En matemáticas , la categoría Ab tiene como objetos los grupos abelianos y como morfismos los homomorfismos de grupo . Este es el prototipo de una categoría abeliana : [1] de hecho, toda categoría abeliana pequeña puede estar incluida en Ab . [2]
El objeto cero de Ab es el grupo trivial {0} que consiste únicamente en su elemento neutro .
Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos de grupo inyectivo , los epimorfismos son los homomorfismos de grupo sobreyectivo y los isomorfismos son los homomorfismos de grupo biyectivo .
Ab es una subcategoría completa de Grp , la categoría de todos los grupos . La principal diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g entre grupos abelianos es nuevamente un homomorfismo de grupo:
La tercera igualdad requiere que el grupo sea abeliano. Esta adición de morfismo convierte a Ab en una categoría preaditiva y, como la suma directa de un número finito de grupos abelianos produce un biproducto , tenemos de hecho una categoría aditiva .
En Ab , la noción de núcleo en el sentido de la teoría de categorías coincide con el núcleo en el sentido algebraico , es decir, el núcleo categórico del morfismo f : A → B es el subgrupo K de A definido por K = { x ∈ A : f ( x ) = 0}, junto con el homomorfismo de inclusión i : K → A . Lo mismo es cierto para los conúcleos ; el conúcleo de f es el grupo cociente C = B / f ( A ) junto con la proyección natural p : B → C . (Nótese una diferencia crucial adicional entre Ab y Grp : en Grp puede suceder que f ( A ) no sea un subgrupo normal de B , y que por lo tanto no se pueda formar el grupo cociente B / f ( A ) .) Con estas descripciones concretas de núcleos y conúcleos, es bastante fácil comprobar que Ab es de hecho una categoría abeliana .
El producto en Ab está dado por el producto de grupos , formado al tomar el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes y realizar la operación de grupo componente por componente. Como Ab tiene núcleos, se puede demostrar que Ab es una categoría completa . El coproducto en Ab está dado por la suma directa; como Ab tiene conúcleos, se deduce que Ab también es cocompleto .
Tenemos un funtor olvidadizo Ab → Set que asigna a cada grupo abeliano el conjunto subyacente , y a cada homomorfismo de grupo la función subyacente . Este funtor es fiel , y por lo tanto Ab es una categoría concreta . El funtor olvidadizo tiene un adjunto izquierdo (que asocia a un conjunto dado el grupo abeliano libre con ese conjunto como base) pero no tiene un adjunto derecho.
Tomar límites directos en Ab es un funtor exacto . Dado que el grupo de números enteros Z sirve como generador , la categoría Ab es, por lo tanto, una categoría de Grothendieck ; de hecho, es el ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck.
Un objeto en Ab es inyectivo si y solo si es un grupo divisible ; es proyectivo si y solo si es un grupo abeliano libre . La categoría tiene un generador proyectivo ( Z ) y un cogenerador inyectivo ( Q / Z ).
Dados dos grupos abelianos A y B , su producto tensorial A ⊗ B está definido; nuevamente es un grupo abeliano. Con esta noción de producto, Ab es una categoría monoidal simétrica cerrada .
Ab no es un topos ya que, por ejemplo, tiene un objeto cero.