Grupo divisible

Grupo abeliano en el que cada elemento puede, en algún sentido, ser dividido por números enteros positivos

En matemáticas , específicamente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en algún sentido, ser dividido por números enteros positivos, o más precisamente, cada elemento es un múltiplo n de cada número entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectivos .

Definición

Un grupo abeliano es divisible si, para cada entero positivo y cada , existe tal que . ^[1] Una condición equivalente es: para cualquier entero positivo , , ya que la existencia de para cada y implica que , y la otra dirección es verdadera para cada grupo. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano es divisible si y solo si es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, a un grupo divisible a veces se le llama grupo inyectivo . ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle ny=g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nG=G}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle nG\supseteq G}$ ${\displaystyle nG\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un grupo abeliano es -divisible para un primo si para cada , existe tal que . De manera equivalente, un grupo abeliano es -divisible si y solo si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle y\in G}$ ${\displaystyle py=g}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle pG=G}$

Ejemplos

• Los números racionales forman un grupo divisible bajo la adición. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• De manera más general, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Todo cociente de un grupo divisible es divisible. Por lo tanto, es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$
• El componente primario p de , que es isomorfo al grupo p - cuasicicíclico , es divisible. ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$
• El grupo multiplicativo de los números complejos es divisible. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
• Todo grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido teórico de modelos ) es divisible.

Propiedades

• Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es un sumando directo de ese grupo abeliano. ^[2]
• Todo grupo abeliano puede estar incluido en un grupo divisible. ^[3]
• Los grupos divisibles no triviales no se generan de forma finita .
• Además, cada grupo abeliano puede ser incluido en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única. ^[4]
• Un grupo abeliano es divisible si y sólo si es p -divisible para cada primo p .
• Sea un anillo . Si es un grupo divisible, entonces es inyectivo en la categoría de - módulos . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$ ${\displaystyle A}$

Teorema de estructura de grupos divisibles

Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor( G ) de G es divisible. Como un grupo divisible es un módulo inyectivo , Tor( G ) es un sumando directo de G . Por lo tanto

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

Como cociente de un grupo divisible, G /Tor( G ) es divisible. Además, no tiene torsión . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre Q y, por lo tanto, existe un conjunto I tal que

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar ^{[6] [7]} que para todos los números primos p existe tal que ${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

donde es el componente p -primario de Tor( G ). ${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$

Por lo tanto, si P es el conjunto de números primos,

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Las cardinalidades de los conjuntos I e I _p para p  ∈  P están determinadas de forma única por el grupo G .

Envoltura inyectable

Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede estar incluido de manera única en un grupo divisible D como subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es la envoltura inyectiva en la categoría de grupos abelianos.

Grupos abelianos reducidos

Se dice que un grupo abeliano es reducido si su único subgrupo divisible es {0}. Todo grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un único subgrupo divisible más grande de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es un sumando directo. ^[8] Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los números enteros Z : la suma directa de los módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de los inyectivos son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectivo. El recíproco es un resultado de (Matlis 1958): si cada módulo tiene un único submódulo inyectivo máximo, entonces el anillo es hereditario.

El teorema de Ulm da una clasificación completa de los grupos abelianos periódicos reducidos contables .

Generalización

Varias definiciones distintas generalizan los grupos divisibles a módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :

1. rM  =  M para todo r distinto de cero en R . ^[9] (A veces se requiere que r no sea un divisor de cero, y algunos autores ^[10] requieren que R sea un dominio ).
2. Para cada ideal izquierdo principal Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M . ^{[11] [12]} (Este tipo de módulo divisible también se denomina módulo principalmente inyectivo ).
3. Para cada ideal izquierdo finitamente generado L de R , cualquier homomorfismo de L en M se extiende a un homomorfismo de R en M . ^{[ cita requerida ]}

Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos inyectivos por la izquierda extienden homomorfismos de todos los ideales por la izquierda a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en el sentido 2 y 3.

Si R es además un dominio, entonces las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio ideal principal por la izquierda, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. ^[13] Así, en el caso del anillo de números enteros Z , que es un dominio ideal principal, un módulo Z (que es exactamente un grupo abeliano) es divisible si y solo si es inyectivo.

Si R es un dominio conmutativo , entonces los módulos inyectivos de R coinciden con los módulos divisibles de R si y sólo si R es un dominio de Dedekind . ^[13]

Véase también

• Objeto inyectivo
• Módulo inyectivo

Notas

1. Griffith, pág. 6
2. Hall, pág. 197
3. Griffith, pág. 17
4. Griffith, pág. 19
5. Lang, pág. 106
6. Kaplansky 1965.
7. Fuchs 1970.
8. Griffith, pág. 7
9. Feigelstock 2006.
10. Cartan y Eilenberg 1999.
11. Lam 1999.
12. Nicholson y Yousif 2003.
13. Lam 1999, págs. 70-73.

Referencias

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, Sr.  1731415Con un apéndice de David A. Buchsbaum; reimpresión del original de 1956
• Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible es inyectivo", Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN  0250-3255, MR  2238765
• Griffith, Phillip A. (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
• Hall, Marshall Jr (1959). La teoría de grupos . Nueva York: Macmillan. Capítulo 13.3.
• Kaplansky, Irving (1965). Grupos abelianos infinitos . Prensa de la Universidad de Michigan.
• Fuchs, László (1970). Grupos abelianos infinitos, vol . 1. Academic Press.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, n.º 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Serge Lang (1984). Álgebra, segunda edición . Menlo Park, California: Addison-Wesley.
• Matlis, Eben (1958). "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos". Revista del Pacífico de Matemáticas . 8 (3): 511–528. doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN  0030-8730. MR  0099360.
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Anillos cuasi-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Cambridge: Cambridge University Press, págs. xviii+307, doi :10.1017/CBO9780511546525, ISBN 0-521-81593-2, Sr.  2003785