En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , la noción de un modelo existencialmente cerrado (o modelo existencialmente completo ) de una teoría generaliza las nociones de campos algebraicamente cerrados (para la teoría de campos ), campos reales cerrados (para la teoría de campos ordenados ), grupos existencialmente cerrados (para la teoría de grupos ) y órdenes lineales densos sin puntos finales (para la teoría de órdenes lineales).
Se dice que una subestructura M de una estructura N está existencialmente cerrada en (o existencialmente completa en ) si para cada fórmula libre de cuantificadores φ( x 1 ,…, x n , y 1 ,…, y n ) y todos los elementos b 1 ,…, b n de M tales que φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,…, b n ) se realiza en N , entonces φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,…, b n ) también se realiza en M . En otras palabras: si hay una tupla a 1 ,…, a n en N tal que φ( a 1 ,…, a n , b 1 ,…, b n ) se cumple en N , entonces dicha tupla también existe en M . Esta noción a menudo se denota .
Un modelo M de una teoría T se dice que está existencialmente cerrado en T si está existencialmente cerrado en cada superestructura N que sea en sí misma un modelo de T. De manera más general, una estructura M se dice que está existencialmente cerrada en una clase K de estructuras (en la que está contenida como miembro) si M está existencialmente cerrada en cada superestructura N que sea en sí misma un miembro de K.
La clausura existencial en K de un miembro M de K , cuando existe, es, salvo isomorfismo , la superestructura menos existencialmente cerrada de M . Más precisamente, es cualquier superestructura extensionalmente cerrada M ∗ de M tal que para cada superestructura existencialmente cerrada N de M , M ∗ es isomorfa a una subestructura de N vía un isomorfismo que es la identidad en M .
Sea σ = (+,×,0,1) la signatura de los cuerpos, es decir, + y × son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 son símbolos de constantes. Sea K la clase de estructuras de signatura σ que son cuerpos. Si A es un subcuerpo de B , entonces A es existencialmente cerrado en B si y solo si todo sistema de polinomios sobre A que tiene una solución en B también tiene una solución en A . De ello se deduce que los miembros existencialmente cerrados de K son exactamente los cuerpos algebraicamente cerrados.
De manera similar, en la clase de cuerpos ordenados , las estructuras existencialmente cerradas son los cuerpos cerrados reales . En la clase de órdenes lineales , las estructuras existencialmente cerradas son aquellas que son densas sin puntos finales, mientras que el cierre existencial de cualquier orden lineal numerable (incluidos los vacíos ) es, salvo isomorfismo, el orden total denso numerable sin puntos finales, es decir, el tipo de orden de los racionales .
