Transformación natural

Objeto central de estudio en la teoría de categorías.

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una transformación natural proporciona una forma de transformar un funtor en otro respetando la estructura interna (es decir, la composición de morfismos ) de las categorías involucradas. Por tanto, una transformación natural puede considerarse un "morfismo de functores". De manera informal, la noción de transformación natural establece que un mapa particular entre functores se puede realizar de manera consistente en una categoría completa.

De hecho, esta intuición puede formalizarse para definir las llamadas categorías de functores . Las transformaciones naturales son, después de las categorías y los functores, una de las nociones más fundamentales de la teoría de categorías y, en consecuencia, aparecen en la mayoría de sus aplicaciones.

Definición

Si y son funtores entre las categorías y (ambas de a ), entonces una transformación natural de a es una familia de morfismos que satisface dos requisitos. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

1. La transformación natural debe asociar, a cada objeto de , un morfismo entre objetos de . El morfismo se llama componente de at . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta _{X}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$
2. Los componentes deben ser tales que para cada morfismo tengamos : ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$

La última ecuación se puede expresar convenientemente mediante el diagrama conmutativo.

Este es el diagrama conmutativo que forma parte de la definición de transformación natural entre dos functores.

Si ambos y son contravariantes , las flechas verticales en el diagrama de la derecha están invertidas. Si es una transformación natural de a , también escribimos o . Esto también se expresa diciendo que la familia de morfismos es natural en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$ ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle X}$

Si, para cada objeto en , el morfismo es un isomorfismo en , entonces se dice que es un ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{X}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$isomorfismo natural (o, a veces,equivalencia naturaloisomorfismo de functores). Dos functoresyse llamannaturalmente isomorfoso simplementeisomorfossi existe un isomorfismo natural dea. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Una transformación infranatural de a es simplemente una familia de morfismos , para todos en . Así, una transformación natural es una transformación infranatural para cada morfismo . El naturalizador de , nat , es la subcategoría más grande que contiene todos los objetos de on que se restringe a una transformación natural. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (\eta )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$

Ejemplos

grupo opuesto

Declaraciones como

"Todo grupo es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto "

abundan en las matemáticas modernas. Daremos ahora el significado preciso de esta afirmación así como su demostración. Considere la categoría de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos. Si es un grupo, definimos su grupo opuesto de la siguiente manera: es el mismo conjunto que y la operación está definida por . De este modo, todas las multiplicaciones se "invierten". Formar el grupo opuesto se convierte en un functor (covariante) de a si definimos para cualquier grupo homomorfismo . Tenga en cuenta que, de hecho, es un homomorfismo de grupo de a : ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$ ${\displaystyle G^{\text{op}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *^{\text{op}}}$ ${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$ ${\displaystyle G^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f^{\text{op}}}$ ${\displaystyle G^{\text{op}}}$ ${\displaystyle H^{\text{op}}}$

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

El contenido de la declaración anterior es:

"El funtor identidad es naturalmente isomorfo al funtor opuesto " ${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$

Para demostrar esto, necesitamos proporcionar isomorfismos para cada grupo , de modo que el diagrama anterior conmute. Colocar . Las fórmulas y muestran que es un homomorfismo de grupo con inversa . Para probar la naturalidad, comenzamos con un homomorfismo de grupo y mostramos , es decir, para todo en . Esto es cierto ya que y todo homomorfismo de grupo tiene la propiedad . ${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta _{G}(a)=a^{-1}}$ ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$ ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ ${\displaystyle \eta _{G}}$ ${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$ ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$ ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$

Módulos

Sea un homomorfismo de módulo de módulos derechos. Para cada módulo izquierdo hay un mapa natural , forma una transformación natural . Para cada módulo derecho hay un mapa natural definido por , forma una transformación natural . ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$ ${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$ ${\displaystyle \eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)}$

Abelianización

Dado un grupo , podemos definir su abelianización . Denotemos el mapa de proyección sobre las clases laterales de . Este homomorfismo es "natural en ", es decir, define una transformación natural, que ahora comprobamos. Seamos un grupo. Para cualquier homomorfismo , tenemos que está contenido en el núcleo de , porque cualquier homomorfismo en un grupo abeliano mata al subgrupo del conmutador. Luego factoriza en cuanto al homomorfismo único . Esto crea un functor y una transformación natural, pero no un isomorfismo natural, del functor identidad a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$ ${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$ ${\displaystyle G^{\text{ab}}}$ ${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$ ${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$ ${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\text{ab}}}$

