En matemáticas , en el campo de la teoría de categorías , una categoría discreta es una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos de identidad :
Dado que por axiomas siempre existe el morfismo de identidad entre un mismo objeto, podemos expresar lo anterior como condición sobre la cardinalidad del hom-set
Algunos autores prefieren una noción más débil, donde una categoría discreta simplemente necesita ser equivalente a dicha categoría.
Cualquier clase de objetos define una categoría discreta cuando se aumenta con mapas de identidad.
Cualquier subcategoría de una categoría discreta es discreta. Además, una categoría es discreta si y sólo si todas sus subcategorías están completas .
El límite de cualquier functor de una categoría discreta a otra categoría se llama producto , mientras que el colímite se llama coproducto . Así, por ejemplo, la categoría discreta con sólo dos objetos se puede utilizar como diagrama o funtor diagonal para definir un producto o coproducto de dos objetos. Alternativamente, para una categoría general C y la categoría discreta 2 , se puede considerar la categoría de funtor C 2 . Los diagramas de 2 en esta categoría son pares de objetos y el límite del diagrama es el producto.
El funtor de Set a Cat que envía un conjunto a la categoría discreta correspondiente se deja junto al funtor que envía una pequeña categoría a su conjunto de objetos. (Para el adjunto derecho, consulte categoría indiscreta ).