En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría preaditiva es otro nombre para una categoría Ab , es decir, una categoría que se enriquece con respecto a la categoría de grupos abelianos , Ab . Es decir, una categoría Ab C es una categoría tal que cada conjunto de homs Hom( A , B ) en C tiene la estructura de un grupo abeliano, y la composición de morfismos es bilineal , en el sentido de que la composición de morfismos se distribuye sobre el operación grupal. En fórmulas:
Algunos autores han utilizado el término categoría aditiva para categorías preaditivas, pero aquí seguimos la tendencia actual de reservar este término para ciertas categorías preaditivas especiales (ver § Casos especiales a continuación).
El ejemplo más obvio de una categoría preaditiva es la propia categoría Ab . Más precisamente, Ab es una categoría monoidea cerrada . Tenga en cuenta que la conmutatividad es crucial aquí; asegura que la suma de dos homomorfismos de grupo sea nuevamente un homomorfismo. Por el contrario, la categoría de todos los grupos no está cerrada. Ver categoría Medial.
Otros ejemplos comunes:
Estos le darán una idea de en qué pensar; para obtener más ejemplos, siga los enlaces a § Casos especiales a continuación.
Debido a que cada hom-set Hom( A , B ) es un grupo abeliano, tiene un elemento cero 0. Este es el morfismo cero de A a B. Debido a que la composición de los morfismos es bilineal, la composición de un morfismo cero y cualquier otro morfismo (en cualquier lado) debe ser otro morfismo cero. Si piensas en la composición como análoga a la multiplicación, entonces esto significa que la multiplicación por cero siempre da como resultado un producto de cero, lo cual es una intuición familiar. Ampliando esta analogía, el hecho de que la composición sea bilineal en general se convierte en la distributividad de la multiplicación sobre la suma.
Centrándonos en un solo objeto A en una categoría preaditiva, estos hechos dicen que el endomorfismo hom-set Hom( A , A ) es un anillo , si definimos la multiplicación en el anillo como composición. Este anillo es el anillo de endomorfismo de A. Por el contrario, cada anillo (con identidad ) es el anillo de endomorfismo de algún objeto en alguna categoría preaditiva. De hecho, dado un anillo R , podemos definir una categoría preaditiva R para que tenga un solo objeto A , sea Hom( A , A ) R y dejemos que la composición sea una multiplicación de anillos. Dado que R es un grupo abeliano y la multiplicación en un anillo es bilineal (distributiva), esto convierte a R en una categoría preaditiva. Los teóricos de categorías a menudo pensarán en el anillo R y la categoría R como dos representaciones diferentes de la misma cosa, de modo que un teórico de categorías particularmente perverso podría definir un anillo como una categoría preaditiva con exactamente un objeto (de la misma manera que un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto (y olvidar la estructura aditiva del anillo nos da un monoide).
De esta manera, las categorías preaditivas pueden verse como una generalización de anillos. Muchos conceptos de la teoría de anillos, como ideales , radicales de Jacobson y anillos de factores , se pueden generalizar de manera sencilla a este entorno. Al intentar escribir estas generalizaciones, uno debería pensar en los morfismos de la categoría preaditiva como los "elementos" del "anillo generalizado".
Si y son categorías preaditivas, entonces un functor es aditivo si también se enriquece con la categoría . Es decir, es aditiva si y sólo si , dados algunos objetos y de , la función es un homomorfismo de grupo . La mayoría de los funtores estudiados entre categorías preaditivas son aditivos.
Para un ejemplo simple, si los anillos y están representados por las categorías preaditivas de un objeto y , entonces un homomorfismo de anillo de a está representado por un funtor aditivo de a , y viceversa.
Si y son categorías y es preaditiva, entonces la categoría del funtor también es preaditiva, porque las transformaciones naturales se pueden agregar de forma natural. Si también es preaditiva, entonces la categoría de functores aditivos y todas las transformaciones naturales entre ellos también son preaditivas.
