Functor exacto

Functor que preserva secuencias cortas y exactas

En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , un funtor exacto es un funtor que preserva secuencias exactas cortas . Los funtores exactos son convenientes para los cálculos algebraicos porque se pueden aplicar directamente a las presentaciones de objetos. Gran parte del trabajo en álgebra homológica está diseñado para lidiar con funtores que no logran ser exactos, pero de maneras que aún se pueden controlar.

Definiciones

Sean P y Q categorías abelianas , y sea F : P → Q un funtor aditivo covariante (de modo que, en particular, F (0) = 0). Decimos que F es un funtor exacto si siempre que

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

es una secuencia corta exacta en P entonces

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

es una secuencia exacta corta en Q . (Los mapas a menudo se omiten y se implican, y uno dice: "si 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 también es exacto".)

Además, decimos que F es

• izquierda exacta si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) es exacto;
• correcto-exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 es exacto;
• semiexacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) es exacto. Esto es distinto de la noción de funtor semiexacto topológico .

Si G es un funtor aditivo contravariante de P a Q , de manera similar definimos G como

• exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• izquierda exacta si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) es exacto;
• correcto-exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• semiexacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) es exacto.

No siempre es necesario empezar con una secuencia corta exacta 0→ A → B → C →0 para conservar cierta exactitud. Las siguientes definiciones son equivalentes a las que se dieron anteriormente:

• F es exacta si y sólo si A → B → C exacta implica F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exacta;
• F es izquierda-exacta si y sólo si 0→ A → B → C exacto implica 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exacto (es decir, si " F convierte granos en granos");
• F es correcto-exacto si y sólo si A → B → C →0 exacto implica F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 exacto (es decir, si " F convierte cokernels en cokernels");
• G es exacto a la izquierda si y solo si A → B → C →0 exacto implica 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) exacto (es decir, si " G convierte cokernels en kernels");
• G es correcto-exacto si y solo si 0→ A → B → C exacto implica G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 exacto (es decir, si " G convierte granos en cokernels").

Ejemplos

Toda equivalencia o dualidad de categorías abelianas es exacta.

Los ejemplos más básicos de funtores izquierdos exactos son los funtores Hom : si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) define un funtor izquierdo-exacto covariante desde A hasta la categoría Ab de los grupos abelianos . ^[1] El funtor F _A es exacto si y solo si A es proyectivo . ^[2] El funtor G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) es un funtor izquierdo-exacto contravariante; ^[3] es exacto si y solo si A es inyectivo . ^[4]

Si k es un cuerpo y V es un espacio vectorial sobre k , escribimos V  * = Hom _k ( V , k ) (esto se conoce comúnmente como el espacio dual ). Esto produce un funtor exacto contravariante de la categoría de k -espacios vectoriales a sí mismo. (La exactitud se deduce de lo anterior: k es un k - módulo inyectivo . Alternativamente, se puede argumentar que cada secuencia exacta corta de k -espacios vectoriales se divide , y cualquier funtor aditivo convierte secuencias divididas en secuencias divididas).

Si X es un espacio topológico , podemos considerar la categoría abeliana de todos los haces de grupos abelianos en X. El funtor covariante que asocia a cada haz F el grupo de secciones globales F ( X ) es exacto a la izquierda.

Si R es un anillo y T es un R - módulo derecho , podemos definir un funtor H _T de la categoría abeliana de todos los R - módulos izquierdos hasta Ab usando el producto tensorial sobre R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Este es un funtor exacto derecho covariante; en otras palabras, dada una secuencia exacta A → B → C →0 de R módulos izquierdos , la secuencia de grupos abelianos T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 es exacta.

El funtor H _T es exacto si y solo si T es plano . Por ejemplo, es un -módulo plano. Por lo tanto, tensorizar con como un -módulo es un funtor exacto. Demostración: Basta con mostrar que si i es una función inyectiva de -módulos , entonces la función correspondiente entre los productos tensoriales es inyectiva. Se puede mostrar que si y solo si es un elemento de torsión o . Los productos tensoriales dados solo tienen tensores puros. Por lo tanto, basta con mostrar que si un tensor puro está en el núcleo , entonces es cero. Supóngase que es un elemento del núcleo. Entonces, es torsión. Como es inyectiva, es torsión. Por lo tanto, . Por lo tanto, también es inyectiva. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i:M\to N}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle i(m)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$

En general, si T no es plano, entonces el producto tensorial no es exacto a la izquierda. Por ejemplo, considere la secuencia exacta corta de -módulos . Al tensar con se obtiene una secuencia que ya no es exacta, ya que no está libre de torsión y, por lo tanto, no es plana. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

Si A es una categoría abeliana y C es una categoría arbitrariamente pequeña , podemos considerar la categoría de funtores A ^C que consiste en todos los funtores desde C hasta A ; es abeliana. Si X es un objeto dado de C , entonces obtenemos un funtor E _X desde A ^C hasta A evaluando funtores en X . Este funtor E _X es exacto.

