grupo abeliano

Grupo conmutativo (matemáticas)

En matemáticas , un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende del orden en que están escritos. Es decir, la operación de grupo es conmutativa . Con la suma como operación, los números enteros y reales forman grupos abelianos, y el concepto de grupo abeliano puede verse como una generalización de estos ejemplos. Los grupos abelianos llevan el nombre del matemático de principios del siglo XIX Niels Henrik Abel . ^[1]

El concepto de grupo abeliano subyace a muchas estructuras algebraicas fundamentales , como campos , anillos , espacios vectoriales y álgebras . La teoría de los grupos abelianos es generalmente más simple que la de sus contrapartes no abelianas , y los grupos abelianos finitos se comprenden muy bien y están completamente clasificados.

Definición

Un grupo abeliano es un conjunto , junto con una operación que combina dos elementos cualesquiera y de para formar otro elemento de denotado . El símbolo es un comodín general para una operación concreta. Para calificar como un grupo abeliano, el conjunto y la operación, deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como axiomas del grupo abeliano (algunos autores incluyen en los axiomas algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: a saber, que la operación esté definida para cualquier grupo ordenado par de elementos de A , que el resultado está bien definido y que el resultado pertenece a A ): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$

asociatividad

Para todo , y en , la ecuación se cumple. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Elemento de identidad

Existe un elemento en , tal que para todos los elementos en , la ecuación se cumple. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

elemento inverso

Para cada uno existe un elemento tal que donde está el elemento de identidad. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Conmutatividad

Para todos , en ,. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo". ^{[2] : 11}

Hechos

Notación

Hay dos convenciones de notación principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa.

Generalmente, la notación multiplicativa es la notación habitual para grupos, mientras que la notación aditiva es la notación habitual para módulos y anillos . La notación aditiva también se puede utilizar para enfatizar que un grupo particular es abeliano, siempre que se consideren grupos abelianos y no abelianos, siendo algunas excepciones notables los grupos casi anillos y los grupos parcialmente ordenados , donde una operación se escribe de forma aditiva incluso cuando no es abeliano. . ^{[3] : 28–29  [4] : ​​9–14}

Tabla de multiplicación

Para verificar que un grupo finito es abeliano, se puede construir una tabla (matriz), conocida como tabla de Cayley , de manera similar a una tabla de multiplicar . ^{[5] : 10} Si el grupo está bajo la operación , la entrada -ésima de esta tabla contiene el producto . ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

El grupo es abeliano si y sólo si esta tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal. Esto es cierto ya que el grupo es abeliano si y solo para todos , que es si y si y solo si la entrada de la tabla es igual a la entrada para todos , es decir, la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal. ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (j,i)}$ ${\displaystyle i,j=1,...,n}$

Ejemplos

• Para los números enteros y la operación suma , denotada , la operación + combina dos números enteros cualesquiera para formar un tercer número entero, la suma es asociativa, cero es la identidad aditiva , cada número entero tiene un inverso aditivo , y la operación de suma es conmutativa ya que para cualquier dos números enteros y . ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n+m=m+n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Todo grupo cíclico es abeliano, porque si están en , entonces . Por lo tanto , los números enteros , forman un grupo abeliano bajo la suma, al igual que los números enteros módulo ,. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a su operación de suma. En un anillo conmutativo los elementos invertibles, o unidades , forman un grupo multiplicativo abeliano . En particular, los números reales son un grupo abeliano en la suma, y ​​los números reales distintos de cero son un grupo abeliano en la multiplicación.
• Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal , por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo cociente . Los subgrupos, cocientes y sumas directas de grupos abelianos son nuevamente abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son exactamente los grupos cíclicos de orden primo . ^{[6] : 32}
• Los conceptos de grupo abeliano y - módulo concuerdan. Más específicamente, cada módulo es un grupo abeliano con su operación de suma, y ​​cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de números enteros de una manera única. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En general, las matrices , incluso las invertibles, no forman un grupo abeliano bajo multiplicación porque la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos en la multiplicación de matrices; un ejemplo es el grupo de matrices de rotación . ${\displaystyle 2\times 2}$

Comentarios históricos

Camille Jordan nombró a los grupos abelianos en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel , ya que Abel había descubierto que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio se pueden calcular mediante el uso de radicales . ^{[7] : 144–145  [8] : 157–158}

