En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de "objetos" que están unidos por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .
La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas pueden describirse en términos de categorías, y hacerlo a menudo revela profundas ideas y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para que las matemáticas establezcan la teoría y otros fundamentos axiomáticos propuestos. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría proporciona una forma fundamental y abstracta de describir entidades matemáticas y sus relaciones.
Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en informática, como la semántica de los lenguajes de programación .
Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a los efectos de la teoría de categorías, incluso si no tienen exactamente la misma estructura.
Las categorías conocidas se indican mediante una palabra corta en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: los ejemplos incluyen Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones de conjuntos ; Anillo , la categoría de anillos y homomorfismos de anillos ; y Top , la categoría de espacios topológicos y mapas continuos . Todas las categorías anteriores tienen el mapa de identidad como flechas de identidad y la composición como operación asociativa sobre las flechas.
El texto clásico y todavía muy utilizado sobre teoría de categorías es Categorías para el matemático trabajador de Saunders Mac Lane . Otras referencias se dan en las Referencias siguientes. Las definiciones básicas de este artículo están contenidas en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.
Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un solo objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), al igual que cualquier preorden .
Hay muchas definiciones equivalentes de una categoría. [1] Una definición comúnmente utilizada es la siguiente. Una categoría C consiste en
tal que se cumplan los siguientes axiomas:
Escribimos f : a → b y decimos " f es un morfismo de a a b ". Escribimos hom( a , b ) (u hom C ( a , b ) cuando puede haber confusión sobre a qué categoría se refiere hom( a , b )) para denotar la clase hom de todos los morfismos de a a b . [2]
Algunos autores escriben la combinación de morfismos en "orden esquemático", escribiendo f;g o fg en lugar de g ∘ f .
A partir de estos axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. A menudo, el mapa que asigna a cada objeto su morfismo de identidad se trata como una parte adicional de la estructura de una categoría, es decir, una función de clase i: ob(C) → mor(C). Algunos autores utilizan una ligera variante de la definición en la que cada objeto se identifica con el correspondiente morfismo de identidad. Esto surge de la idea de que los datos fundamentales de las categorías son morfismos y no objetos. De hecho, las categorías se pueden definir sin hacer referencia a objetos utilizando una operación binaria parcial con propiedades adicionales.
Una categoría C se llama pequeña si tanto ob( C ) como hom( C ) son en realidad conjuntos y no clases adecuadas , y grande en caso contrario. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos a y b , la clase hom ( a , b ) es un conjunto, llamado homset . Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no pequeñas, lo son al menos localmente. Dado que, en categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica similar a un monoide pero sin requerir propiedades de cierre . Por otro lado, se pueden utilizar categorías grandes para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.
La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de morfismos es la función habitual composición , forma una categoría grande, Conjunto . Es la categoría más básica y más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consta de todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). Hacer abstracción de relaciones en lugar de funciones produce alegorías , una clase especial de categorías.
Cualquier clase puede verse como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos de identidad. Estas categorías se denominan discretas . Para cualquier conjunto dado I , la categoría discreta en I es la categoría pequeña que tiene los elementos de I como objetos y sólo los morfismos de identidad como morfismos. Las categorías discretas son el tipo de categoría más simple.
Cualquier conjunto preordenado ( P , ≤ ) forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de P , los morfismos son flechas que apuntan de x a y cuando x ≤ y . Además, si ≤ es antisimétrico , puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. La existencia de morfismos de identidad y la componibilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Según el mismo argumento, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una categoría pequeña. Cualquier número ordinal puede verse como una categoría cuando se ve como un conjunto ordenado .
Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una única operación binaria asociativa y un elemento identidad ) forma una pequeña categoría con un único objeto x . (Aquí, x es cualquier conjunto fijo). Los morfismos de x a x son precisamente los elementos del monoide, el morfismo de identidad de x es la identidad del monoide y la composición categórica de los morfismos viene dada por la operación monoide. Se pueden generalizar para categorías varias definiciones y teoremas sobre monoides.
De manera similar, cualquier grupo puede verse como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible , es decir, para cada morfismo f hay un morfismo g que es tanto izquierdo como derecho inverso a f bajo composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo .
Un grupoide es una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. Los grupoides son generalizaciones de grupos, acciones grupales y relaciones de equivalencia . En realidad, desde el punto de vista de la categoría, la única diferencia entre grupoide y grupo es que un grupoide puede tener más de un objeto, pero el grupo debe tener solo uno. Consideremos un espacio topológico X y fijemos un punto base de X , entonces es el grupo fundamental del espacio topológico X y el punto base , y como conjunto tiene la estructura de grupo; Si entonces dejamos que el punto base recorra todos los puntos de X y tomamos la unión de todos , entonces el conjunto que obtenemos tiene solo la estructura de grupoide (que se llama grupoide fundamental de X ): dos bucles (bajo relación de equivalencia de homotopía) pueden no tener el mismo punto base, por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el lenguaje de categoría, esto significa que aquí dos morfismos no pueden tener el mismo objeto de origen (u objeto de destino, porque en este caso para cualquier morfismo el objeto de origen y el objeto de destino son iguales: el punto base), por lo que no pueden componerse con entre sí.
Cualquier gráfico dirigido genera una pequeña categoría: los objetos son los vértices del gráfico y los morfismos son los caminos en el gráfico (aumentados con bucles según sea necesario) donde la composición de los morfismos es la concatenación de caminos. Esta categoría se denomina categoría libre generada por el gráfico.
La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones monótonas como morfismos forma una categoría, Ord . Es una categoría concreta , es decir, una categoría obtenida agregando algún tipo de estructura a Set , y requiriendo que los morfismos sean funciones que respeten esta estructura agregada.
La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una categoría grande, Grp . Al igual que Ord , Grp es una categoría concreta. La categoría Ab , que consta de todos los grupos abelianos y sus homomorfismos grupales, es una subcategoría completa de Grp y el prototipo de una categoría abeliana . Otros ejemplos de categorías concretas se dan en la siguiente tabla.
Los haces de fibras con mapas de haces entre ellos forman una categoría concreta.
La categoría Cat consta de todas las categorías pequeñas, con funtores entre ellas como morfismos.
Cualquier categoría C puede considerarse en sí misma como una nueva categoría de una manera diferente: los objetos son los mismos que los de la categoría original pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se llama categoría dual u opuesta y se denota C op .
Si C y D son categorías, se puede formar la categoría de producto C × D : los objetos son pares que constan de un objeto de C y uno de D , y los morfismos también son pares, que constan de un morfismo en C y otro en D. Estos pares se pueden componer por componentes .
Un morfismo f : a → b se llama
Toda retractación es un epimorfismo. Cada sección es un monomorfismo. Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) se pueden representar más convenientemente con diagramas conmutativos , donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.