Homomorfismo de Hurewicz

Los functores y las transformaciones naturales abundan en la topología algebraica , sirviendo de ejemplo los homomorfismos de Hurewicz . Para cualquier espacio topológico puntual y entero positivo existe un homomorfismo de grupo ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

desde el -ésimo grupo de homotopía de hasta el -ésimo grupo de homología de . Ambos y son funtores de la categoría Top ^* de espacios topológicos puntiagudos a la categoría Grp de grupos, y es una transformación natural de a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Determinante

Dados anillos conmutativos y con un homomorfismo de anillo , los respectivos grupos de matrices invertibles heredan un homomorfismo que denotamos por , obtenido aplicando a cada entrada de la matriz. De manera similar, se restringe a un homomorfismo de grupo , donde denota el grupo de unidades de . De hecho, y son funtores de la categoría de anillos conmutativos a . El determinante del grupo , denotado por , es un homomorfismo de grupo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

lo cual es natural en : porque el determinante está definido por la misma fórmula para cada anillo, se cumple. Esto hace que el determinante sea una transformación natural de a . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle *}$

Doble dual de un espacio vectorial

Dado un endofuntor, es decir, un funtor que asigna una categoría a esa misma categoría, entonces hay una transformación natural del funtor identidad a ese funtor, con componentes . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{C}=F(C)}$

Por ejemplo, si es un campo , entonces para cada espacio vectorial tenemos un mapa lineal inyectivo "natural" del espacio vectorial a su doble dual . Estos mapas son "naturales" en el siguiente sentido: la operación doble dual es un funtor, y los mapas son los componentes de una transformación natural del funtor identidad al functor doble dual. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V\to V^{**}}$

cálculo finito

Para cada grupo abeliano , el conjunto de funciones desde los números enteros hasta el conjunto subyacente forma un grupo abeliano bajo suma puntual. (Aquí está el funtor olvidadizo estándar .) Dado un morfismo , el mapa dado por la composición izquierda con los elementos del primero es en sí mismo un homomorfismo de grupos abelianos; de esta forma obtenemos un funtor . El operador de diferencias finitas al que lleva cada función es un mapa de a sí mismo, y la colección de dichos mapas da una transformación natural . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle \varphi :G\to G'}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle \Delta _{G}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$ ${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$

Adjunción tensorial-hom

Considere la categoría ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Para todos los grupos abelianos , tenemos un isomorfismo de grupo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$.

Estos isomorfismos son "naturales" en el sentido de que definen una transformación natural entre los dos functores involucrados . (Aquí "op" es la categoría opuesta a , ¡no debe confundirse con el trivial functor de grupo opuesto en  !) ${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

Esta es formalmente la conjunción tensor-hom y es un ejemplo arquetípico de un par de functores adjuntos . Las transformaciones naturales surgen frecuentemente junto con funtores adjuntos y, de hecho, los functores adjuntos se definen por un cierto isomorfismo natural. Además, cada par de funtores adjuntos viene equipado con dos transformaciones naturales (generalmente no isomorfismos) llamadas unidad y cuenta .

Isomorfismo antinatural

La noción de transformación natural es categórica y establece (informalmente) que un mapa particular entre funtores se puede realizar de manera consistente en una categoría completa. Informalmente, un mapa particular (especialmente un isomorfismo) entre objetos individuales (no categorías completas) se denomina "isomorfismo natural", lo que significa implícitamente que en realidad está definido en toda la categoría y define una transformación natural de functores; Formalizar esta intuición fue un factor motivador en el desarrollo de la teoría de categorías. Por el contrario, un mapa particular entre objetos particulares puede denominarse isomorfismo no natural (o "este isomorfismo no es natural") si el mapa no puede extenderse a una transformación natural en toda la categoría. Dado un objeto, un funtor (tomando por simplicidad el primer funtor como la identidad) y una prueba de antinaturalidad por isomorfismo se muestra más fácilmente dando un automorfismo que no conmuta con este isomorfismo (entonces ). Más claramente, si uno desea demostrar que y no son naturalmente isomorficos, sin hacer referencia a un isomorfismo particular, esto requiere demostrar que para cualquier isomorfismo , hay alguno con el que no conmuta; en algunos casos, un solo automorfismo funciona para todos los isomorfismos candidatos , mientras que en otros casos se debe mostrar cómo construir uno diferente para cada isomorfismo. Los mapas de la categoría juegan un papel crucial: cualquier transformación infranatural es natural si los únicos mapas son el mapa de identidad, por ejemplo. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta \colon X\to G(X),}$ ${\displaystyle A\colon X\to X}$ ${\displaystyle \eta \circ A\neq G(A)\circ \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle A_{\eta }}$

Esto es similar (pero más categórico) a los conceptos de la teoría de grupos o la teoría de módulos, donde una descomposición dada de un objeto en una suma directa "no es natural", o más bien "no es única", ya que existen automorfismos que no preservan la suma directa. descomposición de la suma: consulte el teorema de estructura para módulos generados de forma finita sobre un dominio ideal principal § Unicidad, por ejemplo.

