una base de , y tienen valores matriciales. En este caso, se da como ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Además, si tratamos y como módulos sobre el anillo de grupo , donde es el campo, entonces la suma directa de las representaciones y es igual a su suma directa como módulos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$

Suma directa de anillos

Algunos autores hablarán de la suma directa de dos anillos cuando se refieren al producto directo , pero esto debe evitarse ^[6] ya que no recibe homomorfismos de anillo naturales de y : en particular, la función que envía a no es un homomorfismo de anillo ya que no envía 1 a (asumiendo que en ). Por lo tanto, no es un coproducto en la categoría de anillos , y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensorial de anillos . ^[7] En la categoría de anillos, el coproducto está dado por una construcción similar al producto libre de grupos). ${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to R\times S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\times S}$

El uso de la terminología y notación de suma directa es especialmente problemático cuando se trata con familias infinitas de anillos: si es una colección infinita de anillos no triviales, entonces la suma directa de los grupos aditivos subyacentes se puede equipar con una multiplicación término por término, pero esto produce un rng , es decir, un anillo sin una identidad multiplicativa. ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

Suma directa de matrices

Para cualquier matriz arbitraria y , la suma directa se define como la matriz diagonal en bloque de y si ambas son matrices cuadradas (y como una matriz en bloque análoga , si no lo son). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

Suma directa de espacios vectoriales topológicos

Un espacio vectorial topológico (TVS) como un espacio de Banach , se dice que es una suma directa topológica de dos subespacios vectoriales y si el mapa de adición es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (lo que significa que este mapa lineal es un homeomorfismo biyectivo ), en cuyo caso se dice que y son complementos topológicos en Esto es cierto si y solo si cuando se consideran como grupos topológicos aditivos (por lo que se ignora la multiplicación escalar), es la suma directa topológica de los subgrupos topológicos y Si este es el caso y si es Hausdorff , entonces y son necesariamente subespacios cerrados de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo , entonces siempre existe otro subespacio vectorial de llamado complemento algebraico de en tal que es la suma directa algebraica de y (lo que sucede si y solo si la función de adición es un isomorfismo del espacio vectorial ). A diferencia de las sumas directas algebraicas, la existencia de dicho complemento ya no está garantizada para las sumas directas topológicas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times N\to X}$

Un subespacio vectorial de se dice que es un subespacio ( topológicamente ) complementado de si existe algún subespacio vectorial de tal que sea la suma directa topológica de y Un subespacio vectorial se llama no complementado si no es un subespacio complementado. Por ejemplo, cada subespacio vectorial de un TVS de Hausdorff que no sea un subconjunto cerrado es necesariamente no complementado. Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert es complementado. Pero cada espacio de Banach que no sea un espacio de Hilbert posee necesariamente algún subespacio vectorial cerrado no complementado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

Homomorfismos

^{[ aclaración necesaria ]}

La suma directa viene equipada con un homomorfismo de proyección para cada j en I y una coproyección para cada j en I . ^[8] Dada otra estructura algebraica (con la misma estructura adicional) y homomorfismos para cada j en I , existe un homomorfismo único , llamado suma de los g _j , tal que para todo j . Por lo tanto, la suma directa es el coproducto en la categoría apropiada . ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ ${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

Véase también

• Suma directa de grupos
• Suma directa de permutaciones
• Suma directa de grupos topológicos
• Producto restringido
• Suma de Whitney
• Teorema de Feferman-Vaught

Notas

1. Thomas W. Hungerford , Álgebra , pág. 60, Springer, 1974, ISBN  0387905189
2. Suma directa en el laboratorio n
3. Joseph J. Rotman, La teoría de grupos: una introducción , pág. 177, Allyn y Bacon, 1965
4. ""p.45"" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2013-05-22 . Consultado el 2014-01-14 .
5. "Apéndice" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2006. Consultado el 14 de enero de 2014 .
6. Math StackExchange sobre suma directa de anillos vs. producto directo de anillos.
7. Lang 2002, sección I.11
8. Heunen, Chris (2009). Lógicas y modelos cuánticos categóricos . Palas Proefschriften. Prensa de la Universidad de Ámsterdam. pag. 26.ISBN​ 978-9085550242.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001