Propiedades

Si es un número natural y es un elemento de un grupo abeliano escrito de forma aditiva, entonces se puede definir como ( sumandos) y . De esta forma, se convierte en un módulo sobre el anillo de números enteros. De hecho, los módulos anteriores se pueden identificar con los grupos abelianos. ^{[9] : 94–97} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle nx}$ ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio ideal principal ) a menudo pueden generalizarse a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos generados finitamente , que es una especialización del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . En el caso de grupos abelianos generados finitamente, este teorema garantiza que un grupo abeliano se divide como suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre . El primero puede escribirse como una suma directa de un número finito de grupos de la forma primo , y el segundo es una suma directa de un número finito de copias de . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Si hay dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma , definida por , es nuevamente un homomorfismo. (Esto no es cierto si es un grupo no abeliano). El conjunto de todos los homomorfismos de grupo desde a es, por tanto, un grupo abeliano por derecho propio. ${\displaystyle f,g:G\to H}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Algo parecido a la dimensión de los espacios vectoriales , cada grupo abeliano tiene un rango . Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos linealmente independientes (sobre los números enteros) del grupo. ^{[10] : 49–50} Los grupos abelianos finitos y los grupos de torsión tienen rango cero, y cada grupo abeliano de rango cero es un grupo de torsión. Los números enteros y los números racionales tienen rango uno, así como todo subgrupo aditivo distinto de cero de los racionales. Por otro lado, el grupo multiplicativo de los racionales distintos de cero tiene rango infinito, al ser un grupo abeliano libre que tiene como base el conjunto de los números primos (esto resulta del teorema fundamental de la aritmética ).

El centro de un grupo es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Un grupo es abeliano si y sólo si es igual a su centro . El centro de un grupo es siempre un subgrupo abeliano característico . Si el grupo cociente de un grupo por su centro es cíclico entonces es abeliano. ^[11] ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/Z(G)}$ ${\displaystyle G}$

Grupos abelianos finitos

Los grupos cíclicos de números enteros módulo ${\displaystyle n}$ ,, estuvieron entre los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia prima, y ​​estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismos de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se desarrolló por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y luego se simplificó y generalizó a módulos generados de forma finita sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Cualquier grupo de orden primo es isomorfo a un grupo cíclico y, por tanto, abeliano. Cualquier grupo cuyo orden sea un cuadrado de un número primo también es abeliano. ^[12] De hecho, para cada número primo hay (hasta el isomorfismo) exactamente dos grupos de orden , a saber y . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

Clasificación

El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos establece que cada grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de subgrupos cíclicos de orden de potencias primas ; también se conoce como teorema de base para grupos abelianos finitos . Además, los grupos de automorfismo de grupos cíclicos son ejemplos de grupos abelianos. ^[13] Esto se generaliza mediante el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente , siendo los grupos finitos el caso especial cuando G tiene rango cero ; esto a su vez admite numerosas generalizaciones adicionales. ${\displaystyle G}$

La clasificación fue probada por Leopold Kronecker en 1870, aunque no se expresó en términos modernos de teoría de grupos hasta más tarde, y fue precedida por una clasificación similar de formas cuadráticas realizada por Carl Friedrich Gauss en 1801; ver historia para más detalles.

El grupo cíclico de orden es isomorfo a la suma directa de y si y sólo si y son coprimos . De ello se deduce que cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a una suma directa de la forma ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

en cualquiera de las siguientes formas canónicas:

• los números son potencias de números primos (no necesariamente distintos), ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• o divide , que divide , y así hasta . ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$ ${\displaystyle k_{u}}$

Por ejemplo, se puede expresar como la suma directa de dos subgrupos cíclicos de orden 3 y 5: . Lo mismo puede decirse de cualquier grupo abeliano de orden 15, lo que lleva a la notable conclusión de que todos los grupos abelianos de orden 15 son isomorfos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

Para otro ejemplo, cada grupo abeliano de orden 8 es isomorfo a (los enteros 0 a 7 bajo la suma módulo 8), (los enteros impares 1 a 15 bajo la multiplicación módulo 16), o . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

Véase también la lista de grupos pequeños para grupos abelianos finitos de orden 30 o menos.

