módulo gratuito

En matemáticas, un módulo que tiene una base.

En matemáticas , un módulo libre es un módulo que tiene una base , es decir, un conjunto generador formado por elementos linealmente independientes . Todo espacio vectorial es un módulo libre, ^[1] pero, si el anillo de coeficientes no es un anillo de división (no es un campo en el caso conmutativo ), entonces existen módulos no libres.

Dado cualquier conjunto S y anillo R , hay un módulo R libre con base S , que se llama módulo libre en S o módulo de combinaciones R - lineales formales de los elementos de S.

Un grupo abeliano libre es precisamente un módulo libre sobre el anillo Z de los números enteros .

Definición

Para un anillo y un módulo , el conjunto es una base para si: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\subseteq M}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle E}$es un grupo electrógeno para ; es decir, cada elemento de es una suma finita de elementos de multiplicado por coeficientes en ; y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle E}$es linealmente independiente si para cada uno de los elementos distintos, implica que (donde está el elemento cero de y es el elemento cero de ). ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$ ${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$

Un módulo gratuito es un módulo con una base. ^[2]

Una consecuencia inmediata de la segunda mitad de la definición es que los coeficientes de la primera mitad son únicos para cada elemento de M.

Si tiene un número de base invariante , entonces, por definición, dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad. Por ejemplo, los anillos conmutativos distintos de cero tienen un número de base invariante. La cardinalidad de cualquier (y por tanto de cada) base se denomina rango del módulo libre . Si esta cardinalidad es finita, se dice que el módulo libre está libre de rango finito , o libre de rango n si se sabe que el rango es n . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Sea R un anillo.

• R es un módulo libre de rango uno sobre sí mismo (ya sea como módulo izquierdo o derecho); cualquier elemento unitario es una base.
• De manera más general, si R es conmutativo, un ideal I distinto de cero de R es libre si y sólo si es un ideal principal generado por un divisor distinto de cero, siendo un generador una base. ^[3]
• Sobre un dominio ideal principal (por ejemplo, ), un submódulo de un módulo libre es libre. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si R es conmutativo, el anillo polinómico en X indeterminado es un módulo libre con una base posible 1, X , X ² , .... ${\displaystyle R[X]}$
• Sea un anillo polinómico sobre un anillo conmutativo A , f un polinomio mónico de grado d allí, y la imagen de t en B. Entonces B contiene A como subanillo y es libre como módulo A con base . ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B=A[t]/(f)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• Para cualquier entero no negativo n , , el producto cartesiano de n copias de R como módulo R izquierdo es libre. Si R tiene un número de base invariante , entonces su rango es n . ${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• Una suma directa de módulos libres es gratuita, mientras que un producto cartesiano infinito de módulos libres generalmente no lo es (cf. el grupo Baer-Specker ).
• Un módulo finitamente generado sobre un anillo local conmutativo es libre si y sólo si es fielmente plano. ^[4] Además, el teorema de Kaplansky establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local (posiblemente no conmutativo) es libre.
• A veces, si un módulo es libre o no es indecidible en el sentido de la teoría de conjuntos. Un ejemplo famoso es el problema de Whitehead , que pregunta si un grupo de Whitehead es libre o no. Resulta que el problema es independiente de ZFC.

Combinaciones lineales formales

Dado un conjunto E y un anillo R , existe un módulo R libre que tiene E como base: es decir, la suma directa de copias de R indexadas por E.

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$.

Explícitamente, es el submódulo del producto cartesiano ( R se considera, por ejemplo, un módulo izquierdo) el que consta de elementos que tienen sólo un número finito de componentes distintos de cero. Se puede incrustar E en R ^{( E )} como un subconjunto identificando un elemento e con el de R ^{( E )} cuyo e -ésimo componente es 1 (la unidad de R ) y todos los demás componentes son cero. Entonces cada elemento de R ^{( E )} se puede escribir de forma única como ${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

donde sólo un número finito son distintos de cero. Se llama combinación lineal formal de elementos de E. ${\displaystyle c_{e}}$

Un argumento similar muestra que cada módulo R libre izquierdo (o derecho) es isomorfo a una suma directa de copias de R como módulo izquierdo (o derecho).

Otra construcción

El módulo libre R ^{( E )} también se puede construir de la siguiente manera equivalente.

Dado un anillo R y un conjunto E , primero como conjunto dejamos

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.}$

Lo equipamos con una estructura de módulo izquierdo tal que la suma está definida por: para x en E ,

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

y la multiplicación escalar por: para r en R y x en E ,

${\displaystyle (rf)(x)=r(f(x))}$

Ahora, como función con valor R en E , cada f in se puede escribir de forma única como ${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

donde están en R y sólo un número finito de ellos son distintos de cero y se da como ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

(esta es una variante del delta de Kronecker ). Lo anterior significa que el subconjunto de es una base de . El mapeo es una biyección entre E y esta base. A través de esta biyección, queda un módulo libre con la base E. ${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$

propiedad universal

El mapeo de inclusión definido anteriormente es universal en el siguiente sentido. Dada una función arbitraria de un conjunto E a un módulo R izquierdo N , existe un homomorfismo de módulo único tal que ; es decir, está definido por la fórmula: ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ ${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

y se dice que se obtiene extendiendo por linealidad. La unicidad significa que cada R -mapa lineal está determinado únicamente por su restricción a E. ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

Como es habitual en las propiedades universales, esto define R ^{( E )} hasta un isomorfismo canónico . Además, la formación de para cada conjunto E determina un funtor. ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

de la categoría de conjuntos a la categoría de módulos R izquierdos . Se llama functor libre y satisface una relación natural: para cada conjunto E y un módulo izquierdo N ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

¿Dónde está el funtor olvidadizo ? Es decir, es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo. ${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(-)}}$

Generalizaciones

Muchas afirmaciones válidas para los módulos gratuitos se extienden a ciertas clases más amplias de módulos. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres. Los módulos planos se definen por la propiedad de que al tensarlos se conservan secuencias exactas. Los módulos sin torsión forman una clase aún más amplia. Para un módulo generado finitamente sobre un PID (como Z ), las propiedades libre, proyectiva, plana y sin torsión son equivalentes.

Ver anillo local , anillo perfecto y anillo Dedekind .

Ver también

• Objeto libre
• Objeto proyectivo
• presentación gratuita
• resolución libre
• Teorema de Quillen-Suslin
• módulo libre estable
• libertad genérica

Notas

1. Keown (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos. pag. 24.
2. Hazewinkel (1989). Enciclopedia de Matemáticas, Volumen 4. p. 110.
3. Prueba: supongamos que es gratis con una base . Porque debe tener la combinación lineal única en términos de y , lo cual no es cierto. Por lo tanto, desde , sólo hay un elemento de base que debe ser un divisor distinto de cero. Lo contrario es claro. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{x_{j}|j\}}$ ${\displaystyle j\neq k}$ ${\displaystyle x_{j}x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle I\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$
4. Matsumura 1986, Teorema 7.10.

Referencias

Este artículo incorpora material del espacio vectorial libre sobre un conjunto en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y Módulos Elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. págs. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. SEÑOR  0345993.
• Keown, R. (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos . Matemáticas en la ciencia y la ingeniería. vol. 116. Prensa académica. ISBN 978-0-12-404250-6. SEÑOR  0387387.
• Govorov, VE (2001) [1994], "Módulo libre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría de anillos conmutativos. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 8. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36764-6. Señor  0879273. Zbl  0603.13001.