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Categoría de módulos

En álgebra , dado un anillo R , la categoría de módulos izquierdos sobre R es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulo entre R -módulos izquierdos. Por ejemplo, cuando R es el anillo de números enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos derechos se define de manera similar.

También se puede definir la categoría de bimódulos sobre un anillo R pero esa categoría es equivalente a la categoría de módulos izquierdos (o derechos) sobre el álgebra envolvente de R (o sobre su opuesto).

Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos. Este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal . [1]

Propiedades

Las categorías de módulos izquierdo y derecho son categorías abelianas . Estas categorías tienen suficientes proyectivas [2] y suficientes inyectivas [3] . El teorema de incrustación de Mitchell establece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos sobre algún anillo.

Existen límites proyectivos y límites inductivos en las categorías de módulos izquierdo y derecho. [4]

Sobre un anillo conmutativo , junto con el producto tensorial de módulos ⊗, la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .

Objetos

Un objeto monoide de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R es exactamente un álgebra asociativa sobre R.

Ver también: objeto compacto (un objeto compacto en el R -mod es exactamente un módulo presentado finitamente).

Categoría de espacios vectoriales

La categoría K - Vect (algunos autores usan Vect K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo K como objetos, y las aplicaciones K -lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre K (como cuerpo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K - Vect es un caso especial de R - Mod (algunos autores usan Mod R ), la categoría de los R -módulos izquierdos.

Gran parte del álgebra lineal se ocupa de la descripción de K - Vect . Por ejemplo, el teorema de dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K - Vect corresponden exactamente a los números cardinales , y que K - Vect es equivalente a la subcategoría de K - Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales K n , donde n es cualquier número cardinal.

Generalizaciones

La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivas (aunque no siempre suficientes proyectivas).

Véase también

Referencias

  1. ^ "categoría de módulo en nLab". ncatlab.org .
  2. ^ trivialmente ya que cualquier módulo es un cociente de un módulo libre.
  3. ^ Dummit y Foote, Cap. 10, Teorema 38.
  4. ^ Bourbaki, § 6.

Bibliografía

Enlaces externos