Automorfismos

Se puede aplicar el teorema fundamental para contar (y a veces determinar) los automorfismos de un grupo abeliano finito dado . Para hacer esto, se utiliza el hecho de que si se divide como una suma directa de subgrupos de orden coprimo , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

Dado esto, el teorema fundamental muestra que para calcular el grupo de automorfismo de basta con calcular los grupos de automorfismo de los subgrupos de Sylow por separado (es decir, todas las sumas directas de subgrupos cíclicos, cada uno con orden de una potencia de ). Fije un primo y suponga que los exponentes de los factores cíclicos del subgrupo de Sylow están ordenados en orden creciente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

para algunos . Es necesario encontrar los automorfismos de ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

Un caso especial es cuando , de modo que solo hay un factor de potencia primaria cíclica en el subgrupo de Sylow . En este caso se puede utilizar la teoría de los automorfismos de un grupo cíclico finito. Otro caso especial es cuando es arbitrario salvo por . Aquí se considera que es de la forma ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{i}=1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

por lo que se puede considerar que los elementos de este subgrupo comprenden un espacio vectorial de dimensión sobre el campo finito de elementos . Los automorfismos de este subgrupo, por tanto, están dados por las transformaciones lineales invertibles, por lo que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

¿Dónde está el grupo lineal general apropiado ? Se demuestra fácilmente que esto tiene orden. ${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

En el caso más general, donde y son arbitrarios, el grupo de automorfismo es más difícil de determinar. Se sabe, sin embargo, que si se define ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

y

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

entonces uno tiene en particular , , y ${\displaystyle k\leq d_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

Se puede comprobar que esto produce las órdenes de los ejemplos anteriores como casos especiales (ver Hillar y Rhea).

Grupos abelianos finitamente generados

Un grupo abeliano A se genera de forma finita si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores ) tal que cada elemento del grupo es una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de G. ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Sea L un grupo abeliano libre con base. Existe un homomorfismo de grupo único tal que ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ ${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo se genera de forma finita (ya que los números enteros forman un anillo noetheriano ). Considere la matriz M con entradas enteras, de modo que las entradas de su j- ésima columna sean los coeficientes del j -ésimo generador del núcleo. Entonces, el grupo abeliano es isomorfo al cokernel del mapa lineal definido por M. Por el contrario, cada matriz entera define un grupo abeliano generado finitamente.

De ello se deduce que el estudio de grupos abelianos generados finitamente es totalmente equivalente al estudio de matrices enteras. En particular, cambiar el conjunto generador de A equivale a multiplicar M a la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa también es una matriz entera). Cambiar el conjunto generador del núcleo de M equivale a multiplicar M de la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de M es una matriz

${\displaystyle S=UMV,}$

donde U y V son unimodulares, y S es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales distintas de cero son las primeras y es un divisor de para i > j . La existencia y la forma de la forma normal de Smith prueba que el grupo abeliano A generado finitamente es la suma directa ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$ ${\displaystyle d_{j,j}}$ ${\displaystyle d_{i,i}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

donde r es el número de filas cero en la parte inferior de S (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente .

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith muestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente no es sólo un teorema de existencia abstracta, sino que proporciona una forma de calcular la expresión de grupos abelianos generados finitamente como sumas directas. ^{[14] : 26-27}

Infinitos grupos abelianos

El grupo abeliano infinito más simple es el grupo cíclico infinito . Cualquier grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a la suma directa de copias de y un grupo abeliano finito, que a su vez se puede descomponer en una suma directa de un número finito de grupos cíclicos de órdenes de potencias primarias . Aunque la descomposición no es única, el número , llamado rango de , y las potencias primas que dan los órdenes de sumandos cíclicos finitos están determinados de forma única. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Por el contrario, la clasificación de los grupos abelianos generales generados infinitamente está lejos de ser completa. Los grupos divisibles , es decir, los grupos abelianos en los que la ecuación admite una solución para cualquier número natural y elemento de , constituyen una clase importante de infinitos grupos abelianos que pueden caracterizarse completamente. Cada grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con sumandos isomorfos a y grupos de Prüfer para varios números primos , y la cardinalidad del conjunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única. ^[15] Además, si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano entonces admite un complemento directo: un subgrupo de tal que . Así, los grupos divisibles son módulos inyectivos en la categoría de grupos abelianos y, a la inversa, todo grupo abeliano inyectivo es divisible ( criterio de Baer ). Un grupo abeliano sin subgrupos divisibles distintos de cero se llama reducido . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nx=a}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A\oplus C}$

Dos clases especiales importantes de infinitos grupos abelianos con propiedades diametralmente opuestas son los grupos de torsión y los grupos libres de torsión , ejemplificados por los grupos (periódico) y (libre de torsión). ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Grupos de torsión