Algunos autores distinguen notacionalmente, utilizando para un isomorfismo natural y para un isomorfismo no natural, reservando para la igualdad (normalmente igualdad de aplicaciones). ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle =}$

Ejemplo: grupo fundamental de toroide

Como ejemplo de la distinción entre el enunciado funtorial y los objetos individuales, consideremos los grupos de homotopía de un espacio producto, específicamente el grupo fundamental del toroide.

Los grupos de homotopía de un espacio de productos son naturalmente el producto de los grupos de homotopía de los componentes, con el isomorfismo dado por la proyección sobre los dos factores, fundamentalmente porque las aplicaciones en un espacio de productos son exactamente productos de las aplicaciones en los componentes; este es un functorial. declaración. ${\displaystyle \pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0})),}$

Sin embargo, el toro (que es abstractamente un producto de dos círculos) tiene un grupo fundamental isomorfo a , pero la división no es natural. Tenga en cuenta el uso de , y : ^[a] ${\displaystyle Z^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle =}$

${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{2}.}$

Este isomorfismo abstracto con un producto no es natural, ya que algunos isomorfismos de no preservan el producto: el autohomeomorfismo de (considerado como el espacio cociente ) dado por (geométricamente un giro de Dehn alrededor de una de las curvas generadoras) actúa como esto matriz en (está en el grupo lineal general de matrices enteras invertibles), que no conserva la descomposición como producto porque no es diagonal. Sin embargo, si se da el toro como producto (de manera equivalente, dada una descomposición del espacio), entonces la división del grupo se sigue de la afirmación general anterior. En términos categóricos, la categoría relevante (que preserva la estructura de un espacio de producto) es "mapas de espacios de productos, es decir, un par de mapas entre los respectivos componentes". ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle (T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})}$

La naturalidad es una noción categórica y requiere ser muy preciso acerca de qué datos se dan exactamente: el toro como un espacio que resulta ser un producto (en la categoría de espacios y mapas continuos) es diferente del toro presentado como un producto (en la categoría de espacios y mapas continuos). la categoría de productos de dos espacios y mapas continuos entre los respectivos componentes).

Ejemplo: dual de un espacio vectorial de dimensión finita

Todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual, pero puede haber muchos isomorfismos diferentes entre los dos espacios. En general, no existe un isomorfismo natural entre un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio dual. ^[1] Sin embargo, las categorías relacionadas (con estructura adicional y restricciones en los mapas) tienen un isomorfismo natural, como se describe a continuación.

El espacio dual de un espacio vectorial de dimensión finita es nuevamente un espacio vectorial de dimensión finita de la misma dimensión y, por lo tanto, son isomórficos, ya que la dimensión es el único invariante de los espacios vectoriales de dimensión finita en un campo dado. Sin embargo, en ausencia de restricciones adicionales (como el requisito de que los mapas preserven la base elegida), el mapa de un espacio a su dual no es único y, por lo tanto, tal isomorfismo requiere una elección y "no es natural". En la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita y mapas lineales, se puede definir un isomorfismo infranatural de los espacios vectoriales a su dual eligiendo un isomorfismo para cada espacio (digamos, eligiendo una base para cada espacio vectorial y tomando el isomorfismo correspondiente), pero esto no definirá una transformación natural. Intuitivamente esto se debe a que requirió una elección, rigurosamente porque cualquier elección de isomorfismos no conmutará con, digamos, el mapa cero; ver (Mac Lane & Birkhoff 1999, §VI.4) para una discusión detallada.

