Grupo opuesto

Esta es una transformación natural de la operación binaria de un grupo a su opuesto. ⟨ g ₁ , g ₂ ⟩ denota el par ordenado de los dos elementos del grupo. *' puede verse como la adición naturalmente inducida de +.

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un grupo opuesto es una forma de construir un grupo a partir de otro grupo que permite definir la acción correcta como un caso especial de la acción izquierda .

Los monoides , grupos, anillos y álgebras pueden considerarse categorías con un único objeto. La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto, el anillo opuesto , etc.

Definición

Sea un grupo bajo la operación . El grupo opuesto de , denotado , tiene el mismo conjunto subyacente que , y su operación de grupo está definida por . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathbin {\ast '}}}$ ${\displaystyle g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}}$

Si es abeliano , entonces es igual a su grupo opuesto. Además, todo grupo (no necesariamente abeliano) es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto: Un isomorfismo está dado por . De manera más general, cualquier antiautomorfismo da lugar a un isomorfismo correspondiente mediante , ya que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\to G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \varphi (x)=x^{-1}}$ ${\displaystyle \psi :G\to G}$ ${\displaystyle \psi ':G\to G^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \psi '(g)=\psi (g)}$

${\displaystyle \psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).}$

Acción grupal

Sea un objeto de alguna categoría y una acción hacia la derecha . Entonces una acción hacia la izquierda es definida por , o . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)}$ ${\displaystyle g^{\mathrm {op} }x=xg}$

Véase también

• Anillo opuesto
• Categoría opuesta

Enlaces externos

• http://planetmath.org/oppositegroup