El último ejemplo conduce a una generalización de módulos sobre anillos: si es una categoría preaditiva, entonces se denomina categoría de módulo sobre . [ cita necesaria ] Cuando la categoría preaditiva de un objeto corresponde al anillo , esto se reduce a la categoría ordinaria de módulos (izquierdos) . Nuevamente, prácticamente todos los conceptos de la teoría de módulos se pueden generalizar a este entorno.
De manera más general, se puede considerar una categoría C enriquecida sobre la categoría monoide de módulos sobre un anillo conmutativo R , llamada categoría R -lineal . En otras palabras, cada hom-set en C tiene la estructura de un R -módulo, y la composición de morfismos es R -bilineal.
Cuando se consideran functores entre dos categorías R -lineales, a menudo se restringen a aquellos que son R -lineales, es decir, aquellos que inducen aplicaciones R -lineales en cada conjunto hom.
Cualquier producto finito en una categoría preaditiva también debe ser un coproducto y viceversa. De hecho, los productos finitos y coproductos en categorías preaditivas se pueden caracterizar por la siguiente condición de biproducto :
Este biproducto a menudo se escribe A 1 ⊕ ··· ⊕ A n , tomando prestada la notación de la suma directa . Esto se debe a que el biproducto en categorías preaditivas bien conocidas como Ab es la suma directa. Sin embargo, aunque las sumas directas infinitas tienen sentido en algunas categorías, como Ab , los biproductos infinitos no tienen sentido (ver Categoría de grupos abelianos § Propiedades ).
La condición del biproducto en el caso n = 0 se simplifica drásticamente; B es un biproducto nulo si y sólo si el morfismo de identidad de B es el morfismo cero de B a sí mismo, o de manera equivalente si el conjunto de homs Hom( B , B ) es el anillo trivial . Tenga en cuenta que debido a que un biproducto nulo será tanto terminal (un producto nulo) como inicial (un coproducto nulo), de hecho será un objeto cero . De hecho, el término "objeto cero" se originó en el estudio de categorías preaditivas como Ab , donde el objeto cero es el grupo cero .
Una categoría preaditiva en la que existe cada biproducto (incluido un objeto cero) se llama aditiva . En ese tema se pueden encontrar más datos sobre los biproductos que son principalmente útiles en el contexto de las categorías de aditivos.
Debido a que los conjuntos de homs en una categoría preaditiva tienen cero morfismos, la noción de kernel y cokernel tiene sentido. Es decir, si f : A → B es un morfismo en una categoría preaditiva, entonces el núcleo de f es el ecualizador de f y el morfismo cero de A a B , mientras que el cokernel de f es el coecualizador de f y este morfismo cero . A diferencia de los productos y coproductos, el núcleo y el núcleo de f generalmente no son iguales en una categoría preaditiva.
Al especializarse en las categorías preaditivas de grupos o módulos abelianos sobre un anillo, esta noción de núcleo coincide con la noción ordinaria de núcleo de un homomorfismo, si se identifica el núcleo ordinario K de f : A → B con su incrustación K → A . Sin embargo, en una categoría preaditiva general pueden existir morfismos sin núcleos y/o núcleos.
Existe una relación conveniente entre el núcleo y el cokernel y la estructura del grupo abeliano en los hom-sets. Dados los morfismos paralelos f y g , el ecualizador de f y g es solo el núcleo de g − f , si alguno existe, y el hecho análogo es cierto para los coecualizadores. De este hecho se deriva el término alternativo "núcleo de diferencia" para ecualizadores binarios.
Una categoría de preaditivos en la que existen todos los subproductos, granos y cokernels se llama preabeliano . En ese tema se pueden encontrar más datos sobre las almendras y coquillas en categorías preaditivas que son principalmente útiles en el contexto de las categorías preabelianas.
La mayoría de estos casos especiales de categorías preaditivas se han mencionado anteriormente, pero se reúnen aquí como referencia.
Las categorías preaditivas más comúnmente estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana.