Un grupo abeliano se llama periódico o de torsión , si cada elemento tiene orden finito . Una suma directa de grupos cíclicos finitos es periódica. Aunque la afirmación inversa no es cierta en general, se conocen algunos casos especiales. El primer y segundo teoremas de Prüfer establecen que si es un grupo periódico y tiene un exponente acotado , es decir, para algún número natural , o es contable y las alturas de los elementos de son finitas para cada uno , entonces es isomorfo a a suma directa de grupos cíclicos finitos. ^[16] La cardinalidad del conjunto de sumandos directos isomorfos a en tal descomposición es una invariante de . ^{[17] : 6} Estos teoremas fueron posteriormente incluidos en el criterio de Kulikov . En una dirección diferente, Helmut Ulm encontró una extensión del segundo teorema de Prüfer a grupos abelianos contables con elementos de altura infinita: esos grupos se clasifican completamente mediante sus invariantes de Ulm . ^{[18] : 317} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle nA=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$

Grupos mixtos y sin torsión

Un grupo abeliano se dice libre de torsión si cada elemento distinto de cero tiene orden infinito. Se han estudiado exhaustivamente varias clases de grupos abelianos libres de torsión :

• Grupos abelianos libres , es decir, sumas directas arbitrarias de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cotorsión y grupos algebraicamente compactos sin torsión, como los enteros -ádicos ${\displaystyle p}$
• Grupos delgados ^{[19] : 259–274}

Un grupo abeliano que no es periódico ni está libre de torsión se llama mixto . Si es un grupo abeliano y es su subgrupo de torsión , entonces el grupo de factores está libre de torsión. Sin embargo, en general, el subgrupo de torsión no es una suma directa de , por lo que no es isomorfo a . Por tanto, la teoría de grupos mixtos implica más que simplemente combinar los resultados sobre grupos periódicos y libres de torsión. El grupo aditivo de números enteros es un módulo sin torsión . ^{[20] : 206} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A/T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Invariantes y clasificación

Uno de los invariantes más básicos de un grupo abeliano infinito es su rango : la cardinalidad del subconjunto linealmente independiente máximo de . Los grupos abelianos de rango 0 son precisamente los grupos periódicos, mientras que los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos y pueden describirse completamente. De manera más general, un grupo abeliano libre de torsión de rango finito es un subgrupo de . Por otro lado, el grupo de enteros -ádicos es un grupo abeliano libre de torsión de rango infinito y los grupos con diferentes no son isomorfos, por lo que esta invariante ni siquiera captura completamente las propiedades de algunos grupos familiares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Los teoremas de clasificación para grupos abelianos finitamente generados, divisibles, periódicos contables y sin torsión de rango 1 explicados anteriormente se obtuvieron antes de 1950 y forman la base de la clasificación de grupos abelianos infinitos más generales. Las herramientas técnicas importantes utilizadas en la clasificación de infinitos grupos abelianos son los subgrupos puros y básicos . La introducción de varias invariantes de grupos abelianos libres de torsión ha sido una vía para seguir avanzando. Consulte los libros de Irving Kaplansky , László Fuchs , Phillip Griffith y David Arnold , así como las actas de las conferencias sobre teoría de grupos abelianos publicadas en Lecture Notes in Mathematics para conocer hallazgos más recientes.

Grupos aditivos de anillos.

El grupo aditivo de un anillo es un grupo abeliano, pero no todos los grupos abelianos son grupos aditivos de anillos (con multiplicación no trivial). Algunos temas importantes en esta área de estudio son:

• Producto tensorial
• Resultados de ALS Corner sobre grupos contables sin torsión
• El trabajo de Shelah para eliminar las restricciones de cardinalidad
• Anillo de quemado

Relación con otros temas matemáticos

Muchos grandes grupos abelianos poseen una topología natural , que los convierte en grupos topológicos .

La colección de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría , el prototipo de una categoría abeliana . ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Wanda Szmielew  (1955) demostró que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte no abeliana, es decidible. La mayoría de las estructuras algebraicas distintas de las álgebras booleanas son indecidibles .

Todavía hay muchas áreas de investigación actual:

• Entre los grupos abelianos libres de torsión de rango finito, sólo se comprenden bien el caso generado finitamente y el caso de rango 1 ;
• Hay muchos problemas sin resolver en la teoría de grupos abelianos libres de torsión de rango infinito;
• Si bien los grupos abelianos de torsión contables se comprenden bien mediante presentaciones simples e invariantes de Ulm, el caso de los grupos mixtos contables es mucho menos maduro.
• Se sabe que muchas extensiones leves de la teoría de primer orden de los grupos abelianos son indecidibles.
• Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en teoría de grupos computacional .