A partir de espacios vectoriales de dimensión finita (como objetos) y los functores identidad y duales, se puede definir un isomorfismo natural, pero esto requiere primero agregar una estructura adicional y luego restringir los mapas de "todos los mapas lineales" a "mapas lineales que respeten este estructura". Explícitamente, para cada espacio vectorial, se requiere que venga con los datos de un isomorfismo a su dual, . En otras palabras, tomemos como objetos espacios vectoriales con forma bilineal no degenerada . Esto define un isomorfismo infranatural (isomorfismo para cada objeto). Luego se restringen los mapas sólo a aquellos que conmutan con los isomorfismos: o en otras palabras, se preserva la forma bilineal: . (Estos mapas definen el naturalizador de los isomorfismos). La categoría resultante, con objetos de espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, y mapas de transformaciones lineales que respetan la forma bilineal, por construcción tiene un isomorfismo natural de la identidad al dual. (cada espacio tiene un isomorfismo con respecto a su dual, y los mapas de la categoría deben conmutar). Vista desde esta perspectiva, esta construcción (agregar transformaciones para cada objeto, restringir mapas para conmutar con ellos) es completamente general y no depende de ninguna propiedad particular de los espacios vectoriales. ${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$ ${\displaystyle T\colon V\to U}$ ${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$ ${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$

En esta categoría (espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, transformaciones lineales de mapas que respetan la forma bilineal), el dual de un mapa entre espacios vectoriales se puede identificar como una transpuesta . A menudo, por razones de interés geométrico, esto se especializa en una subcategoría, al requerir que las formas bilineales no degeneradas tengan propiedades adicionales, como ser simétricas ( matrices ortogonales ), simétricas y definidas positivas ( espacio producto interno ), sesquilineales simétricas ( espacios hermitianos ), sesgado-simétrico y totalmente isotrópico ( espacio vectorial simpléctico ), etc. - en todas estas categorías un espacio vectorial se identifica naturalmente con su dual, por la forma bilineal no degenerada.

Operaciones con transformaciones naturales.

Composición horizontal y vertical de transformaciones naturales.

composición vertical

Si y son transformaciones naturales entre funtores , entonces podemos componerlos para obtener una transformación natural . Esto se hace por componentes: ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$ ${\displaystyle F,G,H:C\to D}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$.

Esta composición vertical de transformaciones naturales es asociativa y tiene una identidad, y permite considerar la colección de todos los functores como una categoría (ver más abajo en Categorías de funtores). La transformación natural de identidad en functor tiene componentes . ^[2] ${\displaystyle C\to D}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$

Para , . ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$

composición horizontal

Si es una transformación natural entre functores y es una transformación natural entre functores , entonces la composición de funtores permite una composición de transformaciones naturales con componentes ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle F,G:C\to D}$ ${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$ ${\displaystyle J,K:D\to E}$ ${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$.

Usando bigotes (ver más abajo), podemos escribir

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$,

por eso

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$.

Esta composición horizontal de transformaciones naturales también es asociativa con la identidad. Esta identidad es la transformación natural de identidad sobre el functor de identidad , es decir, la transformación natural que asocia a cada objeto su morfismo de identidad : para objeto en categoría ,. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$

Para con , . ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle F,G:C\to D}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$

Como functores de identidad y son functores, la identidad para la composición horizontal también es la identidad para la composición vertical, pero no al revés. ^[3] ${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$

bigotes

El bigote es una operación binaria externa entre un funtor y una transformación natural. ^{[4] [5]}

Si es una transformación natural entre functores y es otro funtor, entonces podemos formar la transformación natural definiendo ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle F,G:C\to D}$ ${\displaystyle H:D\to E}$ ${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$.

Si por el contrario es un funtor, la transformación natural se define por ${\displaystyle K:B\to C}$ ${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$.

También es una composición horizontal donde una de las transformaciones naturales es la transformación natural de la identidad:

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$y . ${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$

Tenga en cuenta que (resp. ) generalmente no es la identidad izquierda (resp. derecha) de la composición horizontal ( y en general), excepto si (resp. ) es el funtor de identidad de la categoría (resp. ). ${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle H\eta \neq \eta }$ ${\displaystyle \eta K\neq \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

ley de intercambio

Las dos operaciones están relacionadas por una identidad que intercambia composición vertical con composición horizontal: si tenemos cuatro transformaciones naturales como se muestra en la imagen de la derecha, entonces se cumple la siguiente identidad: ${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$.

Las composiciones verticales y horizontales también están vinculadas a través de transformaciones naturales de identidad:

Para y , . ^[6] ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:D\to E}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$

Como el bigote es una composición horizontal con identidad, la ley de intercambio da inmediatamente las fórmulas compactas de composición horizontal de y sin tener que analizar componentes y el diagrama conmutativo: ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ ${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$.

