Anillo cuyos ideales son proyectivos
En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo R se denomina hereditario si todos los submódulos de los módulos proyectivos sobre R son a su vez proyectivos. Si esto se requiere solo para submódulos finitamente generados , se denomina semihereditario .
Para un anillo no conmutativo R , los términos hereditario izquierdo y semihereditario izquierdo y sus versiones de la mano derecha se utilizan para distinguir la propiedad en un solo lado del anillo. Para ser (semi)hereditario izquierdo, todos los submódulos (finitamente generados) de los módulos R proyectivos izquierdos deben ser proyectivos, y de manera similar, para ser (semi)hereditario derecho, todos los submódulos (finitamente generados) de los módulos R proyectivos derechos deben ser proyectivos. Es posible que un anillo sea (semi)hereditario izquierdo pero no (semi)hereditario derecho y viceversa.
Definiciones equivalentes
Ejemplos
- Los anillos semisimples son hereditarios izquierdos y derechos a través de definiciones equivalentes: todos los ideales izquierdos y derechos son sumandos de R y, por lo tanto, son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de von Neumann, cada ideal izquierdo y derecho finitamente generado es un sumando directo de R y, por lo tanto, los anillos regulares de von Neumann son semihereditarios izquierdos y derechos.
- Para cualquier elemento x distinto de cero en un dominio R , mediante la función . Por lo tanto, en cualquier dominio, un ideal recto principal es libre , por lo tanto, proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios son anillos rectos de Rickart . De ello se deduce que si R es un dominio recto de Bézout , de modo que los ideales rectos finitamente generados son principales, entonces R tiene todos los ideales rectos finitamente generados proyectivos y, por lo tanto, R es semihereditario recto. Finalmente, si se supone que R es un dominio de ideal recto principal , entonces todos los ideales rectos son proyectivos y R es hereditario recto.
- Un dominio integral hereditario conmutativo se denomina dominio de Dedekind . Un dominio integral semihereditario conmutativo se denomina dominio de Prüfer .
- Un ejemplo importante de un anillo hereditario (izquierdo) es el álgebra de trayectorias de un quiver . Esto es una consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que es de longitud 1) para módulos sobre un álgebra de trayectorias.
- El anillo de matriz triangular es hereditario derecho y semihereditario izquierdo, pero no hereditario izquierdo.
- Si S es un anillo regular de von Neumann con un ideal I que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular es semihereditario izquierdo pero no semihereditario derecho.
Propiedades
- Para un anillo hereditario izquierdo R , cada submódulo de un módulo R izquierdo libre es isomorfo a una suma directa de ideales izquierdos de R y, por lo tanto, es proyectivo. [2]
Referencias
- ^ Lam 1999, pág. 42
- ^ por Reiner 2003, págs. 27-29
- Crawley-Boevey, William , Notas sobre la representación de la aljaba (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2 de mayo de 2003
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294, Zbl 0911.16001
- Osborne, M. Scott (2000), Álgebra homológica básica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 196, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, Zbl0948.18001
- Reiner, I. (2003), Maximal Orders , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 28, Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl1024.16008
- Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, Zbl 0797.18001