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a preguntas profundas sobre la teoría de conjuntos que comúnmente se supone que subyace a todas las matemáticas. Tomemos el problema de Whitehead : ¿todos los grupos de Whitehead de orden infinito son también grupos abelianos libres ? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

• Indecidible en ZFC ( axiomas de Zermelo-Fraenkel ), la teoría de conjuntos axiomática convencional de la que se pueden derivar casi todas las matemáticas actuales. El problema de Whitehead es también la primera cuestión de matemáticas ordinarias que resultó indecidible en ZFC;
• Indecidible incluso si ZFC se aumenta tomando la hipótesis del continuo generalizado como axioma;
• Respondido positivamente si ZFC se aumenta con el axioma de constructibilidad (ver afirmaciones verdaderas en L ).

Una nota sobre la tipografía

Entre los adjetivos matemáticos derivados del nombre propio de un matemático , la palabra "abelian" es rara porque a menudo se escribe con una a minúscula , en lugar de una A mayúscula , siendo la falta de mayúsculas un reconocimiento tácito no sólo del grado de de qué se ha institucionalizado el nombre de Abel, sino también de cuán omnipresentes son en las matemáticas modernas los conceptos introducidos por él. ^[21]

Ver también

• Subgrupo conmutador  : subgrupo normal más pequeño por el cual el cociente es conmutativo
• Abelianización  : cociente de un grupo por su subgrupo conmutador
• Grupo diédrico de orden 6  : grupo no conmutativo con 6 elementos, el grupo no abeliano más pequeño
• Grupo abeliano elemental  : grupo conmutativo en el que todos los elementos distintos de cero tienen el mismo orden
• Grupo de Grothendieck  : grupo abeliano que extiende un monoide conmutativo
• Dualidad de Pontryagin  : dualidad para grupos abelianos localmente compactos

Notas

1. Jacobson (2009) pág. 41
2. Ramík, J., Método de comparaciones por pares: teoría y aplicaciones en la toma de decisiones ( Cham : Springer Nature Suiza , 2020), p. 11.
3. Auslander, M. y Buchsbaum, D. , Grupos, anillos, módulos ( Mineola, Nueva York : Dover Publications , 1974), págs.
4. Stanojkovski, M., Automorfismos intensos de grupos finitos ( Providence, RI : American Mathematical Society , 2021) págs.
5. Isaev, AP y Rubakov, VA , Teoría de grupos y simetrías: grupos finitos, grupos de mentira y álgebras de mentira ( Singapur : World Scientific , 2018), p. 10.
6. Rosa 2012, pag. 32.
7. Cox, DA , Teoría de Galois ( Hoboken, Nueva Jersey : John Wiley & Sons , 2004), págs.
8. Kepner, J. y H. Jananthan, Matemáticas de Big Data ( Cambridge, MA : MIT Press , 2018), págs.
9. Eklof, Paul C. y Göbel, Rüdiger, eds., Grupos y módulos abelianos: conferencia internacional en Dublín, 10 al 14 de agosto de 1998 ( Basilea : Springer Basel AG , 1999), págs.
10. Dixon, MR, Kurdachenko, LA y Subbotin, IY, Grupos lineales: el acento en la dimensionalidad infinita ( Milton Park , Abingdon-on-Thames y Oxfordshire : Taylor & Francis , 2020), págs.
11. Rosa 2012, pag. 48.
12. Rosa 2012, pag. 79.
13. Kurzweil, H. y Stellmacher, B., La teoría de los grupos finitos: una introducción (Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer Verlag , 2004), págs.
14. Finkelstein, L. y Kantor, WM , eds., Groups and Computation II: Workshop on Groups and Computation, 7 al 10 de junio de 1995 ( Providence : AMS , 1997), págs.
15. Por ejemplo ,. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$
16. El supuesto de contabilización del segundo teorema de Prüfer no se puede eliminar: el subgrupo de torsión del producto directo de los grupos cíclicos para todos los naturales no es una suma directa de grupos cíclicos. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$
17. Faith, CC, Anillos y cosas y una excelente variedad de álgebra asociativa del siglo XX (Providence: AMS, 2004), pág. 6.
18. Gao, S., Teoría de conjuntos descriptivos invariantes ( Boca Raton, FL : CRC Press , 2008), p. 317.
19. Albrecht, U., "Products of Slender Abelian Groups", en Göbel, R. y Walker, E., eds., Abelian Group Theory: Actas de la tercera conferencia celebrada sobre la teoría de grupos abelianos en Oberwolfach, del 11 al 17 de agosto , 1985 (Nueva York: Gordon & Breach , 1987), págs.
20. Lal, R., Álgebra 2: Álgebra lineal, teoría de Galois, teoría de la representación, extensiones de grupo y multiplicador de Schur (Berlín, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.
21. "Premio Abel concedido: el Nobel de los matemáticos". Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2012 . Consultado el 3 de julio de 2016 .

Referencias

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enlaces externos

• "Grupo abeliano". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].