Categorías de funtores

Si es cualquier categoría y es una categoría pequeña , podemos formar la categoría de functores teniendo como objetos todos los funtores de a y como morfismos las transformaciones naturales entre esos functores. Esto forma una categoría ya que para cualquier funtor hay una transformación natural de identidad (que asigna a cada objeto el morfismo de identidad en ) y la composición de dos transformaciones naturales (la "composición vertical" anterior) es nuevamente una transformación natural. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1_{F}:F\to F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$

Los isomorfismos en son precisamente los isomorfismos naturales. Es decir, una transformación natural es un isomorfismo natural si y sólo si existe una transformación natural tal que y . ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$ ${\displaystyle \epsilon :G\to F}$ ${\displaystyle \eta \epsilon =1_{G}}$ ${\displaystyle \epsilon \eta =1_{F}}$

La categoría de funtor es especialmente útil si surge de un gráfico dirigido . Por ejemplo, si es la categoría del grafo dirigido • → • , entonces tiene como objetos los morfismos de , y un morfismo entre y en es un par de morfismos y en tal que el "cuadrado conmuta", es decir . ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle g:V\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi \circ f=g\circ \phi }$

De manera más general, se puede construir la categoría 2 cuya ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

• Las celdas 0 (objetos) son las categorías pequeñas,
• 1 celdas (flechas) entre dos objetos y son los funtores de a , ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$
• 2 celdas entre dos celdas 1 (functores) y son las transformaciones naturales de a . ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Las composiciones horizontales y verticales son las composiciones entre transformaciones naturales descritas anteriormente. Una categoría de functor es entonces simplemente una categoría hom en esta categoría (aparte de las cuestiones de pequeñez). ${\displaystyle C^{I}}$

Más ejemplos

Cada límite y colimit proporciona un ejemplo de una transformación natural simple, ya que un cono equivale a una transformación natural con el functor diagonal como dominio. De hecho, si los límites y colimites se definen directamente en términos de su propiedad universal , son morfismos universales en una categoría de funtor.

Lema de Yoneda

Si es un objeto de una categoría localmente pequeña , entonces la asignación define un funtor covariante . Este funtor se llama representable (de manera más general, un funtor representable es cualquier funtor naturalmente isomorfo a este funtor para una elección adecuada de ). Las transformaciones naturales de un funtor representable a un funtor arbitrario son completamente conocidas y fáciles de describir; este es el contenido del lema de Yoneda . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y\mapsto {\text{Hom}}_{C}(X,Y)}$ ${\displaystyle F_{X}:C\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:C\to {\textbf {Set}}}$

Notas históricas

Se dice que Saunders Mac Lane , uno de los fundadores de la teoría de categorías, comentó: "No inventé las categorías para estudiar funtores; las inventé para estudiar transformaciones naturales". ^[7] Así como el estudio de grupos no está completo sin un estudio de homomorfismos , así el estudio de categorías no está completo sin el estudio de functores . La razón del comentario de Mac Lane es que el estudio de los funtores no está completo sin el estudio de las transformaciones naturales.

El contexto de la observación de Mac Lane fue la teoría axiomática de la homología . Se podría demostrar que coinciden diferentes formas de construir la homología: por ejemplo, en el caso de un complejo simplicial, los grupos definidos directamente serían isomorfos a los de la teoría singular. Lo que no se puede expresar fácilmente sin el lenguaje de las transformaciones naturales es cómo los grupos de homología son compatibles con los morfismos entre objetos, y cómo dos teorías de homología equivalentes no sólo tienen los mismos grupos de homología, sino también los mismos morfismos entre esos grupos.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Transformación extranatural
• propiedad universal
• Teoría de categoría superior

Notas

1. Z ⁿ podría definirse como el producto n veces de Z , o como el producto de Z ^{n  − 1} y Z , que son conjuntos sutilmente diferentes (aunque pueden identificarse naturalmente, lo que se anotaría como ≅). Aquí hemos fijado una definición y en cualquier caso coinciden para n  = 2.

Referencias

1. (Mac Lane y Birkhoff 1999, §VI.4)
2. "Transformación natural de identidad en nLab".
3. "Transformaciones naturales". 7 de abril de 2015.
4. "Definición: Bigotes - ProofWiki".
5. "Bigotes en nLab".
6. https://arxiv.org/pdf/1612.09375v1.pdf, pág. 38
7. (Mac Lane 1998, §I.4)

• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas 5 (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 0-387-98403-8
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2.
• Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías . Oxford Nueva York: Oxford University Press. pag. 156.ISBN​ 978-0199237180.
• Carril, Saunders (1992). Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 13.ISBN​ 0387977104.

enlaces externos

• nLab, un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Strecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Teoría de categorías", por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
• Baez, John, 1996, "El cuento de las n categorías". Una introducción informal a las categorías superiores.