Presentación gratuita

En álgebra, un módulo sobre un anillo

En álgebra , una presentación libre de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es una secuencia exacta de R -módulos:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

Nótese que la imagen bajo g de la base estándar genera M . En particular, si J es finito, entonces M es un módulo finitamente generado . Si I y J son conjuntos finitos, entonces la presentación se denomina presentación finita ; un módulo se denomina finitamente presentado si admite una presentación finita.

Dado que f es un homomorfismo de módulos entre módulos libres , puede visualizarse como una matriz (infinita) con entradas en R y M como su co-núcleo .

Siempre existe una presentación libre: cualquier módulo es un cociente de un módulo libre: , pero entonces el núcleo de g es nuevamente un cociente de un módulo libre: . La combinación de f y g es una presentación libre de M . Ahora bien, uno puede obviamente seguir "resolviendo" los núcleos de esta manera; el resultado se llama una resolución libre . Por lo tanto, una presentación libre es la parte inicial de la resolución libre. ${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$ ${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$

Una presentación es útil para realizar cálculos. Por ejemplo, dado que la tensorización es exacta , al tensar la presentación anterior con un módulo, digamos N , se obtiene:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

Esto indica que es el co-núcleo de . Si N es también un anillo (y por lo tanto un R -álgebra ), entonces esta es la presentación del N -módulo ; es decir, la presentación se extiende bajo la extensión de base. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f\otimes 1}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Para los funtores exactos a la izquierda , existe por ejemplo

Proposición  —  Sean F , G funtores contravariantes exactos a la izquierda de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R a grupos abelianos y θ una transformación natural de F a G . Si es un isomorfismo para cada número natural n , entonces es un isomorfismo para cualquier módulo finitamente presentado M . ${\displaystyle \theta :F(R^{\oplus n})\to G(R^{\oplus n})}$ ${\displaystyle \theta :F(M)\to G(M)}$

Demostración: La aplicación de F a una presentación finita da como resultado ${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Esto se puede extender trivialmente a

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Lo mismo se aplica a . Ahora apliquemos el quinto lema . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Módulo coherente
• Módulo relacionado de manera finita
• Ajuste ideal
• Haz cuasi coherente

Referencias

• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 .