Si bien la tensorización puede no ser exacta a la izquierda, se puede demostrar que la tensorización es un functor exacto a la derecha:

Teorema: Sean A , B , C y P R - módulos de un anillo conmutativo R que tiene identidad multiplicativa. Sea una secuencia corta y exacta de R -módulos. Entonces ${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

es también una secuencia corta y exacta de módulos R. (Dado que R es conmutativo, esta secuencia es una secuencia de módulos R y no meramente de grupos abelianos). Aquí, definimos

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$.

Esto tiene un corolario útil : si I es un ideal de R y P es como el anterior, entonces . ${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$

Demostración: , donde f es la inclusión y g es la proyección, es una secuencia exacta de R -módulos. Por lo anterior obtenemos que : también es una secuencia exacta corta de R -módulos. Por exactitud, , ya que f es la inclusión. Ahora, considere el homomorfismo de R -módulo de dado por R -extendiendo linealmente la función definida en tensores puros: implica que . Por lo tanto, el núcleo de esta función no puede contener ningún tensor puro distinto de cero. está compuesto solo de tensores puros: Para . Por lo tanto, esta función es inyectiva. Es claramente sobre . Por lo tanto, . De manera similar, . Esto prueba el corolario. ${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$ ${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$ ${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P}$ ${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

Como otra aplicación, demostramos que para, donde y n es la mayor potencia de 2 que divide a m . Demostramos un caso especial: m = 12. ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle k=m/2^{n}}$

Demostración: Considérese un tensor puro . Además, para . Esto demuestra que . Si A , B, C, P son módulos R = Z por la acción de multiplicación habitual y satisfacen las condiciones del teorema principal . Por la exactitud implícita en el teorema y por la nota anterior obtenemos que . La última congruencia se deduce de un argumento similar al de la demostración del corolario que muestra que . ${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$ ${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$ ${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$ ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

Propiedades y teoremas

Un funtor es exacto si y solo si es tanto exacto a la izquierda como exacto a la derecha.

Un funtor covariante (no necesariamente aditivo) es exacto a la izquierda si y solo si convierte límites finitos en límites; un funtor covariante es exacto a la derecha si y solo si convierte colímites finitos en colímites; un funtor contravariante es exacto a la izquierda si y solo si convierte colímites finitos en límites; un funtor contravariante es exacto a la derecha si y solo si convierte límites finitos en colímites.

El grado en el cual un funtor exacto izquierdo no es exacto se puede medir con sus funtores derivados derechos ; el grado en el cual un funtor exacto derecho no es exacto se puede medir con sus funtores derivados izquierdos .

Los funtores exactos de izquierda y derecha son omnipresentes principalmente debido al siguiente hecho: si el funtor F es adjunto a la izquierda de G , entonces F es exacto a la derecha y G es exacto a la izquierda.

Generalizaciones

En SGA4 , tomo I, sección 1, se define la noción de funtores exactos izquierdos (derechos) para categorías generales, y no solo para categorías abelianas. La definición es la siguiente:

Sea C una categoría con límites proyectivos (inyectivos) finitos. Entonces, un funtor de C a otra categoría C′ es exacto por la izquierda (o por la derecha) si conmuta con límites proyectivos (inductivos) finitos.

A pesar de su abstracción, esta definición general tiene consecuencias útiles. Por ejemplo, en la sección 1.8, Grothendieck demuestra que un funtor es pro-representable si y solo si se deja exacto, bajo ciertas condiciones moderadas en la categoría C .

Los funtores exactos entre las categorías exactas de Quillen generalizan los funtores exactos entre categorías abelianas discutidos aquí.

Los funtores regulares entre categorías regulares a veces se denominan funtores exactos y generalizan los funtores exactos analizados aquí.

Notas

1. Jacobson (2009), pág. 98, Teorema 3.1.
2. Jacobson (2009), pág. 149, Prop. 3.9.
3. Jacobson (2009), pág. 99, Teorema 3.1.
4. Jacobson (2009), pág. 156.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . Vol. 2 (2.ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.