Transformación extranatural

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una transformación extranatural ^[1] es una generalización de la noción de transformación natural .

Definición

Sean y dos funtores de categorías. Se dice que una familia es natural en a y extranatural en b y c si se cumple lo siguiente: $F:A\times B^{\mathrm {op} }\times B\rightarrow D$ $G:A\times C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow D$ $\eta(a,b,c):F(a,b,b)\rightarrow G(a,c,c)$

$\eta (-,b,c)$ es una transformación natural (en el sentido habitual).
(extranaturalidad en b ) , , el siguiente diagrama conmuta $\forall (g:b\rightarrow b^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,B$ $\paratodos a\en A$ $\para todo c\en C$

{\begin{matrix}F(a,b',b)&\xrightarrow {F(1,1,g)} &F(a,b',b')\\_{F(1,g,1)}\downarrow \qquad &&_{\eta (a,b',c)}\downarrow \qquad \\F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta (a,b,c)} &G(a,c,c)\end{matrix}}

(extranaturalidad en c ) , , el siguiente diagrama conmuta $\forall (h:c\rightarrow c^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,C$ $\paratodos a\en A$ $\para todo b\en B$

{\begin{matrix}F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta(a,b,c')} &G(a,c',c')\\_{\eta(a,b,c)}\downarrow \qquad &&_{G(1,h,1)}\downarrow \qquad \\G(a,c,c)&\xrightarrow {G(1,1,h)} &G(a,c,c')\end{matrix}}

Propiedades

Las transformaciones extranaturales se pueden utilizar para definir cuñas y, por lo tanto, extremos ^[2] (doblemente co-cuñas y co-extremos), estableciendo (doblemente ) constante. ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización G}$

Las transformaciones extranaturales pueden definirse en términos de transformaciones dinaturales , de las cuales son un caso especial. ^[2]

Véase también

Transformación dinatural

Referencias

^ Eilenberg y Kelly , Una generalización del cálculo funcional, J. Algebra 3 366–375 (1966)
^ ab Fosco Loregian, Este es el (co)fin, mi único (co)amigo , preimpresión de arXiv [1]

Enlaces externos

extranatural+transformation en el laboratorio n