módulo cociente

Construcción algebraica

En álgebra , dado un módulo y un submódulo , se puede construir su módulo cociente . ^{[1] [2]} Esta construcción, que se describe a continuación, es muy similar a la de un espacio vectorial cociente . ^[3] Se diferencia de construcciones cocientes análogas de anillos y grupos por el hecho de que en estos casos, el subespacio que se utiliza para definir el cociente no es de la misma naturaleza que el espacio ambiental (es decir, un anillo cociente es el cociente de un anillo por un ideal , no por un subanillo , y un grupo cociente es el cociente de un grupo por un subgrupo normal , no por un subgrupo general ).

Dado un módulo A sobre un anillo R y un submódulo B de A , el espacio cociente A / B está definido por la relación de equivalencia

${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si ${\displaystyle b-a\in B,}$

para cualquier a, b en A . ^[4] Los elementos de A / B son las clases de equivalencia. La función que envía a en A a su clase de equivalencia a + B se llama mapa de cociente o mapa de proyección , y es un homomorfismo de módulo . ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$ ${\displaystyle \pi :A\to A/B}$

La operación de suma en A / B se define para dos clases de equivalencia como la clase de equivalencia de la suma de dos representantes de estas clases; y la multiplicación escalar de elementos de A / B por elementos de R se define de manera similar. Tenga en cuenta que debe demostrarse que estas operaciones están bien definidas . Entonces A / B se convierte en sí mismo en un módulo R , llamado módulo cociente . En símbolos, para todo a, b en A y r en R :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

Ejemplos

Considere el anillo polinomial , con coeficientes reales , y el módulo . Considere el submódulo ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

de A , es decir, el submódulo de todos los polinomios divisibles por X ² + 1 . De ello se deduce que la relación de equivalencia determinada por este módulo será

P ( X ) ~ Q ( X ) si y sólo si P ( X ) y Q ( X ) dan el mismo resto cuando se dividen por X ² + 1 .

Por lo tanto, en el módulo cociente A / B , X ² + 1 es lo mismo que 0; por lo que se puede ver A / B obtenido estableciendo X ² + 1 = 0 . Este módulo de cociente es isomorfo a los números complejos , visto como un módulo de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ver también

• grupo cociente
• anillo cociente
• Cociente (álgebra universal)

Referencias

1. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 0-387-95385-X.
3. Romano, Steven (2008). Álgebra lineal avanzada (3ª ed.). Nueva York: Springer Science + Business Media. pag. 117.ISBN​ 978-0-387-72828-5.
4. Romano 2008, pag. 118 Teorema 4.7